福州市高中毕业班综合质量检测数学试题含答案新教材新高考.docx
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福州市高中毕业班综合质量检测数学试题含答案新教材新高考
准考证号姓名.
（在此卷上答题无效）
2021年3月福州市高中毕业班质量检测
注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、单项选择题：
本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给🎧的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
B=
1.已知集合A={1，2，3，4，5}，B={xx=2k+1，k∈A}，则A
A．{1，3}
B．{2，4}
C．{3，5}
D．{1，3，5}
2.设复数z=a+bi（a∈Z,b∈Z），则满足
z-1
≤1的复数z有
A．7个B．5个C．4个D．3个
3.“m≤5”是“m2-4m-5≤0”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4.若抛物线y=mx2上一点（t,2）到其焦点的距离等于3，则
A.m=1
4
B.
m=1
2
C.m=2
D.m=4
5.已知函数f（x）=lnx，则函数y=f
（1）的图象大致为
1-x
6.在△ABC中，E为AB边的中点，D为AC边上的点，BD，CE交于点F．若AF=
3AB+1AC，则AC的值为
77AD
A．2B．3C．4D．5
7.
分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．如图，有一列曲线P0，P1，，Pn，．已知P0是边长为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作而得到：
将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k=0，1，2，）．记Pn的周长为Ln、所围成的面积为Sn．对于∀n∈N，下列结论正确的是
A.
⎧Sn⎫为等差数列B．⎧Sn⎫为等比数列
⎨L⎬⎨L⎬
⎩n⎭⎩n⎭
C．∃M＞0，使Ln＜M
D．∃M＞0，使Sn＜M
π
⎛ππ⎫
8.已知函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（ω>0,ϕ<）的图象过点（0,1），在区间ç，⎪上为
2⎝123⎭
单调函数，把f（x）的图象向右平移π个单位长度后与原来的图象重合．设x1,x2∈
⎛π,5π⎫且x
≠x，若f（x）=f（x），则f（x
+
x）的值为
26
ç⎪121212
3
⎝⎭
3
A．-B．-1
C．1D．
二、多项选择题：
本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给🎧的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9.
认可
不认可
40岁以下
20
20
40岁以上
（含40岁）
40
10
“一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有2000多亿元的餐桌浪费，被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮．为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”．某机构为调研民众对“光盘行动”的
认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如右所示的列联表，通过计算得到K2的观测值为
9．已知P（K2≥6.635）=0.010，P（K2≥10.828）=0.001，
则下列判断正确的是
A.在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动”
B.在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”
C.有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关
D.在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关
10.
如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB∥平面MNP的是
ABCD
11.已知P是双曲线E:
x-y2
2
45
=1在第一象限上一点，F1，F2分别是E的左、右焦点，
△PFF的面积为15．则以下结论正确的是
122
A.点P的横坐标为5
2
B.π＜∠FPF＜π
3122
C.△PF1F2的内切圆半径为1
D.∠F1PF2平分线所在的直线方程为3x-2y-4=0
12.在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数．最基本的双曲函数是双曲正弦函
ex-e-xex+e-x
数sinhx=和双曲余弦函数coshx=等．双曲函数在物理及生活中有着
22
某些重要的应用，譬如达·芬奇苦苦思索的悬链线（例如固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线即为悬链线）问题，可以用双曲余弦型函数来刻画．则下列结论正确的是
A.cosh2x+sinh2x=1
B.y=coshx为偶函数，且存在最小值
C.∀x0＞0，sinh（sinhx0）＞sinhx0
D.∀x，x
∈R，且x
≠x，sinhx1-sinhx2＞1
1212
x1-x2
第Ⅱ卷
注意事项：
用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
三、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
⎧x+y-4≤0，
13.设x，y满足约束条件⎪2x+y-6≥0，则x-2y的取值范围为．
⎪y≥0，
⎛1⎫51
14.
⎪
14.
