创新奥数五年级春季第三讲整数的分拆习题解答.docx
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创新奥数五年级春季第三讲整数的分拆习题解答
创新奥数五年级春季第三讲整数的分拆习题解答
练习题:
1.将210拆成7个自然数的和,使这7个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都是5。
第1个数与第6个数分别是几?
解答:
15,40。
这7个数中第4个数是中间数,它是这7个数的平均数,即210÷7=30。
因为相邻2数的差都是5,所以这7个数是15,20,25,30,35,40,45。
故第1个数是15,第6个数是40。
2.将135个人分成若干个小组,要求任意两个组的人数都不同,则至多可以分成多少组?
解答:
15组。
解:
因为要求任意两个组的人数不相等,且分得的组要尽可能地多,所以,要使每个组分得的人数尽可能地少。
由于1+2+3+4+…+14+15=120,所以将135人分成每组人数不等的15个组后还余15人。
剩下的15人不能再组成一个或几个新的小组,否则就会出现两个或两个以上的组的人数相等的情况。
因此,应将剩下的15人安插在已分好的15个组之中,所以至多可以分成15个组。
这15个组各组人数可以有多种情况,例如,分别是2,3,4,5,6,…,14,15,16人。
3.把19分成几个自然数(可以相同)的和,再求出这些数的乘积,并且要使得到的乘积尽可能大,最大乘积是多少?
解答:
972。
解:
要使乘积尽可能大,把19分成的几个自然数中,3要尽量多且不能有1,所以应把19分成5个3及1个4的和。
最大乘积为35×4=972。
4.把1999分拆成两个自然数的和,当不考虑加数的顺序时,一共有多少种不同的分拆方法?
求出这两个自然数的积,要使这个积最大,应将1999如何分拆?
解答:
有999种方法,分成999+1000时积最大。
5.把456表示成若干个连续自然数的和。
要求写出所有的表达式(如9可以有两种表达形式:
9=4+5=2+3+4)。
解答:
456有三个大于1的奇约数3,19,57。
可得如下三种分拆方法:
456=151+152+153
=15+16+17+…+33
=21+22+23+…+36
6.几个连续自然数相加,和能等于2000吗?
如果能,有几种不同的答案?
写出这些答案。
如果不能,说明理由。
解答:
能。
提示:
2000=24×53,有三个大于1的奇约数5,25,125。
对于5,有k=5,a=398;对于25,有k=25,a=68;对于125,有k=32,a=47。
所以2000共有如下三种分拆方法:
2000=398+399+400+401+402
=68+69+70+…+91+92
=47+48+49+…+77+78
7.把70分拆成11个不同自然数的和,这样的分拆方式一共有多少种?
将不同的表示方法列举出来。
解答:
5种。
解:
1+2+3+…+11=66,现在要将4分配到适当的加数上,使其和等于70,又要使这11个加数互不相等。
先将4分别加在后4个加数上,得到4种分拆方法:
70=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+15
=1+2+3+4+5+6+7+8+9+14+11
=1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11
=1+2+3+4+5+6+7+12+9+10+11。
再将4拆成1+3,把1和3放在适当的位置上,仅有1种新方法:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+13+12。
再将4拆成1+1+2或1+1+1+1+1或2+2,分别加在不同的位置上,都得不出新的分拆方法,故这样的分拆方法一共有5种。
8.有一把长为13厘米的直尺,在上面刻几条刻度线,使得这把尺子能一次量出1到13厘米的所有整厘米的长度。
问:
至少要刻几条线?
要刻在哪些位置上?
