矩阵的运算.docx
《矩阵的运算.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵的运算.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
矩阵的运算
矩阵的运算
第三节 矩阵的基本运算
§3.1加和减
§3.2矩阵乘法
§3.2.1矩阵的普通乘法
§3.2.2矩阵的Kronecker乘法
§3.3矩阵除法
§3.4矩阵乘方
§3.5矩阵的超越函数
§3.6数组运算
§3.6.1数组的加和减
§3.6.2数组的乘和除
§3.6.3数组乘方
§3.7矩阵函数
§3.7.1三角分解
§3.7.2正交变换
§3.7.3奇异值分解
§3.7.4特征值分解
§3.7.5秩
§3.1加和减
如矩阵A和B的维数相同，则A+B与A-B表示矩阵A与B的和与差．如果矩阵A和B的维数不匹配，Matlab会给出相应的错误提示信息．如：
A= B=
1 2 3 1 4 7
4 5 6 2 5 8
7 8 0 3 6 0
C=A+B返回：
C=
如果A或B是标量，则A*B返回标量A（或B）乘上矩阵B（或A）的每一个元素所得的矩阵．
§3.2.2矩阵的Kronecker乘法
对n×m阶矩阵A和p×q阶矩阵B，A和B的Kronecher乘法运算可定义为：
由上面的式子可以看出，Kronecker乘积A
B表示矩阵A的所有元素与B之间的乘积组合而成的较大的矩阵，B
A则完全类似．A
B和B
A均为np×mq矩阵，但一般情况下A
B
B
A．和普通矩阵的乘法不同，Kronecker乘法并不要求两个被乘矩阵满足任何维数匹配方面的要求．Kronecker乘法的Matlab命令为C=kron（A,B），例如给定两个矩阵A和B：
A=
B=
则由以下命令可以求出A和B的Kronecker乘积C：
A=[1 2; 3 4];B=[1 3 2; 2 4 6]; C=kron（A,B）
C=
1 3 2 2 6 4
2 4 6 4 8 12
3 9 6 4 12 8
6 12 18 8 16 24
作为比较，可以计算B和A的Kronecker乘积D，可以看出C、D是不同的：
A=[1 2; 3 4];B=[1 3 2; 2 4 6]; D=kron（B,A）
D=
1 2 3 6 2 4
3 4 9 12 6 8
2 4 4 8 6 12
6 8 12 16 18 24
§3.3矩阵除法
在Matlab中有两种矩阵除法符号：
“＼”即左除和“／”即右除．如果A矩阵是非奇异方阵，则A\B是A的逆矩阵乘B，即inv（A）*B；而B/A是B乘A的逆矩阵，即B*inv（A）．具体计算时可不用逆矩阵而直接计算．
通常：
x=A\B就是A*x=B的解；
x=B/A就是x*A=B的解.
当B与A矩阵行数相等可进行左除．如果A是方阵，用高斯消元法分解因数．解方程：
A*x（:
j）=B（:
j），式中的（:
j）表示B矩阵的第j列，返回的结果x具有与B矩阵相同的阶数，如果A是奇异矩阵将给出警告信息．
如果A矩阵不是方阵，可由以列为基准的Householder正交分解法分解，这种分解法可以解决在最小二乘法中的欠定方程或超定方程，结果是m×n的x矩阵．m是A矩阵的列数，n是B矩阵的列数．每个矩阵的列向量最多有k个非零元素，k是A的有效秩．
右除B/A可由B/A=（A'\B'）'左除来实现．
§3.4矩阵乘方
A^P意思是A的P次方．如果A是一个方阵，P是一个大于1的整数，则A^P表示A的P次幂，即A自乘P次．如果P不是整数，计算涉及到特征值和特征向量的问题，如已经求得：
[V,D]=eig（A），则：
A^P=V*D.^P/V（注：
这里的.^表示数组乘方，或点乘方，参见后面的有关介绍）
如果B是方阵，a是标量，a^B就是一个按特征值与特征向量的升幂排列的B次方程阵．如果a和B都是矩阵，则a^B是错误的．
