小升初5找规律.docx

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小升初5找规律

龙文教育1对1个性化教案

学生

学校

年级

六年级

教师

授课日期

授课时段

课题

小升初专项训练找规律篇

重点

难点

利用通项表达式（即字母表示）总结出已知条件中等式的内在规律和联系

教

学

步

骤

及

教

学

内

容

一、回忆与整理

二、教学内容

1）与周期相关的找规律问题参见例1，2，3

2）图表中的找规律问题参见例4，5

3）较复杂的数列找规律参见例6，7，8

4）与斐波那契数列相关的找规律参见例，9，10，11

5）有趣的猫捉耗子规律参见例12，13，14，15

三、教学练习

四、教学总结

五、布置作业

教导处签字：

日期：

年月日

课后

评价

一、学生对于本次课的评价

○特别满意○满意○一般○差

二、教师评定

1、学生上次作业评价

○好○较好○一般○差

2、学生本次上课情况评价

○好○较好○一般○差

作业

布置

教师

留言

教师签字：

家长

意见

家长签字：

日期：

年月日

数学讲义

一、回忆与整理

回忆一下以前学过的规律哪些内容。

二、教学内容

小升初专项训练找规律篇

典型例题解析

1与周期相关的找规律问题

【例1】、（★★）

化小数后，小数点后若干位数字和为1992，求n为多少？

【解】

化小数后，循环数字和都为27，这样1992÷27=73…21,所以n=6。

【例2】、（★★）有一数列1、2、4、7、11、16、22、29……那么这个数列中第2006个数除以5的余数为多少？

【解】数列除以5的余数为1、2、4、2、1、1、2、4、2、1…这样就使5个数一周期，所以2003÷5=400…3，所以余4。

【例3】、（★★★）某人连续打工24天，赚得190元（日工资10元，星期六做半天工，发半工资，星期日休息，无工资）.已知他打工是从1月下旬的某一天开始的，这个月的1号恰好是星期日.问：

这人打工结束的那一天是2月几日?

【来源】第五届“华杯赛”初赛第16题

【解】因为3×7<24<4×7，所以24天中星期六和星期日的个数，都只能是3或4.又，190是10的整数倍。

所以24天中的星期六的天数是偶数.再由240-190=50（元），便可知道，这24天中恰有4个星期六、3个星期日.星期日总是紧接在星期六之后的，因此，这人打工结束的那一天必定是星期六.由此逆推回去，便可知道开始的那一天是星期四.因为1月1日是星期日，所以1月22日也是星期日，从而1月下旬唯一的一个星期四是1月26日.从1月26日往后算，可知第24天是2月18日，这就是打工结束的日子.

2图表中的找规律问题

【例4】、（★★）图中，任意_--个连续的小圆圈内三个数的连乘积郡是891，那么B=_______.

【来源】第十届<小数报>数学竞赛初赛填空题第5题

【解】根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891”，可知任意一个小圆圈中的数和与它相隔2个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.于是，B=891÷（9×9）=11.

【例5】（★★★）自然数如下表的规则排列：

求：

（1）上起第10行，左起第13列的数；

（2）数127应排在上起第几行，左起第几列？

【解】：

本题考察学生“观察—归纳—猜想”的能力．此表排列特点：

①第一列的每一个数都是完全平方数，并且恰好等于所在行数的平方；②第一行第n个数是（n-1）2+1，②第n行中，以第一个数至第n个数依次递减1；④从第2列起该列中从第一个数至第n个数依次递增1．

由此

（1）〔（13-1）2+1〕+9=154；

（2）127=112+6=〔（12-1）2+1〕+5，即左起12列，上起第6行位置．

3较复杂的数列找规律

【例6】、（★★★）设1，3，9，27，81，243是6个给定的数。

从这六个数中每次或者取1个，或者取几个不同的数求和（每一个数只能取1次），可以得到一个新数，这样共得到63个新数。

把它们从小到大一次排列起来是1，3，4，9，10，12，…，第60个数是______。

【来源】1989年小学数学奥林匹克初赛第15题

【解】最大的（即第63个数）是

1+3+9+27+81+243=364

第60个数（倒数第4个数）是

364－1－3＝360。

【例7】、（★★★）在两位数10，11，…，98，99中，将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加-个小数点，其余的数不变.问：

经过这样改变之后，所有数的和是多少?

【来源】第五届“华杯赛”初赛第15题

【解】原来的总和是10+11+…+98+99=

=4905，被7除余2的两位数是

7×2+2=16，7×3+2=23，…，7×13十2=93.

共12个数.这些数按题中要求添加小数点以后，都变为原数的

，因此这-手续使总和减少了

（16+23+…+93）×（1-

）=

×

=588.6

所以，经过改变之后，所有数的和是4905—588.6=4316.4.

