由于c是常数向量，故可简单求解不等式组，可取c=[152152152]T
这说明当五年平均向市场供应三个年龄段的动物各152头可以使20年后有各年龄段的动物生存。
如果将这一限制作为约束条件，而求c的各分量之和最大，这将是一个线性规划问题，可用单纯形法求解（或利用数学软件见第七章）。
（二）商品的市场占有率问题
有两家公司R和S经营同类的产品，它们相互竞争。
每年R公司保有1/4的顾客，而3/4转移向S公司；每年S公司保有2/3的顾客，而1/3转移向R公司。
当产品开始制造时R公司占有3/5的市场分额，而S公司占有2/5的市场分额。
问两年后，两家公司所占的市场分额变化怎样，五年以后会怎样？
十年以后如何？
是否有一组初始市场分额分配数据使以后每年的市场分配成为稳定不变？
1、 问题分析和数学模型
根据两家公司每年顾客转移的数据资料，形成以下转移矩阵
根据产品制造之初，市场的初始分配数据可得如下向量
所以一年后，市场分配为
两年后，市场分配为
以向量Xn记第n年后市场分配的分额，则
（n=1，2，……）
设有数据a和b作为R公司和S公司的初始市场分额，则有
a+b=1
为了使以后每年的市场分配不变，根据顾客数量转移的规律，有
即
这是一个齐次方程组问题。
如果方程组有解，则应该在非零解的集合中选取正数解作为市场稳定的初始分额。
2、程序和计算结果
为了知道两年、五年、十年后市场分配的情况，在MATLAB中键入下面命令
A=[1/41/3;3/42/3]
x0=[3/5;2/5]
x2=A^2*x0
x5=A^5*x0
x10=A^10*x0
可得数据结果
x2=0.30970.6903
x5=0.30770.6923
x10=0.30770.6923
由此得下表
表2
R公司的市场分额
S公司的市场分额
两年后
31%
69%
五年后
31%
69%
十年后
31%
69%
为了求a和b作为R公司和S公司稳定的初始市场分额，需要求解齐次方程组。
键入下面命令
formatrat
rref（A-eye
（2））
得数据结果
ans=
1-4/9
0 0
由此得化简后的方程
a–4/9b=0
结合约束条件
a+b=1
得
a=4/13≈31%
b=9/13≈69%
这是使市场稳定的两家公司的初始分额，也正好与表4-1中的数据相吻合。
3、问题的解答和进一步思考
在R公司和S公司的市场初始分额分别为60%和40%的情况下，根据计算结果，两年后情况变化较大：
S公司大约占31%，R公司大约占69%。
而五年以后与两年以后比较变化不大：
S公司大约占30.8%，R公司大约占69.2%。
十年后的情况与五年后的情况比较大约不变。
市场已经趋于稳定。
是否所有市场初始分配分额，在经过若干年后均会趋于稳定状态。
（三）常染色体遗传问题
假定所考虑的遗传特性由两个基因A和a来支配，人类的眼睛染色体是通过常染色体遗传来控制，例如AA及Aa型产生棕色眼睛，aa型的是兰色眼睛。
在常染色体遗传中，一个个体从它的亲本的每一基因对中遗传一个基因，以形成它自己特殊的基因对：
AA，Aa，aa。
亲本的两个基因中的哪一个传给后代纯属机会问题，如果一个亲本是Aa型，后代从这个亲本遗传获得A基因或a基因的机会是等可能的。
例如，一个亲本是aa型，另一个亲本是Aa型，后代总是从aa亲本接受一个a基因，再从Aa亲本以等概率或是接受一个A基因或是接受一个a基因，结果后代为aa型或者Aa型的概率是相同的。
对于各种亲本基因型，后代的可能基因型的概率可列表如下
表4.3
亲本
后代
AA-AA
AA-Aa
AA-aa
Aa-Aa
Aa-aa
aa-aa
AA
1
1/2
0
1/4
0
0
Aa
0
1/2
1
1/2
1/2
0
aa
0
0
0
1/4
1/2
1
例假定一个农民有一大片作物，它由三种可能基因型AA，Aa及aa的某种分布所组成。
农民要采用的育种方案是：
作物总体中的每种作物都总是用基因型AA的作物来授粉，我们要导出在任何一个后代总体中三种可能基因型的分布表达式。
解记an（n=0，1，2，……）为在第n代中AA基因型作物所占的分数，bn为在第n代中Aa基因型作物所占的分数，cn为在第n代中aa基因型作物所占的分数。
a0，b0，c0表示基因型的原始分布，且
a0+b0+c0=1
由于用基因型AA的作物来授粉，分析基因表（前三列数据）可知，从上一代的基因型分布产生的下一代的基因型分布可用下列递推公式求出：
其中，第一式表明，基因型AA的所有后代都是AA型基因，基因型Aa的后代，有一半是AA型。
这一递推公式的矩阵表示为
X（n）=MX（n-1）（n=1，2，……）
其中
，
，
由递推公式可得
X（n）=MX（n-1）=M2X（n-2）=……=MnX（0）
计算上式有两种方法，即直接计算和将矩阵对角化的计算方法。
对角化方法需要将矩阵M对角化，需要找出一个可逆矩阵P和一个对角阵D，使
M=PDP–1
于是
Mn=PDnP–1，（n=1，2，……）
其中
d1，d2，d3，是M的特征值。
所以，只需求得M的特征值和对应的特征向量，就可使M对角化。
在MATLAB环境中输入命令
M=[11/20；01/21；000]；
[pd]=eig（M）
得数据结果
p=
1-985/1393881/2158
0985/1393-881/1079
00881/2158
d=
100
01/20
000
这表明，M的三个特征值为
d1=1，d2=1/2，d3=0
因为特征向量乘一非零数仍是特征向量，所以可取三个特征值对应的特征向量分别为
，
，
于是
可逆矩阵
为了求逆矩阵，使用命令
P=[111；0-1-2；001]；
inv（P）
可得数据结果
ans=
111
0-1-2
001
所以
由前面递推公式，得