çx+
的展开式中，的系数为．
xx
⎝⎭
15.在三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，∠BAC=90︒，∠PCA=30︒，
AB=3，PA=2．则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为．
16.已知圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=4，过点M（2，0）的直线与圆C交于P,Q两点（点
Q在第四象限）．若∠QMO=2∠QPO，则点P的纵坐标为．
四、解答题：
本大题共6小题，共70分．解答应写🎧文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分10分）
在①S
=2a+1；②a=-1,log
（aa
）=2n-1；③a2
=aa，S=-3，a=-4这
nn12
nn+1
n+1
nn+223
三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答．
问题：
已知单调数列{an}的前n项和为Sn，且满足．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{-nan}的前n项和Tn．
18.（本小题满分12分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a+b=ccosB-bcosC．
（1）求角C的大小；
（2）
设CD是△ABC的角平分线，求证：
1+1=1．
CACBCD
19.（本小题满分12分）
如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AA1=A1C1=CC1=1，AC=2，A1C⊥AB．
（1）求证：
平面ACC1A1⊥平面ABB1A1；
（2）若∠BAC=90︒，AB=1，求二面角A-BB1-C的正弦值．
20.（本小题满分12分）
2
2
已知椭圆E:
x
y2
+
（
2=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1-
2，0），A2（
2，0），上、
ab
3
下顶点分别为B1，B2，四边形A1B2A2B1的周长为4．
（1）求E的方程；
（2）设P为E上异于A1，A2的动点，直线A1P与y轴交于点C，过A1作A1D∥PA2，交y轴于点D．试探究在x轴上是否存在一定点Q，使得QC⋅QD=3，若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由．
21.（本小题满分12分）
从2021年1月1日起某商业银行推出四种存款产品，包括协定存款、七天通知存款、结构性存款及大额存单．协定存款年利率为1.68%，有效期一年，服务期间客户帐户余额须不少于50万元，多出的资金可随时支取；七天通知存款年利率为1.8%，存期须超过7天，支取需要提前七天建立通知；结构性存款存期一年，年利率为3.6%；大额存单,年利率为3.84%，起点金额1000万元．（注：
月利率为年利率的十二分之一）
已知某公司现有2020年底结余资金1050万元．
（1）若该公司有5个股东，他们将通过投票的方式确定投资一种存款产品，每个股
东只能选择一种产品且不能弃权，求恰有3个股东选择同一种产品的概率；
（2）公司决定将550万元作协定存款，于2021年1月1日存入该银行账户，规定
从2月份起，每月首日支取50万元作为公司的日常开销．将余下500万元中的x万元作七天通知存款，准备投资高新项目，剩余（500-x）万元作结构性存款．
①求2021年全年该公司从协定存款中所得的利息；
②假设该公司于2021年7月1日将七天通知存款全部取出，本金x万元用于投资高
新项目，据专业机构评估，该笔投资到2021年底将有60%的概率获得
-
x3
30000
+0.02x2+
0.135x万元的收益，有20%的概率亏损0.27x万元，有20%的概率保本．问：
x为何值时，该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望最大，并求最大值．
22.（本小题满分12分）已知f（x）=x2ex-1．
（1）判断f（x）的零点个数，并说明理由；
（2）若f（x）≥a（2lnx+x），求实数a的取值范围．
2021年3月福州市高中毕业班质量检测
评分说明：
1.本解答给🎧了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2.对计算题，当考生的解答在某一步🎧现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4.只给整数分数。
一、单项选择题：
本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．C2．B3．B4．A
5．D6．C7．D8．C
二、多项选择题：
本题共4小题，每小题5分，共20分．
9．AC10．ABD11．BCD12．BCD
三、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．[-2，4]
14．515．25π16．12
【解答】
（1）选①，即Sn=2an+1．（ⅰ）则
当n=1时，S1=2a1+1，故a1=-1；································
·······················
1分
当n≥2时，Sn-1=2an-1+1，（ⅱ）
（ⅰ）（ⅱ）两式相减得an=2an-1，································
····························
3分
所以{an}为等比数列，其中公比为2，首项为-1．································
·····
4分
n-1
所以an=-2．································································
选②，即a1=-1,log2（anan+1）=2n-1．
··················
5分
所以当n≥2时，log2（anan+1）-log2（an-1an）=2，································
·······
1分
四、解答题：
本大题共6小题，共70分．
17.（本小题满分10分）
【命题意图】本小题主要考查等比数列、an与Sn的关系、数列求和等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分10分．
即an+1=4，·······················································································2分
an-1
所以{a2k-1
}（k∈N*）为等比数列，其中首项为a=-1，公比为4，
1
2k-1
所以a=-1⨯4k-1=-2（2k-1）-1．······························································3分由a1=-1,log2（a1a2）=1，得a2=-2，
n
2k
同理可得，a=-2⨯4k-1=-22k-1（k∈N*）．············································4分综上，a=-2n-1．···············································································5分
选③，即a2=aa，S=-3，a=-4．
n+1nn+223
所以{an}为等比数列，设其公比为q，····················································1分
⎧⎪a（1+q）=-3，
⎧a=-1，
⎧a1=-9，
则⎨1
⎪aq2=-4，
解得1
q=2，
⎪
⎨q=-2.
