红对勾45分钟RJ数学A版必修2第二章单元质量评估.docx
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红对勾45分钟RJ数学A版必修2第二章单元质量评估
第二章单元质量评估
答题表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．下面列举的图形一定是平面图形的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形
B．有两个角是直角的四边形
C．有三个角是直角的四边形
D．有四个角是直角的四边形
2．不共面的四点可以确定平面的个数为（ ）
A．2 B．3
C．4D．无法确定
3．下列说法不正确的是（ ）
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B．同一平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
4．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（ ）
A．平行B．平行或异面
C．平行或相交D．异面或相交
5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n
B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n
C．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β
D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
6.
如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（ ）
A．点A
B．点B
C．点C但不通过点M
D．点C和点M
7.
如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
8．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，a在α，β内的射影分别为b和c，则b和c的位置关系是（ ）
A．平行B．相交
C．异面D．以上均有可能
9．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．90°
10．已知三棱锥S－ABC的三视图如图所示，则在原三棱锥中下列命题正确的是（ ）
①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.
A．①B．②
C．①③D．①②
11.
如图，三棱柱A1B1C1－ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（ ）
A.CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面A1B1BA
C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
答案
1．D 对于前三个，可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；在翻折的过程中，某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形．
2．C 不共面的四个点中，任三点都是不共线的，故任意三点都可以确定一个平面，共可以确定4个平面．
3．D 一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．
4．B 由直线与平面平行的判定定理，可知CD∥α，所以CD与平面α内的直线没有公共点．
5．B A中，α∥β，m∥α，n∥β，则m与n平行、异面、相交皆有可能，故A错误．B中，m⊥α，α⊥β，则m⊂β或m∥β，又n⊥β，所以m⊥n，故B正确．C中，m⊥α，n⊂β，m⊥n，则m与β可能垂直，当m⊥β时有α∥β，所以C错误．D中，由面面平行的判定定理，必须要m与n相交，才能得到α∥β，则D错误．
6．D 通过A，B，C三点的平面γ，即通过直线AB与点C的平面，因为M∈AB，∴M∈γ，而C∈γ，又M∈β，C∈β，∴γ和β的交线必通过点C和点M.
7．C 过点F作FH∥DC，过点A作AG⊥EF，连接GH，AH，则∠AFH为异面直线AF与BE所成的角．设正方形ABCD的边长为2，在△AGH中，AH＝
＝
，在△AFH中，AF＝1，FH＝2，AH＝
，∴cos∠AFH＝
.
8．D 当a∥α，a∥β时，有a∥b，a∥c，则b∥c；当a∩α＝A，a∩β＝B，且AB与l不垂直时，b与c异面；当a∩l＝O时，b与c相交于O.∴b和c的位置关系是相交、平行或异面．
9．C 取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥BC，AE⊥DE，由线面垂直的判定定理，知AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE即为所求的角．设三棱柱的棱长为1，易知AE＝
，DE＝
，则tan∠ADE＝
，故∠ADE＝60°.
10．A 由三视图可知，三棱锥S－ABC中侧棱SA垂直于底面ABC，底面ABC是一个直角三角形，且AC⊥BC，从而只有①是正确的．故选A.
11．C AE与B1C1显然是异面直线，又B1C1∥BC，AE⊥BC，所以AE⊥B1C1，故选C.
12．如图，在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为（ ）
A.
B.
C．45D．45
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为________．
14．有一正方体木块如图所示，点P在平面A′C′内，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，则有________种锯法．
15．在三棱锥S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝
，SA＝SC＝2，二面角S－AC－B的平面角的余弦值是－
，若S，A，B，C在同一球面上，则该球的表面积是________．
16．如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE（A′∉平面ABC）是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，有下列命题：
①平面A′FG⊥平面ABC；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′－DEF的体积的最大值为
a3；
④动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
⑤直线DF与直线A′E可能共面．
其中正确的命题是______（写出所有正确命题的编号）．
三、解答题（写出必要的计算步骤，解答过程，只写最后结果的不得分，共70分）
17．（10分）已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH∥FG，求证：
EH∥BD.
18．（12分）如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BE∥AF，BC∥AD，BC＝
AD，BE＝
AF，G，H分别为FA，FD的中点．
（1）证明：
四边形BCHG是平行四边形．
（2）C，D，F，E四点是否共面？
若共面，请证明；若不共面，请说明理由．
答案
12.A 取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，则SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，从而得HF綊
AC綊DE，所以四边形DEFH为平行四边形．又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，其面积S＝HF·HD＝
·
＝
.
13．平行
解析：
易知BD∥B1D1，∴BD∥平面AB1D1.同理BC1∥平面AB1D1.又∵BD∩BC1＝B，BD⊂平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，∴平面AB1D1∥平面BC1D.
14．1
解析：
由过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，可知只有1种锯法．
15．6π
解析：
取AC的中点D，连接SD，BD，∵AB＝BC＝
，∴BD⊥AC，∵SA＝SC＝2，∴SD⊥AC，∴∠SDB为二面角S－AC－B的平面角．在△ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝
，∴AC＝2，取等边△SAC的中心E，作EO⊥平面SAC，过D作DO⊥平面ABC，则O为外接球的球心，易知ED＝
，又二面角S－AC－B的平面角的余弦值是－
，∴cos∠EDO＝
，OD＝
，∴BO＝
＝
，∴所求表面积为6π.
