四川省昭觉中学数学人教必修四252平面向量应用举例.docx
《四川省昭觉中学数学人教必修四252平面向量应用举例.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四川省昭觉中学数学人教必修四252平面向量应用举例.docx（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
四川省昭觉中学数学人教必修四252平面向量应用举例
2.5.2平面向量应用举例
平面几何中的常用向量结论
a9b
在平行四边形4BCD中，AB=a9AD=b9先用
表示向量花和说，当°,方分别满足什么条件时,
四边形ABCD为矩形、菱形、正方形?
DC
uuuiiLUUi|Uum
〔1）若O是△ABC所在平面上一点，且满足O^=\pB\^\pC,则点OMAABC的外心;
（2）若G是ZWC所在平面上一点，且满足GA+GB+GC=0,则点G是ABC的重心;
（3）•已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，
（4）点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足苗•亦=再荒=荒・芮，则点O是AABC的垂心.
例1、已知0是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足5?
=OA+2（AB+AC）则P点的轨迹一定通过AABC的（C）
A外心B内心C重心D垂心
点拨：
由
OP=OA+2（A5+AQ
得出AP=2（AB+AQ
由平行四边形法则和共线定理可得AP—定经过△ABC的重心。
变式1、已知P是平面上一定点，a5b5c是平面上不共线的三个点，点0满足
inn1ziuiiunnw
PO=-\PA+PB+PC
3V
则O点一定是AABC的（C）
A外心B内心C重心D垂心
上皿亠iuniziunuunnwx
点拨：
由PO=-\PA+PB+PC\
I丿
佢山uuuiuunuuuuulu
侍出3PO=PA+PB+PC
HuruunHuriunnWnWr
PO—PA+PO—PB+PO—PC=0
ULLTULWILUr
AO+BO+CO=0故0是4ABC的重心。
变式2、已知0是平面上一定点，A5B5C是平面上不
共线的三个点，动点P满足
ABAC
=；1；
ABsinBACsinC
则P点的轨迹一定通过AABC的（）A外心B内心C重心D垂心
点拨：
在ZkABC中，由正弦定理有乔sinB二花sinC
令/二ABsmB=ACsinC
—>—2—>—>2
OP=OA+-（AB+AC）-e[0,+oo）
=>AP--（A5+AC）
由平行四边形法则和共线定理可得AP—定经过△ABC的重心。
C
例2、已知0是平面上一定点，A5B5C是平面上不共线的三个点，动点P满足
则P点的轨迹一定通过△ABC的（）A外心B内心C重心D垂心
所以BC1DP
所以DP是BC的垂直平分线，所以P点的轨迹一定经过△ABC的外心。
A
外心的向量表示
结论1：
0是三角形的外心
——2——22
或04=OB=OC
结论2：
空所在平面一定点0,动点P满足
例3、已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足
AC
+
则P点的轨迹一定通过AABC的（）A外心B内心C重心D垂心
OP=OA+A（
AB
ABcosB
AC1
+r——）go,+s））
AOcosC
点拨：
由已知等式可知乔二加』一+AC
|ab|cosB
|ac|cosC
）（2e[0,+oo））
在等式的两边同时乘以BC
ULWULU1厂
BPBCAP=^ABBC
UUU4UUU4UUUULU4
ACBC-|—iBjur
ULU
LLU
ABcosBACcosC
）=2（-BC+BC）=0
=＞乔丄荒
变式3、已知0是平面上一点，A,B,C是平面上不共线的三个点，点。
满足页•函二3臥况二荒•页
贝！
10点一定是Z\ABC的（D）
A外心B内心C重心D垂心
同理可得
UUUUUU
CB10AniniLiir
AB丄OC
UUUUUUUUKUUULI
点拨：
OAOB^OBOC
UUUUlAUULWUUUII
OAOB-OBOC^O/UUUUUJ\UUUI（OA-OCj-OB=0ULUUUU4I
CA・OE=0
ULMIUUU
CAIOB
垂心的向量表示
结论1：
0是AABC的垂心的充要条件是
OAOB^OBOC=~OCOA
结论2、动点P满足
D垂心
例4、已知0是平面上一点,A、B、C是平面上不共线的三个点卫,,咗是AABC的A,B,C所对的三边）点0满足aOk+bOB+cOC=6
则0点一定是AABC的（B）A外心B内心C重心点拨：
由已知条件可得
UUU/UUUULIU\
aOA+b\OA^AB\
\UUU）7
{a+b^c）OA^-y
同理可得（a+b+c）^=—（bB4+cBC
ULU\ULUUUU
（a+/?
+c）OC—-ybCA+cCB贝！
）0点一定是Z\ABC的内心
ABAC
ab|\ac
A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形
直对边BC,故△ABC为等腰三角形；从（=・
二
1
可知cosA=—,所以Z14=60o,
2
故△ABC为等边三角形。
例6、已知o是平面上一点,a、b、c是平面上不共线的三个点,点0满足
、
（
（r
、
AC
BA
BC
CA
AC
打
=OB•
1—I-
=oc・
1―I
AC[
胡
BC
CA
CB
\）
U1
丿
<11
7
AB
AB
=0
则0点一定是AABC的（B）
A外心B内心C重心D垂匕、
例7、已知0为Z1ABC所在平面内一点，且满足:
UUUULUIULWUUUUUUUUU4
丨04卩+丨BCF=lOB\2+\CAl2=lOC\2+\ABI2・
问：
0是4ABC的心。
、MUUIULAUIUUUIIUUJ4IIUUUIIUUU4II
证：
设OA=a,OB=bQC=c,贝V:
BC=c—b,CA=a—=b—a.
UUUUULMMLAUUUUUUUIMUU4
由题设：
IOA|2+IBCF=IOB\2+\CA\2=\OC\2+\ABI2・
八“「2「「「2「「「2「「
化简：
a+（c-b）2二b+（a-c）2二c+（b-a）2
得：
c・b=a・c=b・a
UUUUUllIII
从而AB・OC=（b—ct）・c
rrrr
=b・c—a・c=0，
MUkUMUUI
•••AB丄OC.
课后作业
1•习题2・5・2
2•预习章末小结
升级会员 