上海市嘉定区宝山区中考数学二模试题有答案精析.docx
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上海市嘉定区宝山区中考数学二模试题有答案精析
2020年上海市嘉定区、宝山区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．﹣2的倒数是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．2a﹣a=1B．a2+a2=2a4C．a2•a3=a5D．（a﹣b）2=a2﹣b2
3．某地气象局预报称：
明天A地区降水概率为80%，这句话指的是（ ）
A．明天A地区80%的时间都下雨
B．明天A地区的降雨量是同期的80%
C．明天A地区80%的地方都下雨
D．明天A地区下雨的可能性是80%
4．某老师在试卷分析中说：
参加这次考试的82位同学中，考91的人数最多，有11人之众，但是十分遗憾最低的同学仍然只得了56了．这说明本次考试分数的众数是（ ）
A．82B．91C．11D．56
5．如果点K、L、M、N分别是四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA的中点，且四边形KLMN是菱形，那么下列选项正确的是（ ）
A．AB⊥BCB．AC⊥BDC．AB=BCD．AC=BD
6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．据统计，今年上海“樱花节”活动期间顾村公园入园赏樱人数约312万人次，用科学记数法可表示为______人次．
8．因式分解：
2a2﹣8=______．
9．不等式组的解集是______．
10．如果在组成反比例函数图象的每条曲线上，y都随x的增大而增大，那么k的取值范围是______．
11．如果函数y=f（x）的图象沿x轴的正方向平移1个单位后与抛物线y=x2﹣2x+3重合，那么函数y=f（x）的解析式是______．
12．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加上海市初中数学竞赛，那么应选______同学．
甲
乙
丙
丁
平均数
70
85
85
70
标准差
6.5
6.5
7.6
7.6
13．方程的解是______．
14．已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是边AB、BC的中点，如果、，那么向量=______（结果用、表示）．
15．以点A、B、C为圆心的圆分别记作⊙A、⊙B、⊙C，其中⊙A的半径长为1，⊙B的半径长为2，⊙C的半径长为3，如果这三个圆两两外切，那么cosB的值是______．
16．如图，如果在大厦AB所在的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为30°，然后向大厦方向前进40米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），此时测得大厦顶端A的仰角为45°，那么大厦AB的高度为______米（保留根号）．
17．对于实数m、n，定义一种运算“*”为：
m*n=mn+n．如果关于x的方程x*（a*x）=有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a的值是______．
18．如图，点D在边长为6的等边△ABC的边AC上，且AD=2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转60°，若此时点A和点D的对应点分别记作点E和点F，联结BF交边AC与点G，那么tan∠AEG=______．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．化简求值：
（）÷，其中x=．
20．解方程：
．
21．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点M、N；②联结MN，直线MN交△ABC的边AC与点D，联结BD．如果此时测得∠A=34°，BC=CD．求∠ABC与∠C的度数．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣4，2）向x轴作垂线，垂足为B，联结AO得到△AOB，过边AO中点C的反比例函数的图象与边AB交于点D．求：
（1）反比例函数的解析式；
（2）求直线CD与x轴的交点坐标．
23．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，若∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE与BF相交于H，BF与AD的延长线相交于G．求证：
（1）CD=BH；
（2）AB是AG和HE的比例中项．
24．在平面直角坐标系xOy（如图）中，经过点A（﹣1，0）的抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称．
（1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；