16．①②③④
解析：
由已知可得四边形ADFE是菱形，则DE⊥GA′，DE⊥GF，所以DE⊥平面A′FG，所以平面A′FG⊥平面ABC，①正确；因为BC∥DE，所以BC∥平面A′DE，②正确；当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′－DEF的体积达到最大值，最大值为
a3，故③正确；由①知动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故④正确；△ADE在旋转过程中，直线DF与直线A′E始终异面，故⑤错误．
17．证明：
⇒EH∥BD.
18．解：
（1）由已知G，H分别为FA，FD的中点，
可得GH＝
AD，GH∥AD，BC＝
AD，BC∥AD，
∴GH＝BC，GH∥BC，
∴四边形BCHG为平行四边形．
（2）C，D，F，E共面．
方法1：
由BE＝
AF，BE∥AF，G为FA中点知，BE＝FG，BE∥FG.
∴四边形BEFG为平行四边形．
∴EF∥BG.
由
（1）知BG∥CH，
∴EF∥CH，
∴EF与CH共面．又D∈FH，
∴C，D，F，E四点共面．
方法2：
如图，延长FE，DC分别与AB交于点M，M′.
∵BE＝
AF，
∴B为MA中点．
∵BC＝
AD.
∴B为M′A中点．
∴M与M′重合，即FE与DC交于点M（M′）．
∴C，D，F，E四点共面．
19.（12分）如图，已知PA⊥α，圆O在平面α内，且AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任一点（非A，B），过A作AE⊥PC于点E.求证：
直线AE⊥平面PBC.
20．（12分）如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝
，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：
VB∥平面MOC；
（2）求证：
平面MOC⊥平面VAB；
（3）求三棱锥V－ABC的体积．
答案
19.证明：
因为PA⊥α，且BC⊂α，
所以PA⊥BC.
又因为点C在以AB为直径的圆上．
所以BC⊥AC.
又因为直线PA和AC是平面PAC内的两条相交直线，
所以BC⊥平面PAC.
又因为直线AE⊂平面PAC，
所以BC⊥AE.
又因为AE⊥PC，
而PC和BC为平面PBC内的两条相交直线，
所以AE⊥平面PBC.
20．解：
（1）证明：
如图，因为O，M分别为AB，VA的中点，
所以OM∥VB.
因为VB⊄平面MOC，
所以VB∥平面MOC.
（2）证明：
因为AC＝BC，O为AB的中点，
所以OC⊥AB.
因为平面VAB⊥平面ABC，
且OC⊂平面ABC，
所以OC⊥平面VAB.
所以平面MOC⊥平面VAB.
（3）在等腰直角三角形ACB中，
AC＝BC＝
，
所以AB＝2，OC＝1，
所以S△VAB＝
，
又因为OC⊥平面VAB，
所以VC－VAB＝
OC·S△VAB＝
.
因为三棱锥V－ABC的体积与三棱锥C－VAB的体积相等，
所以三棱锥V－ABC的体积为
.
21.（12分）如图，在三棱锥P－ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC.
（1）求证：
PC⊥AB；
（2）求二面角B－AP－C的正弦值．
22．（12分）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2
，AA1＝
，BB1＝2
，点E和F分别为BC和A1C的中点．
（1）求证：
EF∥平面A1B1BA；
（2）求证：
平面AEA1⊥平面BCB1；
（3）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．
答案
21.解：
（1）证明：
如图，取AB中点D，连接PD，CD.
因为AP＝BP，所以PD⊥AB.
因为AC＝BC，所以CD⊥AB.
因为PD∩CD＝D，
所以AB⊥面PCD.
因为PC⊂面PCD，
所以PC⊥AB.
（2）因为AC＝BC，AP＝BP，
所以△APC≌△BPC.
又PC⊥AC，
所以PC⊥BC.
又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，且AC∩PC＝C，
所以BC⊥面PAC，可知BC⊥PA.
如图，取AP的中点E，连接BE，CE.
因为AB＝BP，
所以BE⊥AP.
又BC⊥PA，BE∩BC＝B，
所以AP⊥平面BEC.
所以CE⊥AP.
所以∠BEC是二面角B－AP－C的平面角．
在△BCE中，∠BCE＝90°，BC＝2，BE＝
AB＝
，
所以sin∠BEC＝
＝
.
所以二面角B－AP－C的正弦值为
.
22．解：
（1）证明：
如图，连接A1B.在△A1BC中，
因为E和F分别是BC和A1C的中点，
所以EF∥BA1.
又EF⊄平面A1B1BA，
所以EF∥平面A1B1BA.
（2）证明：
因为AB＝AC，
E为BC的中点，
所以AE⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，
所以BB1⊥平面ABC，
从而BB1⊥AE.
又BC∩BB1＝B，
所以AE⊥平面BCB1，
又AE⊂平面AEA1，
所以平面AEA1⊥平面BCB1.
（3）取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.
因为N和E分别为B1C和BC的中点，
所以NE∥B1B，NE＝
B1B，
故NE∥A1A且NE＝A1A，
所以A1N∥AE，且A1N＝AE.
因为AE⊥平面BCB1，
所以A1N⊥平面BCB1，
从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角．
在△ABC中，可得AE＝2，
所以A1N＝AE＝2.
因为BM∥AA1，BM＝AA1，
所以A1M∥AB，A1M＝AB，
由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1.
在Rt△A1MB1中，
可得A1B1＝
＝4.
在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝
＝
，
因此∠A1B1N＝30°.
所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.
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