解答:
至少要刻4条线,例如刻在1,4,5,11厘米处,便可一次量出1到13厘米的所有整厘米的长度。
这是因为由1,4,5,11,13这5个数以及它们之间任意2个的差能够得到1到13这13个整数,见下列各式:
5-4=1,13-11=2,4-1=3,
11-5=6,11-4=7,13-5=8,
13-4=9,11-1=10,13-1=12。
下面我们来证明,只有3个刻度是不够的。
如果只刻了3条线,刻在a厘米、b厘米、c厘米处(0<a<b<c<13),那么a,b,C,13两两之差(大减小),只有至多6个不同的数:
13-a,13-b,13-c,c-a,c-b,b-a,再加上a,b,c,13这4个数,至多有10个不同的数,不可能得到1到13这13个不同的整数来。
顺便说明一下,刻法不是唯一的。
例如我们也可以刻在1厘米、2厘米、6厘米、10厘米这4个位置上。
创新奥数五年级春季第四讲约数与倍数习题解答
练习题:
1.教师节那天,某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨,用来慰问退休的教职工,问用这些果品,最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)?
在每份礼物中,苹果、桔子、鸭梨各多少个?
解答:
求最大公约数,最多可分成40份同样的礼物,每份礼物中,有8个苹果、6个桔子、5个鸭梨.
2.将一块长3.57米、宽1.05米、高0.84米的长方体木料,锯成同样大小的正方体小木块.问当正方体的边长是多少时,用料最省且小木块的体积总和最大?
(不计锯时的损耗,锯完后木料不许有剩余)
解答:
假设锯完后小木块的边长为a,那么把锯得的所有小木块堆起来,适当组合以后一定可以堆成原来长方体木料的形状.这就是说3.57、1.05、0.84都是小木块边长a的倍数,反过来说a就是3.57、1.05、0.84的公约数.另外还要求小木块体积最大,也就是要求小木块的边长a最大.
所以a是3.57、1.05、0.84三个数的最大公约数.因为3.57米=357厘米,1.05米=105厘米,0.84米=84厘米,又
所以a=(357,105,84)=3×7=21.当小木块边长为21厘米时,其体积最大.
3.四个连续奇数的最小公倍数是6435,求这四个数。
解答:
9,11,13,15。
6435=32×5×11×13=9×11×13×5,因为[9,11,13,5]=[9,11,13,15],
所以这四个连续奇数是9,11,13和15。
4.
解答:
黄鼠狼比狐狸先掉入陷阱.当黄鼠狼第一次掉进陷阱时,狐狸跳了
米。
5.
两数的最大公约数是12,已知
有8个约数,
有9个约数,求
和
。
解答:
24和36。
6.两个自然数的最大公约数是12,最小公倍数是72。
满足条件的自然数有哪几组?
解答:
12,72与24,36两组。
72÷12=6=1×6=2×3,所以有两组:
①12×1=12,12×6=72;②12×2=24,12×3=36。
7.大雪后的一天,亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。
亮亮每步长54厘米,爸爸每步长72厘米,由于两个人的脚印有重合,所以雪地上只留下60个脚印。
问:
这个花圃的周长是多少米?
解答:
解:
(54,72)=18,54÷18=3,72÷18=4,说明小亮走4步等于爸爸走3步,其中脚印重合一次,留下4+3-1=6(个)脚印。
所以花圃周长54×4×(60÷6)=2160(厘米)=21.6(米)。
8.两个数的最大公约数是18,最小公倍数是180,两个数的差是54,求这两个数的和。
解答:
这两个数可能为18和180、36和90。
9.爷爷对小明说:
“我现在的年龄是你的7倍,过几年是你的6倍,再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。
”你知道爷爷和小明现在的年龄吗?
解答:
爷爷70岁,小明10岁。
两人的年龄差分别是6、5、4、3、2、1的倍数,为60。
10.有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?
解答:
1111=11×101,11=1+2+3+5,所以最大公约数最大能是101。
11.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数。
解答:
奇数个约数的数一定是完全平方数。
361、400、441、484、529、576、625.
12.甲、乙两数的最小公倍数是90,乙、丙两数的最小公倍数是105,甲、丙两数的最小公倍数是126,那么甲数是多少?