（2）如果点E是抛物线上一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F，且F在E的右边，过点E作EG⊥AD与点G，设E的横坐标为m，△EFG的周长为l，试用m表示l；
（3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．
25．如图，⊙O与过点O的⊙P交于AB，D是⊙P的劣弧OB上一点，射线OD交⊙O于点E，交AB延长线于点C．如果AB=24，tan∠AOP=．
（1）求⊙P的半径长；
（2）当△AOC为直角三角形时，求线段OD的长；
（3）设线段OD的长度为x，线段CE的长度为y，求y与x之间的函数关系式及其定义域．
2020年上海市嘉定区、宝山区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．﹣2的倒数是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣D．
【考点】倒数．
【分析】根据倒数的定义：
乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•=1（a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
【解答】解：
﹣2的倒数是﹣，
故选C．
2．下列计算正确的是（ ）
A．2a﹣a=1B．a2+a2=2a4C．a2•a3=a5D．（a﹣b）2=a2﹣b2
【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，即可解答．
【解答】解：
A.2a﹣a=a，故错误；
B．a2+a2=2a2，故错误；
C．a2•a3=a5，正确；
D．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故错误；
故选：
C．
3．某地气象局预报称：
明天A地区降水概率为80%，这句话指的是（ ）
A．明天A地区80%的时间都下雨
B．明天A地区的降雨量是同期的80%
C．明天A地区80%的地方都下雨
D．明天A地区下雨的可能性是80%
【考点】概率的意义．
【分析】降水概率就是降水的可能性，根据概率的意义即可作出判断．
【解答】解：
“明天A地区降水概率为80%”是指明天A地区下雨的可能性是80%．且明天下雨的可能性较大，
故A、B、C都错误，只有D正确；
故选：
D．
4．某老师在试卷分析中说：
参加这次考试的82位同学中，考91的人数最多，有11人之众，但是十分遗憾最低的同学仍然只得了56了．这说明本次考试分数的众数是（ ）
A．82B．91C．11D．56
【考点】众数．
【分析】利用众数的定义直接回答即可．
【解答】解：
∵考91的人数最多，
∴众数为91分，
故选：
B．
5．如果点K、L、M、N分别是四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA的中点，且四边形KLMN是菱形，那么下列选项正确的是（ ）
A．AB⊥BCB．AC⊥BDC．AB=BCD．AC=BD
【考点】中点四边形．
【分析】由E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，得出KL，MN是中位线，再得出四条边相等，根据四条边都相等的四边形是菱形．
【解答】解：
∵点K、L、M、N分别是四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA，
∴KL∥AC，KL=AC，MN∥BD，MN=BD，
∵四边形EFGH为菱形，
∴AC=BD，
故选：
D．
6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据对称的性质得到△BFE≌△DFE，得到DE=BE．根据已知条件得到∠DEB=90°，设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，根据矩形的性质得到GE=AD=1，根据全等三角形的性质得到BG=EC=1.5，根据勾股定理得到AB=CD==5，通过△BDC∽△DEF，得到，求出BF=，于是得到结论．
【解答】解：
∵EF是点B、D的对称轴，
∴△BFE≌△DFE，
∴DE=BE．
∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，
∴∠BDE=∠DBE=45°．
∴∠DEB=90°，
∴DE⊥BC．
在等腰梯形ABCD中，∵，
∴设AD=1，BC=4，
过A作AG⊥BC于G，
∴四边形AGED是矩形．
∴GE=AD=1，
∵Rt△ABG≌Rt△DCE，
∴BG=EC=1.5，
∴AG=DE=BE=2.5
∴AB=CD==5，
∵∠ABC=∠C=∠FDE，
∵∠CDE+∠C=90°，
∴∠FDE+∠CDE=90°
∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，
∴∠BDC=∠DFE，
∵∠DEF=∠DBC=45°，
∴△BDC∽△DEF，
∴，
∴DF=，