【例8】、（★★★）小明每分钟吹-次肥皂泡，每次恰好吹出100个.肥皂泡吹出之后，经过1分钟有-半破了，经过2分钟还有

没有破，经过2分半钟全部肥皂泡都破了·小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡共有个.

【来源】1990年小学数学奥林匹克决赛第8题

斐波那契数列非常有意思！

【解】小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，第17次之前（包括第17次）吹出的肥皂泡全破了.此时没有破的肥皂泡共有100+100×

+100×

=155（个）.

4与斐波那契数列相关的找规律

【引言】：

有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？

于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。

已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。

假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？

现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有二对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，二对成年，一对未成年。

月月如此。

第1个月到第6个月兔子的对数是：

1，2，3，5，8，13。

我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：

即从第3个数起，每一个数都是前面两个数的和。

若继续按这规律写下去，一直写到第12个数，就得：

1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。

显然，第12个数就是一年内兔子的总对数。

所以一年内1对兔子能繁殖成233对。

在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列。

人们为纪念他这一发现，在这个数列前面增加一项“1”后得到数列：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……叫做“斐波那契数列”，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。

【例9】（★★）数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：

如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年。

再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。

那么，第1年它只有主干，第2年有两枝，问15年后这棵树有多少分枝（假设没有任何死亡）？

【解】1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584

绝对是一棵大树。

【例10】（★★）有一堆火柴共10根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？

【解】此题要注重思路，因为没办法直接考虑，这样我们发现这题同样用找规律的方法，我们可以先看只有1根的情况开始：

1根，有：

1种；

2根，有1、1，2，共两种；

3根，可以有：

1、1、1，1、2，2、1，3，共4种；

4根，有：

1、1、1、1，1、1、2，1、2、1，2、1、1，2、2，1、3，3、1，共7=4+2+1种；

5根，有：

1、1、1、1、1，1、1、1、2，1、1、2、1，1、2、1、1，2、1、1、1，1、2、2，2、1、2，2、2、1，1、1、3，1、3、1，3、1、1，2、3，3、2，共13=7+4+2种；

6根，得到24=13+7+4种；

即：

n根，所有的取法种数是它的前三种取法的和。

由此得到，10根为274种。

[拓展]爬楼梯问题。

【例11】（★★★）对一个自然数作如下操作：

如果是偶数则除以2，如果是奇数则加，如此进行直到得数为1操作停止。

问经过9次操作变为1的数有多少个？

【来源】仁华考题

【解】这一题首先我们可以明确的是要采用逆推的方法，其次我们还得利用找规律来归纳出计算方法。

在复杂的或者步子比较多的计数中，找规律是一种非常常用的方法。

归纳总结上述规律，从第三项起，每一项都是前两项之和。

5有趣的猫捉耗子规律

注：

有一个很出名的游戏，猫捉耗子的游戏，一只猫让一群老鼠围成一圈报数，每次报单数的吃掉，有一只老鼠总不被吃掉，问这个老鼠站在哪个位置？

因此我们称之为猫捉耗子的问题。

【例12】、（★★★）50只耗子排成一排，1到50报号，奇数号的出列，剩下的偶数号再报号，再奇数列出列…一直这样，问最后一只剩下的是原来的几号？

【解】第一次剩下的是：

2、4、6、8、10、12……50都是2的倍数；

第二次剩下的是：

4、8、12、16……48都是4=2

的倍数；

第三次剩下的是：

8、16、24……都是8=2

的倍数，……这样每次剩下的都是2

的倍数，现在要剩下一只，这样就是看1～50中2

的最大数就是32号。

【拓展】123自然数列一直写到100，然后按数码编号，擦去奇数号，留下的数再编号，再擦去奇数号……这样请问最后留下的3个数字是＿＿＿。

【解】360

【例13】、（★★★）50枚棋子围成圆圈，编上号码1、2、3、4、……、50，每隔一枚棋子取出一枚，要求最后留下的一枚棋子的号码是42号，那么该从几号棋子开始取呢？

【来源】03年圆明杯数学竞赛试题

【解】：

方法一：

通过归纳我们知道，如果开始有A人，A＝2k+m（k是保证m为自然数的最大值）。

那么从1号开始取，每个1个取1个，则最后剩下的为2m号。

现在有50枚棋子，如果从1号开始取，有50＝25+18，所以最后剩下的为18×2＝36号。

现在剩下的是42号，所以开始取的为1+（42－36）＝7号。

方法二：

找出规律，若开始从2号开始取，则若有2枚、4枚、8枚、16枚、32枚…则最后剩下的均为1号。

比如如果9枚，取掉1号后即剩下8枚剩下的将是8枚的首位，即3号，

而50枚先取50－32＝18枚后，剩32枚，取走了2、4、6、8、…、36，则37为剩下的32枚重排列后的1号，38为2号。

故最后剩下的为37号，即若开始取2号，剩下37号，现剩下的为42号，故开始从7号开始取的。

【例14】、（★★★）把1～1993这1993个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，如图12—1，从1开始沿顺时针方向，保留1，擦去2；保留3，擦去4；……（每隔一个数，擦去一个数），转圈擦下去。