···········································3分
⎩1⎩
⎩⎪3
又因为{a}为单调数列，所以q＞0，故⎧a1=-1，
·····4分
⎩
n⎨q=2，································
n
所以a=-2n-1．··················································································5分
n
（2）由
（1）知，-na=n⋅2n-1，
所以Tn
=1+2⨯2+3⨯22++（n-1）⋅2n-2+n⋅2n-1，6分
2Tn=
2+2⨯22++（n-2）⋅2n-2+（n-1）⋅2n-1+n⋅2n，······················7分
两式相减得-Tn
=1+2+22++2n-2+2n-1-n⋅2n········································8分
=（2n-1）-n⋅2n．····························································9分
所以Tn
=（n-1）⋅2n+1．10分
18.（本小题满分12分）
【命题意图】本小题主要考查解三角形等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分12分．
【解答】解法一：
（1）因为a+b=ccosB-bcosC，
由正弦定理得sinA+sinB=sinCcosB-sinBcosC，2分
因为sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
所以sin（B+C）+sinB=sinCcosB-sinBcosC，·········································3分所以2sinBcosC+sinB=0，4分
因为B∈（0,π），所以sinB≠0，所以cosC=-1，5分
2
又C∈（0,π），所以C=2π6分
3
（2）因为CD是△ABC的角平分线，且C=2π，
3
所以∠ACD=∠BCD=π．············································7分
3
在△ABC中，S△ABC=S△ACD+S△BCD，则由面积公式得
1CA⋅CBsin2π=1CA⋅CDsinπ+1CD⋅CBsinπ，10分
232323
即CA⋅CB=CA⋅CD+CD⋅CB.·······························································11分
两边同时除以CA⋅CB⋅CD得1+1=1.············································12分
CACBCD
解法二：
（1）因为a+b=ccosB-bcosC，
a2+c2-b2a2+b2-c2
由余弦定理得a+b=c⋅-b⋅，2分
2ac2ab
整理得2a（a+b）=2c2-2b2，即a2+b2-c2+ab=0，3分
所以ab（1+2cosC）=0，4分
所以cosC=-1，················································································5分
2
又C∈（0,π），所以C=2π6分
3
（2）因为CD是△ABC的角平分线，且C=2π，
3
所以∠ACD=∠BCD=π．··········································7分
3
在△ABC中，由正弦定理得
CA
sinB
=CB
sinA
=AB
sin2π
3
，··············································8分
即CA
sinB
=CB
sinA
=AD
sinπ
+
DB
sinπ
．······························································9分
33
同理在△CAD和△CBD中，得
CD
sinA
=AD
sinπ
3
，CD
sinB
=DB，
sinπ
3
所以CA
sinB
=CD
sinA
+
CD
sinB
，即CA-CD=
sinB
CD
sinA
，10分
故CA-CD=CD，即1=CD+CD，·····················································11分
CACBCBCA
故1+1
=1．············································································12分
CACBCD
19.（本小题满分12分）
【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与空间想象能力；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分12分．
【解答】
（1）依题意，四边形ACC1A1为等腰梯形，过A1，C1分别引AC的垂线，垂足分别为D，E，则
AD=1（AC-AC）=1⨯（2-1）=1=1AA，故∠AAC=60︒．
21122211
在△ACA中，AC2=AA2+AC2-2AA⋅ACcos∠AAC=12+22-2⨯1⨯2⨯1=3，
111112
所以AC2+AA2=AC2，故∠AAC=90︒，即AC⊥AA．····························2分
11111
因为A1C⊥AB，ABAA1=A，且AB，AA1⊂平面ABB1A1，
所以A1C⊥平面ABB1A1，4分
因为A1C⊂平面ACC1A1，
所以平面ACC
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