∴BF=，
∴AF=AB﹣BF=，
∴=．
故选B．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．据统计，今年上海“樱花节”活动期间顾村公园入园赏樱人数约312万人次，用科学记数法可表示为 3.12×106 人次．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：
将908万用科学记数法表示为3.12×106，
故答案为：
3.12×106．
8．因式分解：
2a2﹣8= 2（a+2）（a﹣2） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：
2a2﹣8=2（a2﹣4）=2（a+2）（a﹣2）．
故答案为：
2（a+2）（a﹣2）．
9．不等式组的解集是 1＜x＜2 ．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】分别求出两个不等式的解集，然后再求出两个解集的公共部分．
【解答】解：
解不等式x+1＜3得，x＜2；
解不等式2x﹣1＞1得，x＞1；
则不等式组的解集为1＜x＜2．
故答案为1＜x＜2．
10．如果在组成反比例函数图象的每条曲线上，y都随x的增大而增大，那么k的取值范围是 k＞1 ．
【考点】反比例函数的性质．
【分析】根据反比例函数的增减性列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：
∵反比例函数图象的每条曲线上，y都随x的增大而增大，
∴1﹣k＜0，解得k＞1．
故答案为：
k＞1．
11．如果函数y=f（x）的图象沿x轴的正方向平移1个单位后与抛物线y=x2﹣2x+3重合，那么函数y=f（x）的解析式是 y=x2+2 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】把y=x2﹣2x+3沿x轴负方向平移1个单位后得到要求的抛物线．
【解答】解：
根据题意，y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，沿x轴负方向平移1个单位，得到y=x2+2．
故答案为y=x2+2．
12．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加上海市初中数学竞赛，那么应选 乙 同学．
甲
乙
丙
丁
平均数
70
85
85
70
标准差
6.5
6.5
7.6
7.6
【考点】标准差．
【分析】此题有两个要求：
①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小的同学参赛．
【解答】解：
由于乙的方差较小、平均数较大，故选乙．
故答案为：
乙．
13．方程的解是 x=﹣1 ．
【考点】无理方程．
【分析】根据方程可知等号左边的x+1≤0，等号右边根号里面的x+1≥0，联立不等式组，即可解答本题．
【解答】解：
∵，
∴，
解得，x=﹣1，
故答案为：
x=﹣1．
14．已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是边AB、BC的中点，如果、，那么向量= + （结果用、表示）．
【考点】*平面向量．
【分析】首先根据题意画出图形，然后连接AC，由三角形法则，即可求得，然后由点M、N分别是边AB、BC的中点，根据三角形中位线的性质，求得答案．
【解答】解：
如图，连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴==，
∵，
∴=+=+，
∵点M、N分别是边AB、BC的中点，
∴==+．
故答案为：
+．
15．以点A、B、C为圆心的圆分别记作⊙A、⊙B、⊙C，其中⊙A的半径长为1，⊙B的半径长为2，⊙C的半径长为3，如果这三个圆两两外切，那么cosB的值是 ．
【考点】相切两圆的性质．
【分析】由已知条件得出△ABC的三边长，由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，∠A=90°，再由三角函数的定义即可得出结果．
【解答】解：
如图所示：
∵⊙A的半径长为1，⊙B的半径长为2，⊙C的半径长为3，且这三个圆两两外切，
∴AB=1+2=3，AC=3+1=4，BC=3+2=5，
∵AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠A=90°，
∴cosB==．
故答案为：
．
16．如图，如果在大厦AB所在的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为30°，然后向大厦方向前进40米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），此时测得大厦顶端A的仰角为45°，那么大厦AB的高度为 20+20 米（保留根号）．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】先设AB=x；根据题意分析图形：
本题涉及到两个直角三角形Rt△ACB和Rt△ADB，应利用其公共边BA构造等量关系，解三角形可求得DB、CB的数值，再根据CD=BC﹣BD=40，进而可求出答案．