§3.5矩阵的超越函数
在Matlab中解释exp（A）和sqrt（A）时曾涉及到级数运算，此运算定义在A的单个元素上．Matlab可以计算矩阵的超越函数，如矩阵指数、矩阵对数等．
一个超越函数可以作为矩阵函数来解释，例如将“m”加在函数名的后边而成expm（A）和sqrtm（A），当Matlab运行时，有下列三种函数定义：
expm 矩阵指数
logm 矩阵对数
sqrtm 矩阵开方
所列各项可以加在多种m文件中或使用funm．请见应用库中sqrtm.m，1ogm.m，funm.m文件和命令手册．
§3.6数组运算
数组运算由线性代数的矩阵运算符“*”、“/”、“\”、“^”前加一点来表示，即为“.*”、“./”、“.\”、“.^”．注意没有“.+”、“.-”运算．
§3.6.1数组的加和减
对于数组的加和减运算与矩阵运算相同，所以“+”、“-”既可被矩阵接受又可被数组接受．
§3.6.2数组的乘和除
数组的乘用符号.*表示，如果A与B矩阵具有相同阶数，则A.*B表示A和B单个元素之间的对应相乘．例如x=[1 2 3];y=[4 5 6];
计算z=x.*y
结果z=4 10 18
数组的左除（.\）与数组的右除（./），由读者自行举例加以体会．
§3.6.3数组乘方
数组乘方用符号.^表示．
例如：
键入：
x=[1 2 3]
y=[4 5 6]
则z=x.^y=[1^4 2^5 3^6]=[1 32 729]
（1）如指数是个标量，例如x.^2，x同上，则：
z=x.^2=[1^2 2^2 3^2]=[1 4 9]
（2）如底是标量，例如2.^[xy]，x、y同上，则：
z=2.^[xy]=[2^1 2^2 2^3 2^4 2^5 2^6]=[2 4 8 16 32 64]
从此例可以看出Matlab算法的微妙特性，虽然看上去与其它乘方没什么不同，但在2和“．”之间的空格很重要，如果不这样做，解释程序会把“．”看成是2的小数点．Matlab看到符号“^”时，就会当做矩阵的幂来运算，这种情况就会出错，因为指数矩阵不是方阵．
§3.7矩阵函数
Matlab的数学能力大部分是从它的矩阵函数派生出来的，其中一部分装入Matlab本身处理中，它从外部的Matlab建立的M文件库中得到，还有一些由个别的用户为其自己的特殊的用途加进去的．其它功能函数在求助程序或命令手册中都可找到．手册中备有为Matlab提供数学基础的LINPACK和EISPACK软件包，提供了下面四种情况的分解函数或变换函数：
（1）三角分解；
（2）正交变换；（3）特征值变换；（4）奇异值分解．
§3.7.1三角分解
最基本的分解为“LU”分解，矩阵分解为两个基本三角矩阵形成的方阵，三角矩阵有上三角矩阵和下三角矩阵．计算算法用高斯变量消去法．
从lu函数中可以得到分解出的上三角与下三角矩阵，函数inv得到矩阵的逆矩阵，det得到矩阵的行列式．解线性方程组的结果由方阵的“\”和“/”矩阵除法来得到．
例如：
A=[1 2 3
4 5 6
7 8 0]
LU分解，用Matlab的多重赋值语句
[L,U]=lu（A）
得出
L=
0.1429
1.0000
0
0.5714
0.5000
1.0000
1.0000
0
0
U=
7.0000
8.0000
0
0
0.8571
3.0000
0
0
4.5000
注：
L是下三角矩阵的置换，U是上三角矩阵的正交变换，分解作如下运算，检测计算结果只需计算L*U即可．
求逆由下式给出：
x=inv（A）
x=
-1.7778
0.8889
-0.1111
1.5556
-0.7778
0.2222
-0.1111
0.2222
-0.1111
从LU分解得到的行列式的值是精确的，d=det（U）*det（L）的值可由下式给出：
d=det（A）
d=
27
直接由三角分解计算行列式：
d=det（L）*det（U）
d=
27.0000
为什么两种d的显示格式不一样呢?
