双曲线的标准方程和几何性质.docx
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双曲线的标准方程和几何性质
双曲线的标准方程及其几何性质
一、双曲线的标准方程及其几何性质•
1双曲线的定义：
平面内与两定点Fl、F2的距离差的绝对值是常数（大于零，小于丨F1F2I）
的点的轨迹叫双曲线。
两定点Fi、F2是焦点，两焦点间的距离|F1F2|是焦距，用2c表
示，常数用2a表示。
（1）若丨MF|-|MF|=2a时，曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线.
（2）若|MF|-|MF|=-2a时，曲线只表示焦点Fi所对应的一支双曲线.
（3）若2a=2c时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以Fi、F2为端点向外的两条射线.
x2
⑷若2a>2c时，动点的轨迹不存在.
2.双曲线的标准方程：
22
X-y=1（a>0,b>0）表示焦点在x轴上的双曲线;o22
ab
2
b2
=1（a>0,b>0）表示焦点在y轴上的双曲线
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数
的符号，焦点在系数正的那条轴上•
3.双曲线的简单几何性质:
标准方程
22
xy
———=1（a>0,b>0）
ab
22
yx
=1（a>0,b>0）
ab
图象
*
a,b,c关系
a2+b2=c2
范围
|x|na,yER
|yAa,x壬R
顶点
（土a,0）
（0,土a）
对称性
关于x,y轴成轴对称、关于原点成中心对称
渐近线
y』x
a
.a
离心率
e仝41）
a
焦占
八'、八、、
F（士c,0）
F（0,±c）
等轴双曲线：
x2-y2=a2（a丰0）,它的渐近线方程为y=±x,离心率e=J2•
4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。
（1）通常消去方程组中变量y（或x）得到关于变量x（或y）的一元二次方程，考虑该一
元二次方程的判别式二，则有：
二0=直线与双曲线相交于两个点；=0=直线与
双曲线相交于一个点；二■-直线与双曲线无交点.
（2）若得到关于x（或y）的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线.
（3）
⑶直线l被双曲线截得的弦长|AB=Jo+k2）%—x2）2或J（1+丄）（％—y2）2，其中k
k
是直线I的斜率，（为,y1）,（X2,y2）是直线与双曲线的两个交点A,B的坐标，且
22
（洛一x2）=（x1x2）-4x1x2，x1x2，x1x2可由韦达定理整体给出.
二、例题选讲
例1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距
离为.2,则双曲线方程为（）
例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程.
（1）过点P（3,-.、2），离心率e-
2
F1PF2=60,SpF^=123.
解：
（1）依题意，双曲线的实轴可能在x轴上，也可能在y轴上，分别讨论如下.
22
由双曲线的定义，得
⑵设双曲线方程为笃占=1，因F|F2=2c，而
ab
[PR—PF2|=2a=c•由余弦，得
222
（2c）2=|PF+|PF2-2PF^]PF2co^F1PF2
=（PF-PF2）2+2PRPF?
”（1-cos60j,
=48.
二4c2=c2+|PFiPF?
•又S苗f2=*|PFiPF2sin60°=12V3，二|PFi■PF2
22
二3c2=48,c2=16，得a2=4,b2=12.二所求双曲线的方程为—--1•
412
22
a.x_y_=1b
2X
2
丄=1
22
C.X丄=1D.
22
X丄=1
3
5
5
3
138
135
&过点R4,4）且与双曲线
2
X
16-
2
9=1只有-
个交点的直线有（
）
A.1条
B.
2条
C
.3条D.4条
解析：
如图所示，满足条件的直线共有3条.
9•经过两点A（_7,_6...2）,B（2...7,3）的双曲线的方程为
则•PF1F2的面积为
12.双曲线25x2-16y2=400的实轴长等于，虚轴长等于，顶点坐标为
焦点坐标为，渐近线方程为，离心率等于
22
13.直线y=x+1与双曲线=1相交于A,B两点，贝UAB=12.4耗
23
2
14.过点M（3.-1）且被点M平分的双曲线—-y2=1的弦所在直线方程为
4
13.3x4y-5=0
22
15.双曲线mxy=1的虚轴长是实轴长的2倍，贝Um=。
2
22x2
双曲线mx2•y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，•••m<0,且双曲线方程为y=1,
4
1
•-m=—。
4
16.已知双曲线的离心率"i5,且与椭圆春百=1有共同的焦点，求该双曲线的方程.
解：
在椭圆中，焦点坐标为（土10,0）,
•c=10,又“a2=8,b2二2.
22
双曲线方程为"5■—秒=1.
82
2
17.已知R、F2是双曲线—-y2=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足.RPF2=90',
4
求：
FiPF2的面积.
2
解：
•••P为双曲线—-y^1上的一个点且F1、F2为焦点.4
（PR—PF?
]=2a=4,越|=2。
=275
222
:
厶F1PF^90:
.••在RUPF1F2中，PF1+|PF2=|F1F2=20
•••qPF」-PF2I匚PF12+|PF2『-2PF1IIPF2=16,•••20-2PF1IIPF2I=16,
PF1PF2=2
（2）设线段PA的中点为M（x,y）,点P的坐标是（x0,y0）,
2
由，点P在椭圆上，得屮伽冷）2"
1212
•线段PA中点M的轨迹方程是（x-—），4（y-—）=1.
4
19.已知椭圆C的焦点F1（—2^2,0）和F2（2/2,0）,长轴长6,设直线
椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。
解：
由已知条件得椭圆的焦点在x轴上，其中c=2,2,a=3,从而b=1,所以其标准方程是
21.中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点，且
|FT?
卜2•.13，椭圆的半长轴与双曲线的半实轴之差为4,离心率之比为3:
7。
（1）求这两条曲线的方程；
（2）若P为这两条曲线的一个交点，求cosF1PF2的值。
（2）设•F1PF2-二，由余弦定理得:
|PF1|2-|PF2|2-2|PF1||PF2|cost-|F1F2|2二52……①由椭圆定义得：
|PF1|2-|PF2|22|PF1||PF2196……②由双曲线定义得：
|PF1|2-|PF2|2二|PF1||PF2|=36……③
②-①得：
|PFiIIPF2|（1cos旳=72,①-③得：
|PF_!
||PF21（1-cos旳=8
4
=9=cost
5
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