华师大版八年级数学上册第14章 勾股定理 整合新版.docx

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华师大版八年级数学上册第14章勾股定理整合新版

专训一：

勾股定理及其逆定理的应用常见题型

名师点金：

勾股定理及其逆定理建立起了“数”与“形”的完美结合，利用这一定理，可以运用代数方法来研究几何问题．中考中涉及本章内容的题目较多，题型有独立知识的填空、选择题等；更多的是将勾股定理及其逆定理作为一种解决问题的手段，综合在其他知识中进行命题．

利用勾股定理求线段长

1．如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF的长．

（第1题）

利用勾股定理求面积

2．如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D′处，BC交AD′于点E，AB＝6cm，BC＝8cm，求阴影部分的面积．

（第2题）

利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状

3．在△ABC中，点D为BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，判断△ABD的形状．

利用勾股定理证明线段的相等关系

4．如图所示，AD是△ABC的中线，试说明：

AB2＋AC2＝2（AD2＋CD2）．

（第4题）

利用勾股定理解决几何体表面的最短路径问题

（第5题）

5．（中考·青岛）如图，圆柱形玻璃杯的高为12cm，底面周长为18cm.在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm.

利用勾股定理的逆定理解决实际问题

6．如图，某港口位于东西方向的海岸线上，A，B两军舰同时离开港口O，各自沿一固定方向航行，A舰每小时航行32海里，B舰每小时航行24海里，它们离开港口一小时后，相距40海里，已知A舰沿东北方向航行，则B舰沿哪个方向航行？

（第6题）

专训二：

利用勾股定理巧用旋转法解几何问题

名师点金：

对于条件较分散而题中又含相等的边（一般是相邻的边）时，常采用旋转法，将分散条件集中到一个三角形中去，即将含其中的一边的三角形旋转到两个相等的边重合的位置；当旋转角度为90°时，常结合勾股定理等知识进行解答．

利用旋转构造直角三角形求角度（构造法）

1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，求∠BPC的度数．

（第1题）

2．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数．

（第2题）

利用旋转判定三角形的形状

3．如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△CBE，且AD＝4，BD＝3，CD＝5.

（1）判断△DEC的形状，并说明理由；

（2）求∠ADB的度数．

（第3题）

4．如图所示，在等腰直角三角形ABC的斜边上取两点M，N，使∠MCN＝45°，设AM＝a，MN＝x，BN＝b，判断以x，a，b为边长的三角形的形状．

（第4题）

专训三：

勾股定理中几种常见的热门考点

名师点金：

本章主要学习了勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用和反证法，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系．它把直角三角形的“形”的特点转化为三边长的“数”的关系，是数形结合的典范，是直角三角形的重要性质之一，也是今后学习直角三角形的依据之一．

勾股定理及其应用

1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则连接这两条直角边中点的线段长为（　　）

A．3B．4C．5D．10

（第2题）

2．如图，长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为________．

3．如图，已知∠C＝90°，BC＝3cm，BD＝12cm，AD＝13cm，△ABC的面积是6cm2.

（1）求AB的长度；

（2）求△ABD的面积．

（第3题）

勾股定理的验证

4．如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点A逆时针旋转90°得△EAD，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．

（第4题）

直角三角形的判别

5．在△ABC中，AB＝12cm，AC＝9cm，BC＝15cm，下列关系式成立的是（　　）

A．∠B＋∠C>∠AB．∠B＋∠C＝∠A

C．∠B＋∠C<∠AD．以上都不对

6．已知|x－12|＋|z－13|和（y－5）2互为相反数，则以x，y，z为边长的三角形为________三角形．

7．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段AB，EA分别是图中1×3的两个长方形的对角线，请你说明：

AB⊥EA.

（第7题）

反证法

8．用反证法证明命题“如果a＞b，那么

＞

”时，假设的内容应是（　　）

A.

＝

B.

＜

C.

＝

且

＜

D.

＝

或

＜

9．用反证法证明“在一个三角形中，不可能有两个角是钝角”的第一步是________________________________________________________________________．

10．已知命题“在△ABC中，若AC2＋BC2≠AB2，则∠C≠90°”，要证明这个命题是真命题可用反证法，其步骤：

假设__________，根据__________，一定有____________，但这与已知____________相矛盾，因此，假设是错误的，于是可知原命题是真命题．

11．用反证法证明：

如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．

利用勾股定理求最短距离

12．如图，圆柱形无盖玻璃容器的高为18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．

（第12题）

利用勾股定理解决实际问题

13．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捕鱼”的问题．小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看到棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，飞的速度相同，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有多远？

思想方法

a．方程思想

14．如图，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠得到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长．

（第14题）

b．分类讨论思想

15．在△ABC中，若AB＝20，AC＝15，AD是BC边上的高，AD＝12，试求△ABC的面积．

答案

专训一

1．解：

连接BD.