当Matlab做det（A）运算时，所有A的元素都是整数，所以结果为整数．但是用LU分解计算d时，L、U的元素是实数，所以Matlab产生的d也是实数．
例如：
线性联立方程取b=[1
3
5]
解Ax=b方程，用Matlab矩阵除得到
x=A\b
结果x=
0.3333
0.3333
0.0000
由于A=L*U，所以x也可以有以下两个式子计算：
y=L\b，x=U\y．得到相同的x值，中间值y为：
y=
5.0000
0.2857
0.0000
Matlab中与此相关的函数还有rcond、chol和rref．其基本算法与LU分解密切相关．chol函数对正定矩阵进行Cholesky分解，产生一个上三角矩阵，以使R'*R=X．rref用具有部分主元的高斯－约当消去法产生矩阵A的化简梯形形式．虽然计算量很少，但它是很有趣的理论线性代数．为了教学的要求，也包括在Matlab中．
§3.7.2正交变换
“QR”分解用于矩阵的正交－三角分解．它将矩阵分解为实正交矩阵或复酉矩阵与上三角矩阵的积，对方阵和长方阵都很有用．
例如A=[ 1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12]
是一个降秩矩阵，中间列是其它二列的平均，我们对它进行QR分解：
[Q,R]=qr（A）
Q=
-0.0776
-0.8331
0.5444
0.0605
-0.3105
-0.4512
-0.7709
0.3251
-0.5433
-0.0694
-0.0913
-0.8317
-0.7762
0.3124
0.3178
0.4461
R=
-12.8841
-14.5916
-16.2992
0
-1.0413
-2.0826
0
0
0.0000
0
0
0
可以验证Q*R就是原来的A矩阵．由R的下三角都给出0，并且R（3,3）=0.0000，说明矩阵R与原来矩阵A都不是满秩的．
下面尝试利用QR分解来求超定和降秩的线性方程组的解．
例如：
b=[1
3
5
7]
讨论线性方程组Ax=b，我们可以知道方程组是超定的，采用最小二乘法的最好结果是计算x=A\b．
结果为：
Warning:
Rankdeficient,rank=2 tol= 1.4594e-014
x=
0.5000
0
0.1667
我们得到了缺秩的警告．用QR分解法计算此方程组分二个步骤：
y=Q'*b
x=R\y
求出的y值为
y=
-9.1586
-0.3471
0.0000
0.0000
x的结果为
Warning:
Rankdeficient,rank=2 tol= 1.4594e-014
x=
0.5000
0
0.1667
用A*x来验证计算结果，我们会发现在允许的误差范围内结果等于b．这告诉我们虽然联立方程Ax=b是超定和降秩的，但两种求解方法的结果是一致的．显然x向量的解有无穷多个，而“QR”分解仅仅找出了其中之一．
§3.7.3奇异值分解
在Matlab中三重赋值语句
[U,S,V]=svd（A）
在奇异值分解中产生三个因数：
A=U*S*V'
U矩阵和V矩阵是正交矩阵，S矩阵是对角矩阵，svd（A）函数恰好返回S的对角元素，而且就是A的奇异值（其定义为：
矩阵A'*A的特征值的算术平方根）．注意到A矩阵可以不是方的矩阵．
奇异值分解可被其它几种函数使用，包括广义逆矩阵pinv（A）、秩rank（A）、欧几里德矩阵范数norm（A,2）和条件数cond（A）．
§3.7.4特征值分解
如果A是n×n矩阵，若λ满足Ax=λx，则称λ为A的特征值，x为相应的特征向量．
函数eig（A）返回特征值列向量，如果A是实对称的，特征值为实数．特征值也可能为复数，例如：
A=[ 0 1
-1 0]
eig（A）
产生结果
ans=
0+1.0000i
0-1.0000i
如果还要求求出特征向量，则可以用eig（A）函数的第二个返回值得到：
[x,D]=eig（A）
D的对角元素是特征值．x的列是相应的特征向量，以使A*x=x*D．
计算特征值的中间结果有两种形式：
Hessenberg形式为hess（A），Schur形式为schur（A）．
schur形式用来计算矩阵的超越函数，诸如sqrtm（A）和logm（A）．
如果A和B是方阵，函数eig（A,B）返回一个包含一般特征值的向量来解方程
Ax=λBx
双赋值获得特征向量
[X,D]=eig（A,B）
产生特征值为对角矩阵D．满秩矩阵X的列相应于特征向量，使A*X=B*X*D，中间结果由qz（A,B）提供．
§3.7.5秩
Matlab计算矩阵A的秩的函数为rank（A），与秩的计算相关的函数还有：
rref（A）、orth（A）、null（A）和广义逆矩阵pinv（A）等．
利用rref（A），A的秩为非0行的个数．rref方法是几个定秩算法中最快的一个，但结果上并不可靠和完善．pinv（A）是基于奇异值的算法．该算法消耗时间多，但比较可靠．其它函数的详细用法可利用Help求助．
上一页 回目录 下一页
升级会员 