【解答】解：
设AB=x，
在Rt△ACB和Rt△ADB中，
∵∠C=30°，∠ADB=45°，CD=40，
∴DB=x，AC=2x，
∴BC==x，
∴∵CD=BC﹣BD=40，
x﹣x=40，
∴x=20（+1），
故答案为：
20+20．
17．对于实数m、n，定义一种运算“*”为：
m*n=mn+n．如果关于x的方程x*（a*x）=有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a的值是 0 ．
【考点】根的判别式．
【分析】由于定义一种运算“*”为：
m*n=mn+n，所以关于x的方程x*（a*x）=变为（a+1）x2+（a+1）x+=0，而此方程有两个相等的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a的关系式，即可解决问题．
【解答】解：
由x*（a*x）=﹣，
得（a+1）x2+（a+1）x+=0，
依题意有a+1≠0，
△=（a+1）2﹣（a+1）=0，
解得，a=0，或a=﹣1（舍去）．
故答案为：
0．
18．如图，点D在边长为6的等边△ABC的边AC上，且AD=2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转60°，若此时点A和点D的对应点分别记作点E和点F，联结BF交边AC与点G，那么tan∠AEG= ．
【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．
【分析】作GM⊥AE于M，则∠AMG=90°，由等边三角形的性质得出AB=BC=AC=6，∠BAC=∠ABC=60°，由旋转的性质得出△AEC≌△ABC，EF=AD=2，因此AE=CE=AB=6，∠EAC=∠ACE=60°，CF=CE﹣EF=4，得出AB∥CF，证出△ABG∽△CFG，得出对应边成比例=，求出AG，再求出AM，得出GM、ME，即可得出结果．
【解答】解：
如图所示：
作GM⊥AE于M，
则∠AMG=90°，
∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴AB=BC=AC=6，∠BAC=∠ABC=60°，
由旋转的性质得：
△AEC≌△ABC，EF=AD=2，
∴AE=CE=AB=6，∠EAC=∠ACE=60°，CF=CE﹣EF=4，
∴AB∥CF，
∴△ABG∽△CFG，
∴==，
∴AG=AC=3.6，
∵∠AGM=90°﹣60°=30°，
∴AM=AG=1，
∴GM=AM=，ME=AE﹣AM=，
∴tan∠AEG===；
故答案为：
．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．化简求值：
（）÷，其中x=．
【考点】二次根式的化简求值．
【分析】括号内通分，化除法为乘法进行化简，然后代入求值．
【解答】解：
原式=×=．
将x=代入，得
原式==．
20．解方程：
．
【考点】解分式方程．
【分析】方程两边乘以x（2x﹣1）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：
方程两边同时乘以x（2x﹣1），得（2x﹣1）2﹣3x2+2x（2x﹣1）=0，
整理后，得5x2﹣6x+1=0，
解得：
x1=1，x2=，
经检验：
x1=1，x2=是原方程的根，
则原方程的根是x1=1，x2=．
21．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点M、N；②联结MN，直线MN交△ABC的边AC与点D，联结BD．如果此时测得∠A=34°，BC=CD．求∠ABC与∠C的度数．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分AB，则DA=DB，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质得∠CDB=68°，再由CB=CD得到∠CBD=∠CDB=68°，所以∠ABC=∠DBA+∠CBD=102°，然后利用三角形内角和定理计算∠C的度数．
【解答】解：
由作法得MN垂直平分AB，则DA=DB，
∴∠DBA=∠A=34°，
∴∠CDB=∠DBA+∠A=68°，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB=68°，
∴∠ABC=∠DBA+∠CBD=34°+68°=102°，
∠C=180°﹣68°﹣68°=44°．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣4，2）向x轴作垂线，垂足为B，联结AO得到△AOB，过边AO中点C的反比例函数的图象与边AB交于点D．求：
（1）反比例函数的解析式；
（2）求直线CD与x轴的交点坐标．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式．
【分析】
（1）由A点的坐标结合中点的坐标公式可得出点C的坐标，将点C的坐标代入到反比例函数解析式即可求出k值，从而得出反比例函数的解析式；
