电大离散数学形考作业标准答案357合集.docx
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电大离散数学形考作业标准答案357合集
电大离散数学作业答案3-7合集
离散数学作业3
姓名：
学号：
得分：
教师签名：
离散数学集合论部分形成性考核书面作业
本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练
习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。
本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。
要求：
将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年11月7日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。
并在03任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，完成并上交任课教师。
一、填空题
1•设集合A二{1,2,3},B二{1,2},则P（A）-P（B）={{3}，{1,3}，{2,3}，
{1,2,3}}，AB={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3.2>}.
2•设集合A有10个元素，那么A的幕集合P（A）的元素个数为1024.
3.设集合A={0,1,2,3}，B={2,3,4,5}，R是A到B的二元关系，
R={cx,yA且y€B且x,AcB}
则R的有序对集合为{<2,2>，<2,3>，<3,2>}，<3,3>.
4.设集合A={1,2,3,4}，B={6,8,12}，A到B的二元关系
R={x,yy=2x,xA,yB}
那么」{<6,3>,<8,4>}
5.设集合A={a,b,c,d},A上的二元关系R={,,,}，
则R具有的性质是没有任何性质
6.设集合A={a,b,c,d},A上的二元关系R={,,,}，
若在R中再增加两个元素{,}，则新得到的关系就
具有对称性.
7.如果R1和R2是A上的自反关系，则R1UR2，R1AR2，R1-R2中自反关
系有2个.
8.设A={1,2}上的二元关系为R={|xA，yA,x+y=10}，则R的自反闭包为—{<1,1>,<2,2>}.
9.设R是集合A上的等价关系，且1,2,3是A中的元素，则R中至少包含<1,1>,<2,2>,<3,3>等元素.
10.设A={1,2},B={a,b},C={3,4,5}，从A到B的函数f={<1,a>,<2,b>}，从B到C的函数g={,}，则Ran（gf）={3,4}.
二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由.）
1.若集合A={1,2,3}上的二元关系R={<1,1>,<2,2>,<1,2>}，则
（1）R是自反的关系；
（2）R是对称的关系.
（1）错误。
R不具有自反的关系，因为<3,3>不属于R。
（2）错误。
R不具有对称的关系，因为<2,1>不属于R。
2.设A={1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<1,2>,<2,1>}，则R是等价关系.
3.
对A中任意元素a,R含〈a,a〉
错误。
因为3是A的一个元素，但〈3,3〉不在关系R中。
等价关系R必须有:
4.若偏序集的哈斯图如图一所示,则集合A的最大元为a,最小元不存在.解：
错误.
集合A的最大元不存在，a是极大元.
5.设集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},,判断下列关系f是否构成函数f:
A>B,并说明理由.
（1）f={<1,4>,<2,2,>,<4,6>,<1,8>};
（2）f={<1,6>,<3,4>,<2,2>};
（3）f={<1,8>,<2,6>,<3,4>,<4,2,>}.
（1）不构成函数。
因为对于3属于A，在B中没有元素与之对应。
（2）不构成函数。
因为对于4属于A，在B中没有元素与之对应。
（3）构成函数。
因为A中任意一个元素都有A中唯一的元素相对应。
三、计算题
1.
（4）A-B.
设E={1,2,3,4,5},A二{1,4},B二{1,2,5},C={2,4}，求:
（1）（A'B）_~C;
（2）（A_B）-（B-A）（3）P（A）—P（C）;
解：
（1）（A汨）_~C={1}一{1,3,5}={1,3,5}
（3）P（A）-P（C）珂，{1},{4},{1,4}}-{,{2},{4},{2,4}}
={{1},{1,4}}
（4）A二B=（A_B）—（A「B）={1,2,4,5}-{1}二{2,4,5}
（2）={1,2,4,5}-{1}={2,4,5}
2•设A={{1},{2},1,2},B={1,2,{1,2}}，试计算
（1）（A-B）;
（2）（AAB）;（3）AXB.