∵等腰直角三角形ABC中，点D为AC边的中点，

∴BD⊥AC（等腰三角形三线合一），BD＝CD＝AD，∠ABD＝45°，∠C＝45°，∴∠ABD＝∠C.

又∵DE⊥DF，∴∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF，

∴∠FDC＝∠EDB.

在△EDB与△FDC中，

∴△EDB≌△FDC（A.S.A.），

∴BE＝FC＝3，∴AB＝7，则BC＝7，∴BF＝4.

在Rt△EBF中，EF2＝BE2＋BF2＝32＋42＝25，

∴EF＝5.

2．解：

由折叠的性质可知CD＝CD′，又CD＝AB，∴CD′＝AB.

在△ABE和△CD′E中，∠B＝∠D′＝90°，∠AEB＝∠CED′，AB＝CD′，

∴△ABE≌△CD′E，∴AE＝EC.

设AE＝xcm.在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即62＋（8－x）2＝x2，

∴x＝

，∴EC＝AE＝

cm.

∴S阴影＝

EC·AB＝

×

×6＝

（cm2）．

　（第3题）

3．解：

如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE、BE.

∵点D为BC的中点，

∴CD＝BD.

又∵AD＝DE，且∠ADC＝∠BDE，

∴△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝13.

∵AE＝2AD＝12，∴AE2＋AB2＝122＋52＝169，BE2＝132＝169，

∴AE2＋AB2＝BE2，∴∠EAB＝90°.

∴△ABD是直角三角形．

4．解：

过点A作AE⊥BC于点E.

在Rt△ABE中，根据勾股定理，

得AB2＝AE2＋BE2.①

在Rt△ACE中，根据勾股定理，

得AC2＝AE2＋CE2.②

由①＋②，得AB2＋AC2＝2AE2＋BE2＋CE2.

在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AE2＝AD2－DE2.

∵BD＝CD，CE＝CD＋DE，BE＝BD－DE＝CD－DE，

∴AB2＋AC2＝2（AD2－DE2）＋（CD－DE）2＋（CD＋DE）2＝（2AD2－2DE2）＋（2CD2＋2DE2）＝2（AD2＋CD2）．

5．15　点拨：

将圆柱沿经过点C的高展开，得到一个长方形，在上面可以找到A，C两点对应的位置，此时可以作点A关于长方形的边EF的对称点A′，连接A′C，再根据“两点之间线段最短”即可得出结果．解答过程如下：

如图，作点A关于EF的对称点A′，连接A′C，则A′C的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离．过点C作CD⊥AB，交AB于点D，在Rt△A′DC中，A′D＝12－4＋4＝12（cm），CD＝18÷2＝9（cm），∴A′C2＝A′D2＋CD2＝122＋92＝225，所以A′C＝15cm.

　（第5题）

6．解：

由题意得OA＝1×32＝32（海里），OB＝1×24＝24（海里），　

因为322＋242＝402，所以OA2＋OB2＝AB2，即△AOB为直角三角形，且∠AOB＝90°.

又因为A舰沿东北方向航行，所以B舰沿西北方向航行．

专训二

1．解：

如图，作∠BCD＝∠ACP，CD＝CP，连接BD，PD，∵∠ACB＝∠ACP＋∠PCB＝90°，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD，∴∠PCD＝90°，∴△PCD是等腰直角三角形，∴∠CPD＝45°，PD2＝8.

易知△ACP≌△BCD，∴BD＝AP＝3.在△PBD中，PD2＝8，PB＝1，BD＝3，∴PD2＋PB2＝BD2.

∴∠DPB＝90°.∴∠BPC＝∠CPD＋∠DPB＝135°.

点拨：

当题中所给已知条件相对分散的时候，可考虑添加辅助线将分散的条件集中在一起，如本题PB＝1，PC＝2，PA＝3看似没有关系，但是通过构造△PCD和△PBD，为研究这个问题创造了条件．

　（第1题）

　（第2题）

2．解：

如图，连接EE′.由题意知△ABE≌△CBE′，∴AE＝E′C＝1，BE＝BE′＝2，∠ABE＝∠CBE′.又∠ABE＋∠EBC＝90°，

∴∠CBE′＋∠EBC＝90°，即∠EBE′＝90°，由勾股定理，得EE′＝

.在△EE′C中，EE′＝

，E′C＝1，EC＝3，∴EE′2＋E′C2＝EC2，由勾股定理的逆定理可知∠EE′C＝90°.∵BE＝BE′，∠EBE′＝90°，∴∠BEE′＝∠BE′E＝

＝45°，∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝45°＋90°＝135°.

3．解：

（1）△DEC是直角三角形，理由如下：

因为△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△CBE，

所以△CBE≌△ABD.

