常微分方程试题及答案doc.docx
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常微分方程试题及答案doc
第十二章常微分方程
（A）
一、是非题
1．任意微分方程都有通解。
（X）
2．微分方程的通解中包含了它所有的解。
（X）
3．函数y
3sinx
4cosx是微分方程
y
y0的解。
（O）
4．函数y
x2ex是微分方程y
2y
y0的解。
（X
）
5．微分方程
xy
lnx
0的通解是y
1
lnx2
C
（
C为任意常数）。
2
（O）
6．y
siny是一阶线性微分方程。
（X）
7．y
x3y3
xy不是一阶线性微分方程。
（
O）
8．y
2y
5y
0的特征方程为r2
2r
5
0。
（O
）
9．dy
1
x
y2
xy2是可分离变量的微分方程。
（O
）
dx
二、填空题
1．在横线上填上方程的名称
①
y
3
lnxdx
xdy
0是可分离变量微分方程。
②
xy2
xdx
yx2ydy
0是可分离变量微分方程。
③
xdy
y
lny是齐次方程。
dx
x
④
xy
y
x2sinx是一阶线性微分方程。
⑤
y
y
2y
0是二阶常系数齐次线性微分方程。
2．y
sinxy
x
cosx的通解中应含
3
个独立常数。
3．y
e2x的通解是1e2x
C1xC2。
4
4．y
sin2xcosx的通解是
1sin2x
cosxC1x
C2。
4
5．xy
2x2y2
x3y
x4
1是
3
阶微分方程。
6．微分方程yy
y6
0是
2
阶微分方程。
7．y
1所满足的微分方程是y
y2
0。
x
8．y
2y的通解为y
Cx2。
x
9．dx
dy
0的通解为x2
y2
C。
y
x
10．dy
2y
5
yCx
12。
x
12，其对应的齐次方程的通解为
dx
x
1
x2
11．方程xy
1
x2
y
0的通解为y
Cxe2
。
12．3阶微分方程y
x3的通解为y
1
x6
C1x
C2x
C3。
120
三、选择题
1．微分方程xyy
xy
3
y4y
0的阶数是（D）
。
A．3B．4C．5D．2
2．微分方程y
x2y
x5
1的通解中应含的独立常数的个数为
（A）。
A．3B．5C．4D．2
3．下列函数中，哪个是微分方程
dy
2xdx
0的解（B）
。
A．y2x
B．yx2
C．y
2xD．yx
2
4．微分方程y
3y3的一个特解是（B
）
。
A．yx3
1B．yx23
C．y
xC2
D．yC1x3
5．函数ycosx是下列哪个微分方程的解（C）。
A．y
y
0
B．y2y
0
C．yn
y
0
D．yycosx
6．yC1ex
C2ex是方程y
y
0的（A）
，其中C1，C2为任意常数。
A．通解B．特解C．是方程所有的解
D．上述都不对
7．y
y满足y|x0
2的特解是（
B）。
x
A．yex
1B．y2ex
C．y2e2
D．y3ex
8．微分方程y
y
sinx的一个特解具有形式（C）
。
A．y*
asinx
B
．y*
a
cosx
C．y*xasinxbcosxD．y*acosxbsinx
9．下列微分方程中，（A）是二阶常系数齐次线性微分方程。
A．y2y0
B
．yxy
3y2
0
C．5y4x0
D．y2y10
10．微分方程y
y
0满足初始条件y0
1的特解为（A
）
。
A．ex
B．ex
1C．ex
1D．2ex
11．在下列函数中，能够是微分方程
y
y
0的解的函数是（C）
。
A．y
1
B．y
x
C．y
sinx
D．y
ex
12．过点
1,3
且切线斜率为2x的曲线方程y
yx应满足的关系是
（C）。
A．y
2xB．y
2xC．y
2x，y13
D．y
2x，y13
13．下列微分方程中，可分离变量的是
（
B
）
。
A．dy
y
e
B
．dy
kx
a
b
y
（k,a,b是常数）
dx
x
dx
C．dy
siny
x
D
．y
xy
y2ex
dx
14．方程y
2y
0的通解是（
C
）
。
A．y
sinx
B．y
4
e2x
C．y
C
e2x
D．y
ex
15．微分方程dx
dy
0
满足y|x3
4的特解是（
A）
。
y
x
A．
2
2
25
．
2
2
D
．
2
2
7
x
y
B3x4yCC
．x
y
C
x
y
16．微分方程dy
1
y
0
的通解是y
（
B
）
。
A．C
dx
x
B．CxC．1
C
D．xC
x
x
17．微分方程y
y
0的解为（
B
）
。
A．ex
B．ex
C．ex
ex
D．ex
18．下列函数中，为微分方程xdxydy0的通解是（B）。
A．xyCB．x2
y2
C
C．Cxy0D．Cx2
y0
19．微分方程2ydy
dx
0
的通解为（
A）
。
A．y2
xC
B．y
xC
C．yxCD．y
xC
20．微分方程cosydy
sinxdx的通解是（D）
。
A．sinx
cosy
C
B
．cosy
sinx
C
C．cosx
siny
C
D
．cosx
siny
C
21．y
ex的通解为y
（
C
）
。
A．ex
B．ex
C．ex
C1xC2
D．ex
C1xC2
22．按照微分方程通解定义，
y
sinx的通解是（A）
。
A．sinx
C1x
C2
B
．sinx
C1
C2
C．sinx
C1x
C2
D
．sinx
C1
C2
四、解答题
1．验证函数y
C
e3x
e2x（C为任意常数）是方程dy
e2x
3y的通解，
dx
并求出满足初始条件y|x
0
0的特解。
2．求微分方程
xy2
1dx
y1