解：
（1）A-B={{1},{2}}
（2）AAB={1,2}
（3）AXB={v{1},1>,<{1},2>,<{1},{1,2}>,<{2},1>,<{2},2>,
<{2},{1,2}>,<1,1>,<1,2>,<1,{1,2}>,<2,1>,<2,2>,<2,{1,2}>}
3.设A={1,2,3,4,5},R={|xA,yA且x+y_4},S={|xA,yA且x+y<0}，试求R,S,R・S,S・R,R-1,S-1,r（S）,s（R）.
解:
R={<1,1>,<1,2>,<1,3><2,1><2,2><3,1>}
S=空集R*S=空集S*R=空集
-1={<1,1>,<2,1><3,1><1,2><2,2><1,3>}
R
S-1二空集
r（S）={<1,1><2,2><3,3><4,4><5,5>}
s（R）={<1,1><1,2><1,3><2,1><2,2><3,1>}
4.设A={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除关系,B={2,4,6}.
（1）写出关系R的表示式；
（2）画出关系R的哈斯图；
（3）求出集合B的最大元、最小元.
（1）R={<1,1><1,2><1,3><1,4><1,5><1,6><1,7><1,8><2,2><2,4><2,6><2,8><3,3><3,6><4,4><4,8><5,5><6,6><7,7><8,8>}
⑵哈斯图如下：
（3）集合B没有最大元，最小元是2
四、证明题
1.试证明集合等式：
A-（B-C）=（A一B）-（A一C）.
1.证明：
设,若x€A-（B「C）,贝Ux€A或x€B「C,即x€A或x€B且x€A或x€C.
即x€AB且x€A_C,
即x€T=（A一B）-（A_.C）,
所以A_.（B-C）（A_.B）-（A_.C）.
反之，若x€（A一B）-（AC）,贝Ux€A_.B且x€A_C,
即x€A或x€B且x€A或x€C,
即x€A或x€B'C,
即x€A一（B-C）,
所以（A_.B）-（A_.C）A_.（B-C）.
因此.A_.（B-C）=（AB）-（A_.C）.
2.试证明集合等式A'（BC）=（A「B）（A-C）.
2.证明：
设S=AA（BUC）,T=（AAB）U（AAC）,若x€S,则x€A且x€BUC,g卩x€A且x€B或x€A且x€C,
也即x€AAB或x€AAC，即x€T,所以ST.
反之，若x€T,贝Ux€AAB或x€AAC,
即x€A且x€B或x€A且x€C
也即x€A且x€BUC,g卩x€S,所以T二S.
因此T=S.
3.对任意三个集合A,B和C,试证明：
若AB=AC,且A=._,则B=C.
（1）对于任意€AXB,其中a€A,b€B,因为AXB=AXC,必有€AXC,其中b€C因此BC
（2）同理，对于任意€AXC,其中，a€A,c€C,因为AXB=AXC必有€AXB,其中c€B,因此CB
有
（1）
（2）得B=C
4.试证明：
若R与S是集合A上的自反关系，则RAS也是集合A上的自反关系.
若R与S是集合A上的自反关系，则任意x€A,Vx,x>€R,vx,x>€S,
从而Vx,x>€RAS,注意x是A的任意元素，所以RAS也是集合A上的自反关系.
姓名：
学号：
得分：
教师签名：
离散数学作业5
离散数学图论部分形成性考核书面作业
本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练
习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。
本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。
要求：
将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月5日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。
并在05任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。
一、填空题
1•已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结
点，贝UG的边数是15.
2•设给定图G（如右由图所示），则图G的点割集是d
3•设G是一个图，结点集合为V,边集合为E,则G的结点度数之和等于边数的两倍.
4•无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且等于出度•
5•设G=是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于n-1，则在G中存在一条汉密尔顿路.
6•若图G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S,在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W,则S中结点数|S|与W满足的关系式为W（G-V1MV1.
7.设完全图Kn有n个结点（n_2）,m条边，当n为奇数时，Kn中存在欧拉回路.
8.结点数v与边数e满足e=v-1关系的无向连通图就是树.
9.设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18,则可从G中删去
4条边后使之变成树.