所以BE＝BD＝3，CE＝AD＝4.

又因为∠DBE＝60°，

所以△BDE是等边三角形．

所以DE＝BD＝3.

又因为CD＝5，所以DE2＋CE2＝32＋42＝25＝52＝CD2.

所以△DEC是直角三角形．

（2）由

（1），得∠DEC＝90°，△BDE是等边三角形，

所以∠BED＝60°.

所以∠BEC＝90°＋60°＝150°.

因为△ABD≌△CBE，

　（第4题）

所以∠ADB＝∠BEC＝150°.

4．解：

如图，作CD⊥CM，且CD＝CM，连接ND，BD，

∵AC⊥BC，CD⊥CM，

∴∠ACB＝∠MCD＝90°，

∴∠ACM＝∠BCD，

又∵AC＝BC，CM＝CD，

∴△CAM≌△CBD，

∴∠CBD＝∠A＝45°，BD＝AM＝a.

∵CM＝CD，∠DCN＝∠MCN＝45°，CN＝CN，

∴△MCN≌△DCN，∴ND＝MN＝x.

∵∠CBD＝∠CAM＝45°，∠CBA＝45°，

∴∠NBD＝∠CBA＋∠CBD＝90°，

∴NB2＋BD2＝ND2，即b2＋a2＝x2，

∴以x，a，b为边长的三角形是直角三角形．

专训三

1．C　2.5

3．解：

（1）∵∠C＝90°，∴S△ABC＝

·BC·AC＝6，

∴AC＝4cm.

∵BC2＋AC2＝AB2，∴AB2＝32＋42＝52，

∴AB＝5cm.

（2）∵AB2＋BD2＝52＋122＝169，AD2＝132＝169，

∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°.

∴S△ABD＝

·AB·BD＝

×5×12＝30（cm2）．

4．解：

由题意得S△ABC＝S△AED，∴S正方形ACFD＝S△AED＋S梯形ACFE＝S△ABC＋S梯形ACFE＝S△BAE＋S△BFE，即b2＝

c2＋

（b＋a）（b－a），整理得2b2＝c2＋（b＋a）（b－a），∴a2＋b2＝c2.

5．B　6.直角

7．解：

连接BE.

∵AE2＝12＋32＝10，AB2＝12＋32＝10，BE2＝22＋42＝20，

∴AE2＋AB2＝BE2，

∴△ABE是直角三角形，且∠BAE＝90°，即AB⊥EA.

8．D　9.假设一个三角形的三个内角中有两个角是钝角

10．∠C＝90°；勾股定理；AC2＋BC2＝AB2；AC2＋BC2≠AB2

11．证明：

假设这两个整数都是奇数，不妨设其中一个为2n＋1，另一个为2m＋1（n，m为整数），于是（2n＋1）（2m＋1）＝4mn＋2n＋2m＋1＝2（2mn＋n＋m）＋1.∵无论n，m取何值，2（2mn＋n＋m）＋1都是奇数，这与已知中两个整数的积是偶数相矛盾，∴假设不成立，∴这两个整数中至少有一个是偶数．

12．解：

将圆柱的侧面的一半沿AB展开，如图所示，过点C作CE⊥AB于E.

在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，EF＝18－1－1＝16（cm），

CE＝

×60＝30（cm）．

由勾股定理得CF2＝CE2＋EF2＝302＋162＝342，

即CF＝34cm.

答：

蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm.

（第12题）

（第13题）

13．解：

如图，

由题意得AB＝20肘尺，DC＝30肘尺，BC＝50肘尺，

设EC为x肘尺，BE为（50－x）肘尺，

在Rt△ABE和Rt△DEC中，AE2＝AB2＋BE2＝202＋（50－x）2，DE2＝DC2＋EC2＝302＋x2，

又∵AE＝DE，∴x2＋302＝（50－x）2＋202，解得x＝20.

答：

这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根20肘尺．

14．解：

易知CD′＝CD＝AB＝3，∠D′＝∠D＝∠B＝90°，AD′＝AD＝4，又∠AEB＝∠CED′，所以△ABE≌△CD′E，

所以BE＝D′E.

设BE＝D′E＝x，则AE＝AD′－D′E＝4－x.

在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＋BE2＝AE2，即32＋x2＝（4－x）2，解得x＝

，所以BE＝

.

15．解：

因为AD是BC边上的高，

所以△ABD和△ACD都是直角三角形．由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝256，CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，所以BD＝16，CD＝9.

①若∠ACB是锐角，如图①，则BC＝BD＋CD＝16＋9＝25，

所以S△ABC＝

BC·AD＝

×25×12＝150.

②若∠ACB是钝角，如图②，则BC＝BD－CD＝16－9＝7，

所以S△ABC＝

BC·AD＝

×7×12＝42.

综上所述，△ABC的面积为150或42.

（第15题）