7．函数与方程
（1）零点定义：
x0为函数f（x）的零点⇔f（x0）＝0⇔（x0,0）为f（x）的图象与x轴的交点．
（2）确定函数零点的三种常用方法
①解方程判定法：
解方程f（x）＝0；
②零点定理法：
根据连续函数y＝f（x）满足f（a）f（b）<0，判断函数在区间（a，b）内存在零点．
③数形结合法：
尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．
1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则．
2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．
3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．
5．准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y＝ax（a＞0，a≠1）的单调性容易忽视字母a的取值讨论，忽视ax＞0；对数函数y＝logax（a＞0，a≠1）容易忽视真数与底数的限制条件．
6．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．
1．下列各图形中，是函数图象的是（ ）
答案 D
解析 函数y＝f（x）的图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，故A，B，C均不正确，故选D.
2．若函数f（x）＝
则f（－3）的值为（ ）
A．5 B．－1
C．－7 D．2
答案 D
解析 依题意，f（－3）＝f（－3＋2）＝f（－1）
＝f（－1＋2）＝f
（1）＝1＋1＝2，故选D.
3．定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝3，则奇函数f（x）的值域是（ ）
A．（－∞，－3] B．[3，＋∞）
C．[－3,3] D．{－3,0,3}
答案 D
解析 ∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（－x）＝－f（x），f（0）＝0，
设x＜0，则－x＞0，f（－x）＝－f（x）＝3，
∴f（x）＝－3，
∴f（x）＝
∴奇函数f（x）的值域是{－3,0,3}．
4．已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）＋g（x）＝ax－a－x＋2（a＞0，a≠1），若g
（2）＝a，则f
（2）等于（ ）
A．2 B.
C.
D．a2
答案 B
解析 因为f（x）＋g（x）＝ax－a－x＋2（a＞0，a≠1），若g
（2）＝a，则f
（2）＋g
（2）＝a2－a－2＋2，
因为f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
当x＝－2时，f（－2）＋g（－2）＝－f
（2）＋g
（2）＝a－2－a2＋2，解得g
（2）＝2，又g
（2）＝a⇒a＝2，所以f
（2）＝22－2－2＝
，故选B.
5．函数f（x）＝ex＋4x－3的零点所在的区间为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题意可知，f（0）＝－2＜0，f
＝
－1＞0，
f
＝
－2＜0根据函数零点的判定定理知，零点所在的区间为
，故选C.
6．已知函数f（x）为奇函数，且在[0,2]上单调递增，若f（log2m）＜f（log4（m＋2））成立，则实数m的取值范围是（ ）
A.
≤m＜2 B.
≤m≤2
C．2＜m≤4 D．2≤m≤4
答案 A
解析 因为函数f（x）是奇函数，且在[0,2]上单调递增，所以函数f（x）在[－2,2]上单调递增．
故由f（log2m）＜f（log4（m＋2）），
可得
故有
解得
≤m<2.
综上可知，m的取值范围是
≤m＜2.
7．定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＝－f（x），f（x－2）＝f（x＋2），且当x∈（－1,0）时，f（x）＝2x＋
，则f（log220）等于（ ）
A．1 B.
C．－1 D．－
答案 C
解析 由f（x－2）＝f（x＋2）⇒f（x）＝f（x＋4），
因为4＜log220＜5，所以0＜log220－4＜1，
－1＜4－log220＜0.
又因为f（－x）＝－f（x），所以f（log220）＝f（log220－4）＝－f（4－log220）＝－f
＝－1.
8．（2016·山东）已知函数f（x）的定义域为R，当x<0时，f（x）＝x3－1；当－1≤x≤1时，f（－x）＝－f（x）；当x＞
时，f
＝f
，则f（6）等于（ ）
A．－2B．－1C．0D．2
答案 D
解析 当x＞
时，f
＝f
，即f（x）＝f（x＋1），∴T＝1，∴f（6）＝f
（1）．当x<0时，f（x）＝x3－1且当－1≤x≤1时，f（－x）＝－f（x），∴f（6）＝f
（1）＝－f（－1）＝2，故选D.
9．已知函数f（x）＝
函数g（x）＝3－f（2－x），则函数y＝f（x）－g（x）的零点个数为（ ）
A．2B．3 C．4D．5
答案 A
解析 当x＞2时，g（x）＝x－1，f（x）＝（x－2）2；
当0≤x≤2时，g（x）＝3－x，f（x）＝2－x；
当x<0时，g（x）＝3－x2，f（x）＝2＋x.