解答:
甲、乙两数的公倍数即是甲的倍数,就必须包含甲的全部的质因数;乙也是。
最小公倍数是公倍数中最小的一个,因此必须包含甲、乙全部公有的质因数和各自独有的质因数,即:
最小公倍数一定是这两个数中的质因数,两个数以外的质因数一定不是它们最小公倍数的质因数。
因此:
分析最小公倍数中的质因数是解题关键。
∵[甲,乙]=90=2×32×5
[乙,丙]=105=3×5×7
[甲,丙]=126=2×32×7
∴甲独有质因数2(如果乙也有,那么乙和丙的最小公倍数的质因数中也必须含有2)。
同理,乙独有质因数5,丙独有质因数7。
且乙和丙至多含有一个质因数3,即甲须含有2个质因数3,∴甲=2×32=
四年级暑期奥数习题
第一课:
和倍、差倍问题
1、胜利小学开展冬季体育比赛,参加跳绳的人数是打球的人数的4倍,比打球的人多72人,参加跳绳和打球的人各是多少人?
2、生产队利用山地种了一批核桃树和红果树,核桃树的棵数是红果树的2倍多95棵,已知核桃树比红果树多1455棵,两种树各种了多少棵?
3、家具厂二季度比一季度多生产轴承1200件,三季度比二季度多生产2800件,三季度生产的是一季度的3倍,求各季度生产轴承多少件?
4、小红和小李两人的存款相同,小红取出60元,小李存入20元后,小李的存款是小红的3倍,两人的存款各是多少元?
5、生产队养的公鸡比母鸡多249只,养的公鸡是母鸡的4倍,求公鸡、母鸡各多少只?
6、学校购买的足球是排球的3倍,足球比排球多18只,购买足球和排球各多少只?
7、农业科技小组有两块小麦试验田,第二块比第一块少8亩,第一块的面积是第二块的3倍,问两块试验田各多少亩?
8、仓库有面粉和大米两种粮食,面粉比大米多4500千克,面粉的千克数比大米的3倍还多700千克,问面粉和大米各多少千克?
9、参加少年宫科技小组的人数,今年比去年多41人,今年的人数比去年的3倍少35人,问今年有多少人参加?
10、父亲比儿子大30岁,明年父亲的岁数是儿子的3倍,那么今年儿子是几岁?
11、两数的和是40,甲数比乙数大8,求甲数、乙数各是多少?
12、买一件衣服,共需360元,裤子比上衣便宜136元,那么买一件上衣和一条裤子各需多少元?
第二课:
和差问题
[解题技巧:
(和+差)÷2=大数(和-差)÷2=小数]
例1 甲乙两生产组有车床96台,如果甲组给乙组8台,则两组的台数相等,问两组原来各有多少台?
例2 甲乙两箱共有水果50千克,若从甲箱中取出6千克放到乙箱中,这时甲箱还比乙箱多2千克,求两箱原来各有多少箱?
例3 三辆车运木板9800块,第一辆比其余两辆共运的少1400块,第二辆比第三辆多运200块,三辆车各运多少块?
例4 一只三层书架上共放书108本,上层比中层多11本,下层比中层少5本,上、中、下三层各有书多少本?
1、甲乙两条公路共长4355千米,甲公路比乙公路长155千米,问两条公路各长多少千米?
2、甲乙两人的岁数和是33岁,甲比乙大3岁,问甲乙各多少岁?
3、黄山茶场共有红茶树、绿茶树1440棵,如果红茶树增加600棵,绿茶树减少600棵,则两种茶树的棵数相等,两种茶树各有多少棵?
4、红光小学一年级共有新生104人,分成甲乙两个班,如果从甲班中转2个学生到乙班去,两班学生就一样多,问甲乙两班原有各有学生多少人?
5、甲乙两筐共有梨97千克,从甲筐中取出14千克放到乙筐中,结果甲筐的梨比乙筐的梨还多3千克,求两筐原来各有梨多少筐?
