人教版高中数学选修11第二章22圆锥曲线知识点总结.docx

1、人教版高中数学选修11第二章22圆锥曲线知识点总结圆锥曲线知识点小结圆锥曲线在高考中的地位：圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以圆锥曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。(1).重视圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。(2).重视圆锥曲线性质与数列的有机结合。(3).重视解析几何与立体几何的有机结合。高考再现：2011年（文22）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +y2=1.如图所示，斜率为k（

2、k0）且不过原点的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=-3于点D（-3，m）.（1）求m2+k2的最小值；（2）若OG=ODOE,求证：直线l过定点；试问点B、能否关于x轴对称？若能，求出此时ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由.（理22）已知动直线l与椭圆C： + =1相交于P（x，y），Q（x，1 1 2y）两个不同点，且 OPQ的面积 OPQ=，其中O为坐标原点（1）证明： + 和 + 均为定值；（2）设线段PQ的中点为M，求OMPQ的最大值；（3）椭圆C上是否存在三点D, E, G，使得ODE=ODG=SOEG=？若存在，判断DEG的形状

3、；若不存在，请说明理由(2009年山东卷)设mR,在平面直角坐标系中,已知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y-1),ab,动点M(x,y)的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知m=1/4,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OAOB(O为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知m=1/4,设直线l与圆C:x2+y2=R2(1R2)相切于A,且l与轨迹E只有1一个公共点B,当R为何值时,|AB|取得最大值?并求最大值.1 1 1一.圆锥曲线的定义：椭圆：平面内与两个定点的距离之和等于定长（大于）的点的轨迹叫做椭

4、圆。这两个定点数学语言：叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。常数2a=常数2a，轨迹不存在；（2ab0)a2 b2x2y2-=1(a0，b0)a2b2a、b、c关系c2=a2-b2c2=a2+b2a、b、c的意义 a是长半轴长，b是短半轴长，c是半焦距 a是实长半轴长，b是虚短半轴长，c是半焦距范围 -axa， -byb x-a， xa yR分类 椭圆对称性 关于x轴和y轴对称，也关于原点对称双曲线关于x轴和y轴对称，也关于原点对称顶点 A1(-a,0)B(0,-b)1A(a,0)2B(0,b)2A(-a,0)，A(a,0)12ca a焦点坐标F(-c,0)，F(c,0)F(-c,0)

5、，F(c,0)1212渐近线无y=bax抛物线几何性质：标准方程y y y yF图 象 OFxFOxOOxxF焦坐顶坐准方p何（1）椭圆若椭圆x2y2105m5，则m的值是_（2）双曲线的渐近线方程是3x2y=0，则该双曲线的离心率等于_（3）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为_（4）设双曲线x2y2-ab2=1（a0,b0）中，离心率e2,2,则两条渐近线夹角的取值范围是_(5)设a0,aR，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为_5 x2 y22 9 4（7）设中心在坐标原点O，焦点F、F在坐标轴上，离心率e= 2的双曲线C过点1 2P(4,-10)，则C的方程为_（8）已知抛物

6、线方程为y2=8x，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于_；（9）抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为_四、点P(x,y)和椭圆0 0x2y2+ab2=1（ab0）的关系：x20+a2y20=1p点在椭圆上。b2x2 y20+ 01p点在椭圆外。a2 b2对于双曲线和抛物线与点的位置关系可以此类推。五、直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的a.直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法)，也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).b.直线与椭圆、

7、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性1 2 1 2 12其中k为直线的斜率，(x,y),(x,y)是两交点坐标1 1 2 2b.求弦所在的直线方程c.根据其它条件求圆锥曲线方程(3).已知一点A坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P、Q，且中点为A，求P、Q所在的直线方程（点差法）(4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称）（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_（2）直线ykx1=0与椭圆x2y2+=1恒有公共点，则m的取值范围

8、是_5m（3）过双曲线x2y2-=1的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若AB4，则这12样的直线有_条.（4）过双曲线x2y2-ab21外一点P(x,y)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如00下：（5）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。（6）过点(2,4)作直线与抛物线y2=8x只有一个公共点，这样的直线有_x2 y29 16y22条件的直线l有_条（9）对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02b0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x2y=0上，则此椭圆的离心率为_x2 y2（3）试确定m的取值范围，使得椭圆 + =1上有不

9、同的两点关于直线4 3y=4x+m对称特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关yA弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！3、直线恒过定点问题：OPMBx（1）A、B是抛物线y22px（p0）上的两点，且OAOB（O为坐标原点）求证：直线AB经过一个定点；（2）抛物线y22px（p0）上有两个动点A、B及一定点M（p，2p），F为焦点；若|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，求证：线段AB的垂直平分线过定点。4、焦点三角形问题：（1）短轴长为 5，离心率e=23yBMAOFx例3图的椭圆的两焦点为F、F，过F作直线交椭圆121于A、B两点，则ABF的周长为_2（2）设P