由于函数y＝f（x）－g（x）的零点个数就是方程f（x）－g（x）＝0的根的个数．
当x＞2时，方程f（x）－g（x）＝0可化为x2－5x＋5＝0，其根为x＝
或x＝
（舍去）；
当0≤x≤2时，方程f（x）－g（x）＝0可化为2－x＝3－x，无解；
当x<0时，方程f（x）－g（x）＝0可化为x2＋x－1＝0，其根为x＝
或x＝
（舍去）．
所以函数y＝f（x）－g（x）的零点个数为2.
10．定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝2f（x）－2，当x∈（0，2]时，f（x）＝
若当x∈（0,4]时，t2－
≤f（x）≤3－t恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．[1,2] B.
C.
D．[2，＋∞）
答案 A
解析 当x∈（0,1）时，f（x）＝x2－x，函数无最大值，最小值为－
；当x∈[1,2]时，f（x）＝
，函数最大值为1，最小值为
；当x∈（2,3）时，f（x）＝2f（x－2）－2＝2x2－10x＋10，函数值满足－
≤f（x）＜－2；当x∈[3,4]时，f（x）＝2f（x－2）－2＝
－2，函数值满足－1≤f（x）≤0.
综上，当x∈（0,4]时，函数f（x）的最小值为－
，最大值为1.
由t2－
≤f（x）≤3－t恒成立，得
∴
∴1≤t≤2，故选A.
11．已知函数f（x）＝
且f（a）＝－1，则f（6－a）＝________.
答案 1
解析 ∵f（a）＝－1，∴a＞0，
∴－log2（a＋1）＋2＝－1，
∴a＝7，f（6－a）＝f（－1）＝20＝1.
12．设奇函数y＝f（x）（x∈R）满足对任意t∈R都有f（t）＝f（1－t），且当x∈
时，f（x）＝－x2，则f（3）＋f
的值为__________．
答案 －
解析 由于y＝f（x）为奇函数，根据对任意t∈R都有f（t）＝f（1－t），可得f（－t）＝f（1＋t），
所以f（t）＝f（2＋t），
所以函数y＝f（x）的一个周期为2，
故f（3）＝f
（1）＝f（0＋1）＝－f（0）＝0，
f
＝f
＝－
，
所以f（3）＋f
＝－
.
13．若函数f（x）＝
有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
答案 （0,1]
解析 当x＞0时，由f（x）＝lnx＝0，得x＝1.
因为函数f（x）有两个不同的零点，
则当x≤0时，
函数f（x）＝2x－a有一个零点，
令f（x）＝0，得a＝2x，
因为0＜2x≤20＝1，所以0＜a≤1，
所以实数a的取值范围是0＜a≤1.
14．已知函数f（x）＝
＋2|x|，且满足f（a－1）＜f
（2），则实数a的取值范围是________．
答案 （－1,3）
解析 因为f（－x）＝f（x），所以函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）＝x＋2x是单调增函数，故由偶函数的性质及f（a－1）＜f
（2）可得|a－1|＜2，即－2＜a－1＜2，即－1＜a＜3.
15．偶函数f（x）满足f（1－x）＝f（1＋x），且当x∈[0,1]时，f（x）＝
，若直线kx－y＋k＝0（k＞0）与函数f（x）的图象有且仅有三个交点，则k的取值范围是________．
答案
解析 由f（1－x）＝f（1＋x）可知，函数关于x＝1对称，因为f（x）是偶函数，所以f（1－x）＝f（1＋x）＝f（x－1），即f（x＋2）＝f（x），所以函数的周期是2，由y＝f（x）＝
，得（x－1）2＋y2＝1（y≥0，x∈[0,1]），
作出函数y＝f（x）和直线y＝k（x＋1）的图象，
要使直线kx－y＋k＝0（k＞0）与函数f（x）的图象有且仅有三个交点，则由图象可知，
＜k＜
.
16．某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量f（x）（毫克/毫升）随时间x（小时）变化的规律近似满足表达式f（x）＝
《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：
驾驶员血液中酒精含量不超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过________小时后才能开车．（不足1小时部分算1小时，结果精确到1小时）
答案 4
解析 因为0≤x≤1，所以－2≤x－2≤－1，
所以5－2≤5x－2≤5－1，而5－2＞0.02，
又由x＞1，得
·
x≤
，
得
x≤
，所以x≥4，
故至少要过4小时后才能开车．
升级会员 