x2dy0的通解和特解。
y|x
0
1
解：
1y2
C，2x2
y2
1
1x2
3．求微分方程dy
y
tany的通解。
解：
siny
dx
x
x
Cx。
x
y
x
y
4．求微分方程
y
x的特解。
y|x1
2
解：
y2
2x2lnx
2。
5．求微分方程
y
y
cosx
esinx的通解。
解：
yesinxx
C
6．求微分方程dy
y
sinx的通解。
1
dx
x
解：
y
sinx
xcosx
C
x
7
7．求微分方程
x
1y
2yx12
0的特解。
y|x01
2
3
解：
y
x12
3
1x12
3
8．求微分方程y
2yx
满足初始条件x
0，y
1，y
3的特解。
x2
1
解：
y
x3
3x1
9．求微分方程y
2yy满足初始条件x
0，y
1，y
2的特解。
解：
arctany
x
或y
tan
x
4
4
10．验证二元方程x2
xyy2
C所确定的函数为微分方程
x2yy
2x
y的解。
11．求微分方程ex
y
ex
dx
exy
ey
dy
0的通解。
解：
ex
1ey
1
C
12．求dy
y
tanx
secx，y|x0
0的特解。
dx
解：
y
x
cosx
13．验证y1
cosx，y2
sin
x都是y
2y0的解，并写出该方程的通
解。
14．求微分方程y
2y
x2
的通解。
x
解：
y
Cx2
x2lnx
15．求微分方程y
1y
ex
0满足初始条件y1
0的特解。
x
解：
y
ex
ex
x
16．求微分方程dy
x
2
y
x
13的通解。
dx
1
解：
y
x
12
x
12
C
2
17．求微分方程
x
dx
y
dy0满足条件y0
1的特解。
1
y
1
x
解：
2y3
x3
3y2
x2
5
18．求微分方程
y
y
2y
0
的通解。
解：
yC1ex
C2e2x
19．求微分方程y
2y
5y
0
的通解。
解：
y
ex
C1cos2x
C2sin2x
20．求微分方程y
4y
4y
0
的通解。
解：
y
C1
C2xe2x
21．试求y
x的经过点
M0,1
且在此点与直线y
x
1相切的积分曲线。
1
1
2
解：
y
x3
x
1
6
2
（B）
一、是非题
1．可分离变量微分方程不都是全微分方程。
（X）
2．若y1x，y2
x都是y
Pxy
Qx的特解，且y1x与y2x线性无关，
则通解可表为yx
y1xCy1
xy
2
x。
（O）
3．函数ye1x
e2x是微分方程y
12y12y0的解。
（O）
4．曲线在点x,y处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微
分方程是yx2
C
（C是任意常数）。
（X
）
5．微分方程
y
e2xy，满足初始条件
y|x00的特解为ey1e2x
1。
2
（
X）
二、填空题
1．y1
cosx与y2
sinx是方程y
y
0的两个解，则该方程的通解为
y
C1cosx
C2sinx。
2．微分方程y
2y
3y
0的通解为y
C1ex
C2e3x。
3．微分方程y
2y
y
0的通解为y
C1
C2xex。
4．微分方程y
e2x的通解是y
1e2x
C1x2
C2x
C3。
8
5．微分方程y
y'的通解是y
C1ex
C2。
6．微分方程dy
2xy的通解是y
C
ex2
。
dx
三、选择题
1．微分方程y
4y
4y0的两个线性无关解是（
C）
。
A．e2x与2e2x
B．e2x与xe2x
C．e2x与xe2x
D．e2x与4e2x
2．下列方程中，不是全微分方程的为（C）。
A．3x2
6xy2dx
6x2y
4y2dy
0
B．eydxxey
2ydy0
C．yx
2ydx
x2dy
0
D
．x2
ydx
xdy
0
3．下列函数中，哪个函数是微分方程
s
t
g的解（C
）
。
A．s
gt
B．s
gt2
C．s
1gt2
D．s
1gt2
2
2
4．下列函数中，是微分方程
y7y
12y0
的解（
C）
。
A．yx3
B．yx2
C．ye3x
D．ye2x
5．方程
1
x2
y
xy
0的通解是（D
）
。
A．
2
．y
C
．
13
D．y
1
x
2
Cxe2
y
C
1
x
B
C
y
x
Cx
1x2
2
6．微分方程ylnxdx
x
lnydy满足y|x
11的特解是（A
）
。
A．ln2x
ln2y
B．ln2xln2y1
C．ln2x
ln2y
0
D．ln2xln2y1
7．微分方程
1
x2
dy
1y2dx
0的通解是（
A）
。
A．arctanx
arctany
C
B．tanx
tany
C
C．lnxlny
C
D
．cotx
coty
C
8．微分方程y
sin
x
的通解是（C
）
。
A．y
sin
x
B
．y
sin
x
C．y
sin
x
C1x
C2
D
．y
sin
x
C1xC2
9．方程xy
y
3的通解是（
A
）
。
A．y
C
3
B．y
3
C
C．
y
C
3
D．y
C
x
x
x
3
x
四、解答题
1．求微分方程y
9y
24x
6cos3x
2sin3x
的通解。
解：
y
C1
xcos3x
C2
2x2
xsinx3x
2．求微分方程y
7y
6y
sinx
的通解。
解：
y
C1e6x
C2ex
1
7cosx
5sinx
74
3．求微分方程
3x2
2xy
y2dx
x2
2xydy
0的通解。
解：
y2
xy
x2
C
x
（C）
一、是非题
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