10、是等轴双曲线x2-y2=a2(a0)右支上一点，F1、F2是左右焦点，若PF2F1F2=0，|PF1|=6，则该双曲线的方程为（3）双曲线的虚轴长为4，离心率e 62，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且AB是AF与BF等差中项，则AB_2 2（4）已知双曲线的离心率为 2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且FPF=60，S1 2PF1F2=123求该双曲线的标准方程。5、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：p2A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则(1) y1y2pp2124(2)| AB|x1x2p；通径=2P1 1 2|AF| |BF

11、| p(4)过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A/、B/，F抛物线的焦点，则A/FB/900；(5)以弦AB为直径的圆与准线相切。(6)设A，B是抛物线y22px上的两点，O为原点，则OAOB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)p p证明：(1)当直线过焦点且垂直于x轴时，A（2，p）、B（2，p），因此y1y2p2成立；当直线过焦点且不与x轴垂直时，显然直线的斜率k0，直线AB的方程为：p y p y p2 k 2 k 2ky22pykp20，y1y2p2A（x1，y1）、B（x2，y2）两点都在抛物线y22px（p0）上，y122px1，y222px2；两式相乘得(y1y2)22px

12、12px2p44p2x1x2；p2从而x1x24p2p p则|AB|AF|BF|AA/|BB/|x1 x22x1x2p1 1 1 x12 x22x1x22 4 4 2(x1x2)4AByOB题AFx22(x1x2p)(4)过A、B两点分别作准线的垂线，垂足分别为A/、B/，由于点A、B是抛物线上的点，F是抛物线的焦点，根据抛物线的定义可知，|AF|AA/|，|BF|BB/|B/BF18002B/FB，A/AF18002A/FA由AA/BB/ B/BFA/AF1800y即：18002B/FB18002A/FA1800A/BN/垂足分别为A/、B/、N/， F xN为线段AB的中点，则|NN/|A

13、F|BF| |AB| 2B/题图以AB为直径的圆与准线相切。（6）设A，B是抛物线y22px上的两点，O为原点，则OAOB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)六你了解下列结论吗？共渐近线的双曲线系：(1)渐近线方程为：y=nx即xy=0m m nx2 y2m2 n20时表示焦点在x轴上的双曲线；0时表示焦点在y轴上的双曲线；(2)与双曲线x2-y2a2 b2=1有相同的渐近线的x2 y29 16(2)中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是-七、圆锥曲线中的最值问题（1）如图所示，若A（3，2），F为抛物线y22x的焦点，求|PF|PA|的最小值，以及取

14、得最小值时点P的坐标。Ly变式：若A（3，5）呢？（2）.定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2=x上移动，求ABNNOFPPAx中点M到y轴距离的最小值，并求此时AB中点M的坐标。（3）若x,yR，且3x2+2y2=6，则x+y的最大值是_，x2+y2例8图的最小值是（4）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_八动点轨迹方程问题：1、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程,称之直接法.例1点M与定点F(0,2)的距离和它到定直线y=8的距离的比是1:2，求点的轨迹

15、方程式，并说明轨迹是什么图形变式：已知动点P到定点F(1,0)和直线x=3的距离之和等于4，求P的轨迹方程2、待定系数法：已知轨迹是什么图形，先设出其标准方程，再求出参数。例2、已知椭圆的焦点坐标为和，且经过点，求椭圆的标准方程。变式：抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为1350的直线，被抛物线截得的弦长为8，试求抛物线的方程。3、定义法：定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程例3、求与圆(x-3)2+y2=1及(x+3)2+y2=9都外切的动圆圆心的轨迹方程解：设动圆的半径为r，

16、则由动圆与定圆都外切得MF=3+r,MF=1+r，1 2又因为MF-MF=(3+r)-(1+r)=2，1 2由双曲线的定义可知，点M的轨迹是双曲线的一支所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，其方程为：x2y2-=1(x1)18变式：（1）、一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线（2、已知ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使1sinB-sinC= sinA，求点A的轨迹2分析：首先建立坐标系，由于点A的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件解：以底边

17、BC为x轴，底边BC的中点为原点建立xoy坐标系，这时1B(-6,0),C(6,0)，由sinB-sinC= sinA得21b-c= a=6,即|AC|-|AB|=6 所以，点A的轨迹是以B(-6,0),C(6,0)为焦点，22a=6的双曲线的左支其方程为：x2y2-=1(x0,b0)上，F,F是它的两个焦点，求AFF1212的重心G的轨迹方程分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相关点法进行求解 注意限制条件解：设AFF的重心G的坐标为(x,y)，则点A的坐标为(3x,3y)1 2因为点A位于双曲线x2y2ab2=1(a0,b0)上，从而有(3x)2 (3y)2-a2 b2=1(y0)，即x2y2-=1(y0)ab()2()233所以，AFF的重心G的轨迹方程为1 2x2y2-=1(y0)ab()2()233变式：如图，从双曲线C:x2-y2=1上一点Q引直线 yPQNl:x+y=2的垂线，垂