安徽省合肥市届高三上学期调研性检测数学理试题及答案.docx
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安徽省合肥市届高三上学期调研性检测数学理试题及答案
合肥市2021届高三上学期调研性检测
数学试（理科）
（考试时间：
120分钟满分：
150分）
第Ⅰ卷（60分）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数
满足
，其中
是虚数单位，则复数
的模为（）
A．
B．
C．
D．3
2．若集合
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
3．若变量
，
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为（）
A．
B．
C．
D．1
4．为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎疫情防控期间，有关部门对辖区内15家药店所销售的
，
两种型号的口罩进行了抽检，每家药店抽检10包口罩（每包10只），15家药店中抽检的
、
型号口罩不合格数（Ⅰ、Ⅱ）的茎叶图如图所示，则下列描述不正确的是（）
A．估计
型号口罩的合格率小于
型号口罩的合格率
B．Ⅰ组数据的众数大于Ⅱ组数据的众数
C．Ⅰ组数据的中位数大于Ⅱ组数据的中位数
D．Ⅰ组数据的方差大于Ⅱ组数据的方差
5．设数列
的前
项和为
，若
，则
（）
A．81B．121C．243D．364
6．函数
在
上的图象大致是（）
A．
B．
C．
D．
7．周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为（）
A．8B．12C．16D．20
8．已知函数
的部分图象如图所示，则函数
的单调递减区间为（）
A．
B．
C．
D．
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．32B．16C．
D．
10．在
中，
，
，
分别是边
，
，
的中点，
，
，
交于点
，则：
①
；②
；
③
；④
．
上述结论中，正确的是（）
A．①②B．②③C．②③④D．①③④
11．双曲线
的左、右焦点分别为
，
，
为
的渐近线上一点，直线
交
于点
，且
，
（
为坐标原点），则双曲线
的离心率为（）
A．
B．2C．
D．
12．已知
，函数
恰有两个零点，则
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在答题卡上的相应位置．
13．若命题
若直线
与平面
内的所有直线都不平行，则直线
与平面
不平行；则命题
是________命题（填“真”或“假”）．
14．若直线
经过抛物线
的焦点且与圆
相切，则直线
的方程为________．
15．已知函数
，
，
是钝角三角形的两个锐角，则
________
（填写：
“
”或“
”或“
”）．
16．已知三棱锥
的顶点
在底面的射影
为
的垂心，若
，且三棱锥
的外接球半径为3，则
的最大值为________．
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
设数列
的前
项和为
，
，
．若数列
为等差数列．
（1）求数列
的通项公式
；
（2）设数列
的前
项和为
，若对
都有
成立，求实数
的取值范围．
18．（本小题满分12分）
为检査学生学习传染病防控知识的成效，某校高一年级部对本年级1500名同学进行了传染病防控知识检测，并从中随机抽取了300份答卷，按得分区间
，
，…，
，
分别统计，绘制成频率分布直方图如下．
（1）估计高一年级传染病防控知识测试得分的中位数（结果精确到个位）；
（2）根据频率分布直方图，按各分数段的人数的比例，从得分在区间
和
的学生中任选7人，并从这7人中随机选3人作传染病预防知识宣传演讲，求这3人中至少有一人得分在区间
内的概率．
19．（本小题满分12分）
已知：
在
中，三个内角
、
、
的对边分别为
，
，
，且
，
．
（1）当
时，求
的面积；
（2）当
为锐角三角形时，求
的取值范围．
20．（本小题满分12分）
在三棱锥
中，
平面
，平面
平面
．
（1）证明：
平面
；
（2）若
为
的中点，且
，
，求二面角
的余弦值．
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，动点
满足方程
．
（1）说明动点
的轨迹是什么曲线，并求出曲线
的标准方程；
（2）若点
，是否存在过点
的直线
与曲线
相交于
，
两点，且直线
，
与
轴分别交于
、
两点，使得
？
若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数
．
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若函数
有极值且极值大于0，求实数
的取值范围．
合肥市2021届高三调研性检测数学试题（理科）
参考答案及评分标准
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
D
D
B
A
C
D
C
C
A
D
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．假14．
或
15．
16．18
三、解答题：
17．（本小题满分10分）
解：
（1）由
，
得
，
，
，
．
∵数列
为等差数列，
，
∴
．
当
时，
．
当
时，
也成立．
∴
．
（2）∵
，
∴
．
∴
，
∴当
时，
，即
；
当
时，
，即
；
∴
，
，
∵
，都有
成立，∴
．
18．（本小题满分12分）
解：
（1）设中位数估计值为
，根据频率分布直方图得，
，
解得
．
∴高一年级传染病防控知识测试得分中位数的估计值为75．
（2）根据频率分布直方图得，得分在区间
和
的频率分别为0.25，0.1，其比例为
，
∴所选的7人中，得分在
的有5人，得分在
的有2人．
∴从7人中随机选3人，至少有一人得分在区间
上的概率为
．
19．（本小题满分12分）
解：
（1）∵
，
，
，
∴
，∴
．
当
时，由
得
．
又∵
，∴
．
由余弦定理得，
，
∴
，解得
或
．
当
时，
的面积
；
当
时，
的面积
．
（2）∵
为锐角三角形，
，
∴
，∴
．
依题意得
，∴
．
∴
．
20．（本小题满分12分）
解：
（1）证明：
过点
作
于
．
∵平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
∴
平面
，∴
．
又∵
平面
，
平面
，
∴
．
又∵
，
，
平面
，
∴
平面
．
（2）∵
，
，∴
为
中点．
又∵
为
的中点，∴
．
由
（1）知，
平面
，∴
平面
，
∴
，
，
∴以
为原点，以
，
，
所在方向为
，
，
轴正方向，建立空间直角坐标系，如图．
设
，则
，
，
则
，
，
，
，
，
．
设平面
的法向量为
，
∴
，
，
，
，
，
，
∴
．
令
得
，
，∴
．
设平面
的法向量为
，
∴
，
，
，
，
，
，
∴
．令
得
，
，
∴
，
∴
．
∵二面角
的平面角
是钝角，∴
．
21．（本小题满分12分）
解：
（1）设
，
，依题意
，
∴
，且
∴点
的轨迹是以
，
为焦点，长轴长为4的椭圆．
设椭圆的方程为
，
记
，则
，
，
∴
，
，∴
，
∴曲线
的标准方程为
．
（2）当直线
为
时，不合题意．
当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，
，
．
联立
，消去
得
．
则
，
，
．
∵
，
∴
或
．
当
时，经检验点
与点
或点
重合，不符合题意，故舍去．
当
时，经检验符合题意，此时直线
的方程为
．
综上所述，直线
的方程为
．
22．（本小题满分12分）
解：
（1）∵
，
∴
．
①
，则
在
上恒成立，
∴当
时，
在
上单调递增．
②若
，令
．
∵
，
，
∴
有两个不相等的实数根，且两根一正一负．
设
．
当
时，
，
当
时，
，
∴当
时，
，
当
时，
，
∴当
时，函数
在
上单调递增；
在
上单调递减．
综合①②得：
当
时，
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递增；
在
上单调递减．
（2）由
（1）知，当
时，函数
在
上无极值；
当
时，函数
在
上仅有极大值
，
其中
，即
，
∴
．
设
．
∵
在
上单调速增，且
，
∴当且仅当
时，
，
此时，
，
∴当
时，实数
的取值范围是
．
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