10.设正则5叉树的树叶数为17,则分支数为i=5.
二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由.）
1.如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路.
（1）不正确，缺了一个条件，图G应该是连通图，可以找出一个反例，比如
图G是一个有孤立结点的图
2.如下图所示的图G存在一条欧拉回路.
（2）不正确，图中有奇数度结点，所以不存在是欧拉回路
3.
如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图.
解：
正确
因为图中结点a,b,d,f的度数都为奇数，所以不是欧拉图。
如果我们沿着（a,d,g,f,e,b,c,a）,这样除起点和终点是a外，我们经过每个点一次仅一次，所以存在一条汉密尔顿回路，是汉密尔顿图
4.设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图.解：
⑴错误
假设图G是连通的平面图，根据定理，结点数v,边数为e,应满足e小于等于3v-6，但现在16小于等于3*7-6，显示不成立。
所以假设错误。
5.设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面.
（2）正确
根据欧拉定理，有v-e+r=2,边数v=11,结点数e=6,代入公式求出面数r=7
三、计算题
1.设G=,V={V1,V2,V3,V4,V5},E={（V1,V3）,（V2,V3）,（V2,V4）,（V3,V4）,（V3,V5）,（V4,V5）｝，试
（2）写出其邻接矩阵；
（4）画出其补图的图形.
（1）给出G的图形表示；
（3）求出每个结点的度数;
解：
（1）
（2）
邻?
接矩阵为
10
0
1
0
0、
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0」
（3）vi结点度数为1,V结点度数为2,v结点度数为3,V4结点度数为2,v结点度数为2
（4）补图图形为
2•图G=，其中V={a,b,c,d,e},E={（a,b）,（a,c）,（a,e）,（b,d）,（b,e）,（c,e）,（c,d）,（d,e）}，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5,试
（1）画出G的图形；
（2）写出G的邻接矩阵；
（3）求出G权最小的生成树及其权值.
（1）G的图形如下：
1
（2）写出G的邻接矩阵
02102
20036
10042
03405
26250
（3）G权最小的生成树及其权值
1
ac
3.已知带权图G如右图所示.
⑴求图G的最小生成树；⑵计算该生成树的权值.
解：
（1）最小生成树为
⑵该生成树的权值为（1+2+3+5+7）=18
4.设有一组权为2,3,5,7,17,31,试画出相应的最优二叉树，计算该最优
二叉树的权.
权为2*5+3*5+5*4+7*3+17*2+31=131
四、证明题
1.设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数.证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等.
证明：
设G=：
V,E■,G=：
：
VE•.则E•是由n阶无向完全图心的边删去E所得到的.所以对于任意结点V,u在G和G中的度数之和等于u在Kn中的度数.由于n是大于等于3的奇数，从而Kn的每个结点都是偶数度的（n-1（一2）度），于是若“V在G中是奇数度结点，则它在G中也是奇数度结点.故图G与它的补图G中的奇数度结点个数相等.
2•设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加-条边才能
使其成为欧拉图.
证明：
由定理3.1.2,任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数.
又根据定理4.1.1的推论，图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点•因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G的所有结点的度数变
为偶数，成为欧拉图.
故最少要加2条边到图G才能使其成为欧拉图.
姓名：
离散数学作业7
学号：
得分：
教师签名：
离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业
本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练
习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。
本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。
要求：
将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第17周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。
并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。
一、填空题
1.命题公式P>（QP）的真值是.
2•设P:
他生病了，Q:
他出差了.R:
我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为（P_Q）丄R
3.含有三个命题变项P，Q，R的命题公式PQ的主析取范式是
（PQR）（PQ-R）
4.设P（x）:
x是人，Q（x）:
x去上课，则命题“有人去上课.”可符号化为
三x（P（x）卜、.
5.设个体域D={a,b},那么谓词公式xA（x）-yB（y）消去量词后的等值式为
（A（a）A（b））（（B（a）B（b））.
6•设个体域D={1,2,3},A（x）为“x大于3”，则谓词公式（x）A（x）的真值为0（F）.