6、两鸡笼共有鸡15只,若甲鸡笼再放入4只,乙鸡笼取出2只,这时乙鸡笼比甲鸡笼多1只,顺甲乙两鸡笼原来各有鸡多少只?
7、小明期终考试的语文和数学的平均分数是96分,数学比语文多8分,问语文和数学各多少分?
8、四年级有学生48人,暑期中5人学会了游泳,这样会游泳的学生比不会游泳的学生多16人,原来会游泳的有多少人?
9、把长128厘米的铁丝围成一个长方形,使长比宽多18厘米,长和宽各是多少厘米?
10、某工厂第一、二、三车间共有工人280人,第一车间比第二车间多10人,第二车间比第三车间多15人,三个车间各有工人多少人?
第三课:
还原问题
例1 小明爷爷今年的年龄减去7后,缩小9倍,再加上2之后,扩大10倍,恰好是100岁,请你算一算,小明爷爷今年几岁?
例2华联商厦出售电视机,上午售出总数的一半多10台,下午售出余下的一半多20台,还余下95台,店里原有电视机多少台?
例3解放军某部阻击敌人,因情况发生变化,需要一营抽一半人去支援教导营,抽调54人去支援二营,抽调余下的一半去支援三营,后来团部4名通讯员调进了一营,这时一营有38人。
求一营原有多少人?
例4甲、乙、丙三个组共有图书90本,如果乙组向甲组借3本后,又送给丙组5本,结果三个组所有图书本数刚好相等,问甲、乙、丙三个组原来各有图书多少本?
例5甲乙两桶油各有若干千克,如果从甲桶倒出和乙桶同样多的油放入乙桶,再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶,这时两桶油恰好都是24千克,问两桶油原来各有多少千克?
例6 学校运来36棵树苗,冬冬和丽丽两人争着去种,冬冬先拿了树苗若干棵,丽丽看到冬冬拿了太多,就抢了10棵,冬冬不肯,又从丽丽那里抢走了6棵,这时冬冬拿的棵数是丽丽的2倍,问最初冬冬拿了多少棵?
1、某数除以5,减去200,再乘以2,最后加上30,结果等于230,求某数。
2、奥林匹克俱乐部成立的时间加上12后,缩小100倍,再扩大4倍,最后再减去19,正好是61,数学奥林匹克俱乐部成立于哪一年?
3、科科问一位老师多大年纪,老师说,我的年纪加上9,用4除,减去15,再用10乘,恰好是20岁。
问这位老师今年几岁?
4、从第一堆西瓜里拿一半放到第二堆里,拿35个放到第三堆里,又拿出剩下的一半放到第四堆里,最后又从第一堆里拿出2个吃掉,这时第一堆里还有48个。
第一堆原有西瓜多少个?
5、16只麻雀停在两棵树上,不久2只麻雀飞离第二树,5只麻雀又从第一棵树飞到第二棵树上,这时两棵树上的麻雀正好相等,原来两棵树上各有几只麻雀?
6、孙子问爷爷今年多大年纪,爷爷说,我的年纪减去8后,用5乘,再加上11,除以4恰好是99岁。
问爷爷今年几岁?
第四课:
推理问题
例某工厂为表扬好人好事核实一件事,厂方找了甲、乙、丙三人,
甲说:
是乙做的;
乙说:
不是我做的;
丙说:
不是我做的。
这三人中只有一个人说了实话,问这件好事是谁做的?
例红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗,用纸包着在桌上排一排,A、B、C、D、E五个人猜各包里的珠子的颜色。
A猜:
第2包紫色,第3包黄色;
B猜:
第2包蓝色,第4包红色;
C猜:
第1包红色,第5包白色;
D猜:
第3包蓝色,第4包白色;
E猜:
第2包黄色,第5包紫色。
结果每人都猜对了一种,并且每包只有一个人猜对,他们各猜对了那种颜色的珠子?
