二次函数abc判定.docx

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二次函数abc判定

3.（2014•XX威海，第11题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：

①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．

其中正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

考点：

二次函数图象与系数的关系．

分析：

由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：

解：

抛物线与y轴交于原点，c=0，故①正确；

该抛物线的对称轴是：

，直线x=﹣1，故②正确；

当x=1时，y=2a+b+c，

∵对称轴是直线x=﹣1，

∴

，b=2a，

又∵c=0，

∴y=4a，故③错误；

x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，

∵b=2a，

∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．故④正确．

故选：

C．

点评：

本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．

5.（2014•XXXX，第11题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：

①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．

其中正确的结论有（　　）

　A．1个B．2个C．3个D．4个

考点：

二次函数的图象与性质．

解答：

根据抛物线的对称轴为直线x=﹣

=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．

解答：

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣

=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正确；

∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；

∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，

而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，

∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；

∵对称轴为直线x=2，

∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，所以④错误．故选B．

点评：

本题考查了二次函数图象与系数的关系：

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

7.（2014•XX聊城，第12题，3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，有下列判断：

①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c=﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，

其中正确的是（　　）

　A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④

考点：

二次函数图象与系数的关系．

分析：

利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．

解答：

解：

∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，

∴﹣

=﹣1，

b=2a，

∴b﹣2a=0，∴①正确；

∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，和x轴的一个交点是（2，0），

∴抛物线和x轴的另一个交点是（﹣4，0），

∴把x=﹣2代入得：

y=4a﹣2b+c＞0，∴②错误；

∵图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：

4a+2b+c=0，

又∵b=2a，

∴c=﹣4a﹣2b=﹣8a，

∴a﹣b+c=a﹣2a﹣8a=﹣9a，∴③正确；

∵抛物线和x轴的交点坐标是（2，0）和（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x=﹣1，

∴点（﹣3，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（（1，y1），

∵（，y2），1＜，

∴y1＞y2，∴④正确；

即正确的有①③④，

故选B．

点评：

此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的

9.（2014年XX黔东南9．（4分））如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：

①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0

其中正确结论的有（　　）

　A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

考点：

二次函数图象与系数的关系．

分析：

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=﹣1时，x=2时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：

解：

由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：

c＞0，由对称轴直线x=2，可得出b与a异号，即b＜0，则abc＜0，故①正确；

把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：

y=a﹣b+c，由函数图象可以看出当x=﹣1时，二次函数的值为正，即a+b+c＞0，则b＜a+c，故②选项正确；

把x=2代入y=ax2+bx+c得：

y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当x=2时，二次函数的值为负，即4a+2b+c＜0，故③选项错误；

由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故④D选项正确；

故选B．

点评：

本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：

y=a+b+c，y=4a+2b+c，然后根据图象判断其值．

16．（2014•XXXX，第10题，3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：

①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．

其中正确的有（　　）

A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤

分析：

根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣

=1，得到b=﹣2a＞0，即2a+b=0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x=1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x=﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把ax12+bx1=ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b]=0，即x1+x2=﹣，然后把b=﹣2a代入计算得到x1+x2=2．

解：

∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为性质x=﹣

=1，

∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为性质x=1，

∴函数的最大值为a+b+c，

∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确；

∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为性质x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧

∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误；

∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0，

∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）=0，

∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b]=0，即x1+x2=﹣，

∵b=﹣2a，∴x1+x2=2，所以⑤正确．故选D．

点评：

本题考查了二次函数图象与系数的关系：

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

11．（2014•莱芜，第12题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：

①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2

其中正确的个数有（　　）

　A．1B．2C．3D．4

考点：

二次函数图象与系数的关系．

专题：

数形结合．

分析：

由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴在y轴的左侧得a、b同号，即b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，所以abc＞0；根据抛物线对称轴的位置得到﹣1＜﹣

＜0，则根据不等式性质即可得到2a﹣b＜0；由于x=﹣2时，对应的函数值小于0，则4a﹣2b+c＜0；同样当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，x=1时，a+b+c＜0，则（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，利用平方差公式展开得到（a+c）2﹣b2＜0，即（a+c）2＜b2．

解答：

解：

∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，

∴x=﹣

＜0，

∴b＜0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

∴abc＞0，所以①正确；

∵﹣1＜﹣

＜0，

∴2a﹣b＜0，所以②正确；

∵当x=﹣2时，y＜0，

∴4a﹣2b+c＜0，所以③正确；

∵当x=﹣1时，y＞0，

∴a﹣b+c＞0，

∵当x=1时，y＜0，

∴a+b+c＜0，

∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c﹣b）（a+c+b）＜0，

∴（a+c）2﹣b2＜0，所以④正确．

故选D．

点评：

本题考查了二次函数的图象与系数的关系：

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣

；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．

3．（2014年XX资阳，第10题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：

①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），

其中正确结论的个数是（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

考点：

二次函数图象与系数的关系．

分析：

利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．

解答：

解：

∵抛物线和x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，

∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；

∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（