（2）令x=﹣4，找出D点的坐标，由待定系数法求出直线CD的函数解析式，再令y=0，解关于x的一元一次方程即可得出直线CD与x轴的交点坐标．
【解答】解：
（1）∵点C为线段AO的中点，
∴C点的坐标为（﹣2，1），
将点C（﹣2，1）代入到反比例函数中得：
1=，解得：
k=﹣2．
∴反比例函数的解析式为y=﹣．
（2）令x=﹣4，则y=﹣=．
即点D的坐标为（﹣4，）．
设直线CD的解析式为y=ax+b，
由点C、D在直线CD的图象上可知：
，解得：
．
∴直线CD的解析式为y=x+．
令y=0，则有x+=0，
解得：
x=﹣6．
∴直线CD与x轴的交点坐标为（﹣6，0）．
23．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，若∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE与BF相交于H，BF与AD的延长线相交于G．求证：
（1）CD=BH；
（2）AB是AG和HE的比例中项．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】
（1）根据已知利用AAS判定△BEH≌△DEC，从而得到BH=DC；
（2）根据两组角对应相等的两个三角形相似得到△BEH∽△GBA，相似三角形的对应边成比例所以BH•AB=EH•AG，由于BH=DC=AB所以推出了AB2=GA•HE．
【解答】证明：
（1）∵在▱ABCD中，DE⊥BC，∠DBC=45°，
∴∠DEC=∠BEH=90°，DE=BE，
∵∠EBH+∠BHE=90°，∠DHF+∠CDE=90°，
∴∠EBH=∠EDC，
在△BEH与△DEC中，
，
∴△BEH≌△DEC．
∴BH=DC；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AG∥BC，∠A=∠C=∠BHE，AB=CD，
∴∠G=∠HBE，
∴△BEH∽△GBA，
∴BH•AB=EH•AG，
∵BH=DC=AB，
∴AB2=GA•HE．
24．在平面直角坐标系xOy（如图）中，经过点A（﹣1，0）的抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称．
（1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；
（2）如果点E是抛物线上一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F，且F在E的右边，过点E作EG⊥AD与点G，设E的横坐标为m，△EFG的周长为l，试用m表示l；
（3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】
（1）将点A（﹣1，0）代入抛物线的解析式可求得b的值，然后可得到抛物线的解析式，从而可求得抛物线的对称轴，再依据对称性可求得D（2，3），B（3，0），最后依据待定系数法求得AD的解析式可求得直线AD与x轴正方向的夹角；
（2）设E（m，﹣m2+2m+3），则F（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），EF=﹣m2+m+2．然后证明△EFG为等腰直角三角形，从而得到EF=（1+）EF，于是可求得l与m的关系式；
（3）先利用配方法求得点M的坐标，然后根据①AM为矩形的对角线时，②当AM为矩形的一边时两种情况求解即可．
【解答】解：
（1）∵将点A（﹣1，0）代入抛物线的解析式得：
﹣1﹣b+3=0，解得：
b=2，
∴y=﹣x2+2x+3．
∴抛物线的对称轴为直线x=1．
令x=0得：
y=3，则C（0，3）．
∵点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称，
∴D（2，3），B（3，0）．
设直线AD的解析式为y=kx+b．
∵将A（﹣1，0）、D（2，3）代入得：
，解得：
k=1，b=1，
∴直线AD的解析式为y=x+1．
∴直线AD与x轴正方向的夹角为45°．
（2）如图1所示：
设E（m，﹣m2+2m+3），则F（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），EF=﹣m2+2m+2﹣m=﹣m2+m+2．
∵∠EGF=90°，∠EFG=45°，
∴△EFG为等腰直角三角形．
∴l=EF+FG+EG=EF+EF+EF=（1+）EF=（1+）（﹣m2+m+2）=﹣（）m2+（+1）m+2+2．
（3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴M（1，4）．
①AM为矩形的对角线时，如图2所示：
∵由矩形的性质可知：
N为AM的中点，A（﹣1，0），M（1，4），
∴N（0，2）．
∵由两点间的距离公式可知：
MN==．
∴NQ1=NQ2=，
∴Q1（0，2+），Q2（0，2﹣）．
②当AM为矩形的一边时，如图3所示：
过Q3作Q3E⊥y轴，垂直为E，过Q4作Q4F⊥y轴，垂
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