X（n）=PDnP–1X（0）
而
故
所以
这是原始基因型分数表示第n代作物总体中三种基因型分数。
显然，当n→∞时，有
an→（a0+b0+c0）=1，bn→0，cn→0
这说明在极限情况下，总体中所有作物都将是基因型AA的。
假设一片作物是由AA，Aa，及aa基因型的某种分布组成，且作物总体中每种作物不是全部都用基因型AA授粉，而是用每种作物自身的基因型来授粉。
求任何一个后代总体中三种可能基因型的分布表达式。
六、实验任务
1．某一种甲虫最多可活两年。
且其年龄群体分配数的矩阵如下：
如果有600只在第一年龄群体，300只在第二年龄群体，100只在第三年龄群体，则年复一年各年龄群体的甲虫数目是否会改变，从数学上给以解释。
2．假设某一个城市的气候不是下雨就是干旱。
根据以前所保留下来的记录可知，干旱天之后下雨天为的可能性为1/3，而下雨天之后为下雨天的可能性为1/2。
试建立数学模型分析气候变化情况。
3．某实验性生产线每年一月份进行熟练工人的人数统计；然后将其1/6的熟练工人支援其他生产部门，缺额由招收非熟练工人补齐。
新、老非熟练工人经过培训及实践至年终考核有2/5成为熟练工人。
设第n年一月份统计的熟练工人和非熟练工人所占的百分比分别为xn
和yn记为向量[xn，yn]T
（1） 试推导向量[xn，yn]T和[xn+1，yn+1]T的关系，并写成矩阵形式；
（2）当[x1，y1]T=[0.5，0.5]T时，求第10年一月份统计的熟练工人和非熟练工人所占的百分比。
5在一城市的某商业区内，有两家有名的快餐店“肯德基”分店和“麦当劳”分店。
据统计每年“肯德基”保有其上一年老顾客的1/3，而另外的2/3顾客转移到“麦当劳”；每年“麦当劳”保有其上一年的老顾客的1/2，而另外的1/2顾客转移到“肯德基”。
用二维向量Xk=[xkyk]T表示两个快餐店市场分配的情况，初始的市场分配为
X0=[1/32/3]T
如果有矩阵L存在，使得Xk+1=LXk，则称L为状态转移矩阵。
（1）写出Xk=[xkyk]T和Xk+1=[xk+1yk+1]T的递推关系式，以及状态转移矩阵L。
（2）根据递推关系计算近几年的市场分配情况；
（3）求可逆矩阵P和对角矩阵Λ使得L=PΛP－1。
对于足够大的时间值k，有
（
是状态转移矩阵L的唯一正特征值）。
请检验这一结果是否正确，并给出适当的k的值
6．某厂生产A，B两种品牌的味精，顾客的喜好决定了这两种味精的市场占有率。
在生产中可根据占有率调整比例，获得最佳收益。
该厂做市场调查后发现，一般情况下，顾客若购买A牌，下次有80%的可能性购买A牌；若购买了B牌，下次有60%的可能性购买B牌。
开始时，两种品牌的市场占有率分别为50%，顾客每一次的购买必将改变二者市场占有率。
（1）预测某一个顾客经过前四次购买之后，他可能第五次购买哪一个品牌的味精。
（2）预测100个顾客经过前四次购买之后，两种品牌的可能市场占有率各为多少？
7．足球比赛排名问题：
下表给出了我国8支足球队在1988～1989年全国足球甲级队联赛中的成绩，请依据现有的数据，对各足球队的实力给予科学客观的评价；给出8支球队按实力排序的名次，并将你的排名算法推广到任意n个队的情形。
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
T1
×
0:
1
1:
0
2:
2
2:
2
1:
0
0:
2
2:
0
3:
1
1:
0
0:
1
1:
3
0:
2
2:
1
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0
4:
0
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1
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1
T2
1:
0
0:
1
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2
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2:
0
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3
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0
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0
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1
1:
1
0:
0
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0
2:
0
1:
1
0:
2
0:
0
T3
2:
2
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1
2:
0
0:
2
1:
0
3:
1
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0
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4
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1
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T4
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