求最后剩的是哪个数？

【解】分析：

如果依照题意进行操作，直到剩下一个数为止，实在是很困难。

我们先从简单情况研究，归纳出解决问题的规律，再应用规律解题。

如果是2个数1、2，最后剩下1；如果是3个数1、2、3，最后剩3；如果是4个数1、2、3、4，最后剩1；如果是5个数1、2、3、4、5，最后剩的是3；如果是6个数1、2、3、4、5、6，最后剩的是5；如果是7个数1、2、3、4、5、6、7，最后剩的是7；如果是8个数1～8，最后剩的是1。

我们发现当数的个数是2，4，8时，最后剩的都是1（操作的起始数）。

这是为什么呢？

以8个数为例，数一圈，擦掉2，4，6，8，就相当于从1开始，还有4个数的情况，4个数时，从1开始，数一圈，又擦掉2个，还剩从1开始的两个数，擦掉1以外的数，最后剩1。

这样，数的个数是16，32，64，……，2n时，最后剩的都是起始数1。

当数的个数是3时，擦去2，就剩2个数，最后应剩下一步的起始数3；数的个数是5时，擦去2，剩4个数，最后也应剩下一步的起始数3。

根据以上规律，如果有18个数，擦去2、4，剩下16个数，再擦下去，最后还应剩下一步的起始数5。

就是说，擦去若干个数后，当剩的数的个数是

时，下一步起始数就是最后剩下的数。

解：

因为1024=210，2048=211，

2110＜1993＜211，

1993-1024=969，

就是说，要剩210个数，需要擦去969个数，按题意，每两个数擦去一个数，当擦第969个数时，最后擦的是：

969×2=1938

下一个起始数是1939，那么最后剩的就应该是1939。

练习按照例1的操作规则

（1）如果是1～900这900个自然数，最后剩的是哪个数？

（2）如果是1～1949这1949个自然数，最后剩的是哪个数？

　　说明：

这道例题的解题思路是：

　　特殊→一般→特殊

　　（简单情况）（一般规律）（较复杂情况）

　　一般规律：

把1～n这n个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，从1开始，顺时针方向，隔过1，擦去2，隔过3，擦去4，……（每隔一个数，擦去一个数）。

最后剩下的数x是哪个数？

解：

设2k≤n≤2k+1，k是自然数。

x=（n-2k）×2+1

【拓展】：

如果还是上面例题，但改为保留1，擦去2；保留3，擦去4；……（每隔一个数，擦去一个数），转圈擦下去。

求最后剩的是哪个数？

【解】剩下的规律是剩下

时，都是最后一号留下，所以答案是1938。

【例15】、（★★★）100个小朋友围成一圈，并依次标号为1至100号。

从第1号开始1至2报数，凡是报到1的小朋友退出圈子，这样循环进行到剩下一个小朋友为止。

问这个小朋友是多少号？

【解】与上题不同１００＝２

＋３６　　３６×２＝７２

三、教学练习

１、（★）已知一串有规律的数：

1，2/3，5/8，13/21，34/55，…。

那么，在这串数中，从左往右数，第10个数是________。

２、（★★★）在一个圆圈上，逆时针标上1、2、3、…、19，从某个数起取走该数，然后沿逆时针方向每隔一个数取走一个数，如果最后剩下数1。

求从哪个数起？

３.（★★★）把1～1992为1992个数，按逆时针方向排在一个圆圈上，从1开始逆时针方向，保留1，涂掉2；保留3，涂掉4，……。

（每隔一个数涂去一个数），求最后剩下哪个数？

４.（★★★）把1～1987这1987个数，均匀排成一个大圆圈。

从1开始数，隔过1，划掉2，3；隔过4，划掉5，6；……，（每隔一个数，划掉两个数）一直划下去，问最后剩下哪个数？

５.（★★）如下图，小方和小张进行跳格子游戏，小方从A跳到B，每次可跳1步或2步；小张从C跳到D，每次可跳1步、2步或3步。

规定：

谁跳到目标处的不同跳法最多，谁就获胜。

问获胜方的跳法比另一方多种。

A

C

B

D

6、（★★）如下图，从A处穿过房间到达B处，如果要求只能从小号码房间走向大号码房间，那么共有多少种不同的走法？

7、（★★★）如数表：

第1行123…1415

第2行302928…1716

第3行313233…4445

……………………

第n行…………A………………

第n＋1行…………B………………

第n行有一个数A，它的下一行（第n＋1行）有一个数B，且A和B在同一竖列。

如果A+B＝391，那么n=_______。

四、教学总结

五、布置作业