双曲线的标准方程和几何性质.docx

1、双曲线的标准方程和几何性质双曲线的标准方程及其几何性质一、双曲线的标准方程及其几何性质 1双曲线的定义：平面内与两定点 Fl、F2的距离差的绝对值是常数 (大于零，小于丨F1F2I )的点的轨迹叫双曲线。两定点 Fi、F2是焦点，两焦点间的距离| F1F2 |是焦距，用2c表示，常数用2a表示。(1)若丨MF | - | MF | =2a时，曲线只表示焦点 F2所对应的一支双曲线.(2)若| MF | - | MF | =-2 a时，曲线只表示焦点 Fi所对应的一支双曲线.(3)若2a=2c时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以 Fi、F2为端点向外的两条射线.x2 若2a 2c时，动点的轨迹不存

2、在.2.双曲线的标准方程：2 2X - y =1( a 0,b 0)表示焦点在x轴上的双曲线; o2 2a b2b2=1( a 0,b 0)表示焦点在y轴上的双曲线判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较 x2、y2的分母的大小，而是 x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上 3.双曲线的简单几何性质:标准方程2 2x y =1 ( a 0,b 0 )a b2 2y x =1 ( a 0,b 0 )a b图 象*a, b,c关系a2 +b2 = c2范 围|x|na,yE R|y Aa, x壬 R顶 点(土a,0)(0, 土a)对称性关于x,y轴成轴对称、关于原点成中心对称渐近线yxa.

3、a离心率e仝41)a焦 占八、 八、F(士c,0)F(0,c)等轴双曲线：x2-y2= a2( a丰0),它的渐近线方程为 y= x,离心率e = J2 4.直线与双曲线的位置关系， 可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的 个数来确定。(1)通常消去方程组中变量 y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式 二，则有：二0=直线与双曲线相交于两个点； =0= 直线与双曲线相交于一个点； 二- 直线与双曲线无交点.(2)若得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平 行于双曲线的一条渐近线.(3)直线l被双曲线截得的弦长|

4、AB = Jo + k2）% x2）2或J（1 +丄）（ y2）2，其中kk是直线I的斜率，（为,y1） , （X2, y2）是直线与双曲线的两个交点 A , B的坐标，且2 2（洛一x2） =（x1 x2） -4x1x2， x1 x2， x1x2可由韦达定理整体给出.二、例题选讲例1、中心在原点，焦点在 x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为.2,则双曲线方程为（ ）例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程.（1）过点P（3, - .、2），离心率e -2F1PF2 =60 , SpF =123 .解：（1）依题意，双曲线的实轴可能在 x轴上，也可能在 y轴上，分别

5、讨论如下.2 2由双曲线的定义，得 设双曲线方程为 笃 占=1，因F| F2 = 2c，而a bPR PF2| =2a=c 由余弦，得2 2 2(2c)2=|PF +|PF2 -2PFPF2 coF1PF2= (PF - PF2)2+2PR PF? ”(1-cos60j ,= 48.二 4c2 =c2+|PFi PF? 又 S苗f2 =*|PFi PF2 sin60 = 12V3，二 |PFi PF22 2二 3c2 =48 , c2 =16，得 a2 =4 , b2 =12 .二所求双曲线的方程为 - 1 4 122 2a . x_y_=1 b2 X2丄=12 2C . X 丄=1 D .2

6、 2X丄=1355313 813 5&过点R4,4）且与双曲线2X16-29 = 1只有-个交点的直线有 （)A . 1条B .2条C.3条 D . 4条解析：如图所示，满足条件的直线共有 3条.9经过两点 A(_7,_6. 2), B(2. 7,3)的双曲线的方程为则 PF1F2的面积为12.双曲线25x2 -16y2 =400的实轴长等于 ，虚轴长等于 ，顶点坐标为 , 焦点坐标为 ，渐近线方程为 ，离心率等于 2 213.直线y=x+1与双曲线 =1相交于A,B两点，贝U AB = 12 . 4耗2 3214.过点M(3.-1)且被点M平分的双曲线 -y2 =1的弦所在直线方程为413

7、. 3x 4y -5 =02 215.双曲线mx y =1的虚轴长是实轴长的 2倍，贝U m= 。22 2 x 2双曲线mx2 y2 =1的虚轴长是实轴长的 2倍， m0,且双曲线方程为 y= 1 ,41- m=。416.已知双曲线的离心率i5,且与椭圆春百=1有共同的焦点，求该双曲线的方程.解：在椭圆中，焦点坐标为(土 10, 0), c= 10,又 “a2 = 8, b2二 2.2 2双曲线方程为5 秒=1.8 2217.已知R、F2是双曲线 -y2 =1的两个焦点，点P在双曲线上且满足.RPF2 =90 ,4求：FiPF2的面积.2解： P为双曲线-y1上的一个点且F1、 F2为焦点.

8、4(PR PF? =2a=4, 越|=2。= 2752 2 2:厶F1PF90 :.在 RUPF1F2 中，PF1 +|PF2 =|F1F2 =20 qPF-PF2I 匚 PF1 2 +|PF2-2PF1IIPF2 =16 , 20-2PF1IIPF2I =16 ,PF1 PF2 =2(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x 0,y 0),2由，点P在椭圆上，得屮伽冷)21 2 1 2线段PA中点M的轨迹方程是(x- ) ，4(y-) = 1.419.已知椭圆C的焦点F1 ( 22 , 0)和F2 ( 2/2 , 0),长轴长6,设直线椭圆C于A、B两点，求线段 AB的中点坐标。

9、解：由已知条件得椭圆的焦点在 x轴上，其中c= 2, 2 ,a=3,从而b=1,所以其标准方程是21.中心在原点，焦点在 x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点 ，且| FT?卜2 . 13，椭圆的半长轴与双曲线的半实轴之差为 4,离心率之比为3 : 7。(1)求这两条曲线的方程；(2)若P为这两条曲线的一个交点，求 cos F1PF2的值。(2)设 F1PF2 -二，由余弦定理得:| PF1 |2 - | PF2 |2 -2 | PF1 | PF2 | cost -| F1F2 |2 二 52 由椭圆定义得：| PF1 |2 - | PF2 |2 2 | PF1 | PF2 196 由双曲线定义得：| PF1 |2 - | PF2 |2二| PF1 | PF2 |=36-得：|PFi IIPF2 |(1 cos旳=72 , -得：| PF_! | PF2 1(1 -cos 旳=84=9= cost5