7.谓词命题公式（-x）（（A（x）B（x））C（y））中的自由变元为__y.
8•谓词命题公式（-x）（P（x）>Q（x）R（x,y））中的约束变元为x.
二、公式翻译题
1•请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式设P:
今天是晴天。
则P
2•请将语句“小王去旅游，小李也去旅游•”翻译成命题公式.
设P:
小王去旅游。
Q:
小李去旅游。
则PQ
3•请将语句“他去旅游，仅当他有时间•”翻译成命题公式.
设P:
他去旅游。
Q:
他有时间。
则P>Q
4•将语句“41次列车下午五点开或者六点开”翻译成命题公式。
5•请将语句“有人不去工作”翻译成谓词公式•
设A（x）:
x是人
B（x）:
去工作
x（A（x）-B（x））
6•请将语句“所有人都努力工作•”翻译成谓词公式.
设A（x）:
x是人
B（x）:
努力工作
-x（A（x）B（x））
四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由•）
1.命题公式—PP的真值是1.
解：
错。
因为P和P的否不能同时为真。
2.（x）（P（x）—Q（y）AR⑵）中的约束变元为y.
解：
错。
（x）（P（x）—Q（y）AR⑵）中的约束变元为。
3.谓词公式（x）P（x,y）—；（-z）Q（x,y,z）中x量词的辖域为
P（x,y）r（-z）Q（x,y,z）.
解：
错。
因为紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖域，所以x的辖域
p（x,y）。
4•下面的推理是否正确，请给予说明.
（1）（-x）A（x）》B（x）前提引入
⑵A（y）>B（y）US
（1）
答：
错误。
（2）应为A（y）>B（x），换名时，约束变元与自由变元不能混淆。
四.计算题
1.求P>QR的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式.P》QR=-PQR（析取范式）
=（—PQR）（合取范式）
真值表：
P
Q
R
原式
极小项
及大项
0
0
0
1
1
「Pa「Pa「P
0
0
1
1
1
「「QaR
0
1
0
1
1
「PaQa「R
0
1
1
1
1
「P层QaR
1
0
0
0
0
-1IP/Q/R
1
0
1
0
1
Pa「QaR
1
1
0
0
1
PaQ入「R
1
1
1
0
1
PaQaR
主析取范式（一P-P一P）（-P-QR）（一PQ-R）
（-PQR）（P-QR）（PQ-R）（PQR）
主合取范式（-PQR）
2.求命题公式（PQ）>（RQ）的主析取范式、主合取范式.真值表：
P
Q
R
「（pg
RvQ
原式
极小项
及大项
0
0
0
1
0
1
「P找「「P
0
0
1
1
1
1
「Pa
0
1
0
0
1
1
「「R
0
1
1
0
1
1
「R
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
「QaR
1
1
0
0
1
1
Qa「R
1
1
1
0
1
1
P^QaR
主析取范式（一P-P-P）（—P—QR）（—PQ-R）
（_PQR）（P-QR）（PQ_R）（PQR）
主合取范式（-PQR）
3.设谓词公式（Tx）（P（x,y）-；（-z）Q（y,x,z））（-y）R（y,z）.
（1）试写出量词的辖域；
（2）指出该公式的自由变元和约束变元.
答：
（1）lx的辖域为P（x,y）―；'.zQ（x,y,z）
-z的辖域为Q（x,y,z）
-y的辖域为R（y,z）
（2）约束变元为
P（x,y）rzQ（x,y,z）中的x
Q（x,y,z）中的z
R（y,z）中的y
自由变元为
P（x,y）r•zQ（x,y,z）中的y
R（y,z）中的z
4.设个体域为D={ai,a2}，求谓词公式-yTxP（x,y）消去量词后的等值式;
答：
谓词公式-yxP（x,y）消去量词后的等值式为
（R（a,a）R（a,b））（R（b,a）R（b,b））
五、证明题
1.试证明（P>（Q-R））-PQ与—（P-Q）等价.
证明：
（P>（Q-R））-PQ
u—P（Q—R））—PQ
二一PQ
二_（P_Q）
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