例甲乙丙丁四人同时参加数学竞赛,完成后,他们说,
甲说:
丙是第一名,我是第三名;
乙说:
我是第一名,丁是第四名;
丙说:
丁是第二名,我是第三名;
丁没有说话。
成绩公布了,发现他们都只说对了一半,你能说说他们的名次吗?
例甲乙丙丁和小虎五位同学一起比赛象棋,每两人都要比赛一盘,到现在为止,甲已经比了4盘,乙比了3盘,丙比了2盘,丁比了1盘。
问小虎已经比了几盘?
1、小李、小红、小高三位同学中,有一人在其他二人都不在的时候,把教室打扫得干干净净的。
晨会上,教师问他们三人是谁做的好事?
小李说:
是小高做的; 小红说:
不是我做的; 小高说:
也不是我做的。
如果三个人中只有一人说的是真的,你能知道好事是谁做的吗?
2、已知甲、乙、丙三人中,只有一人会开汽车。
甲说:
我会开汽车; 乙说:
我不会开;
丙说:
甲不会开汽车。
如果三人中只有一人讲的是真话,那么,谁会开汽车?
3、李老师挂出一张没注明省份的中国地图,从中选了五个省,编了1——5号,要大家写出标有1——5号的省份名称。
交上来后,老师发现有五位同学每人只答出了2个省份的名称,并且每个人都只答对了一个省份,每个编号只有一个省份对的。
A:
2号是山东,3号是陕西; B:
2号是陕西,5号是山东;
C:
3号是江苏,4号是辽宁; D:
2号是江苏,4号是浙江;
E:
1号是浙江,5号是辽宁。
请你根据以上条件,说说1——5号是什么省份?
4、甲乙丙丁四位同学的运动衫上有不同的号。
A说:
甲是2号,乙是3号;
B说:
丙是2号,乙是4号;
C说:
丁是2号,丙是3号;
D说:
丁是1号,乙是3号。
又知ABCD四位每个人都只说对了一半,那么丙是几号?
5、甲乙丙丁四人进行游泳比赛。
比赛前名次众说不一。
有的说,甲是第二名,丁是第三名;
有的说:
甲是第一名,丁是第二名;
有的说,丙是第二名,丁是第四名。
实际上,上面三种说法各说对了一半,问甲乙丙丁各是第几名?
6、ABCD四个篮球队一起打比赛,每两队都要比赛一场,到现在为止,A已经比了3场,B已经比了2场,D已经比了1场,问C已经比了几场?
7、明明、冬冬、兰兰、静静、思思和毛毛六人参加一次会议,见面时每两个人都要握1次手,明明已握了5次手,冬冬已握了4次手,兰兰已握了3次手,静静已握了2次手,思思已握了1次手。
问毛毛已握了几次手?
8、甲乙丙丁比赛,每两人要比一场,结果甲胜了丁,并且甲乙丙三人胜的场数相同,问丁胜了几场?
第五课:
行程问题
例小华和李成家相距400米,两个人同时从家里出发在同一条路上行走。
小华每分钟走60米,李成每分钟走70米。
3分钟后两人相距多少米?
例大毛和二毛两人同时从相距1000米的两地相向而行。
大毛每分钟行120米,二毛每分钟行80米。
如果一只狗与大毛同时同向而行,每分钟行500米,遇到二毛后,立即回头向大毛跑去,遇到大毛后再向二毛跑去。
这样不断来回,一直到大毛和二毛相遇为止,狗共行了多少米?
例甲乙两人同时分别从两地骑车相向而行。
甲每小时行20千米,乙每小时行18千米。
两人相遇时距全程中点3千米。
求全程长多少千米?
例甲乙两个地方相距3500米,1号渡轮平均每分钟行180米,2号渡轮平均每分钟行170米,这两只渡轮同时分别从甲乙两地相向而行,到达后乘客上船需3分钟,它们第一次相遇后又经过多少分钟第二次相遇?
例面包车以每小时60千米的速度从甲城开出,30分钟后,小轿车以每小时84千米的速度从甲城开出沿着同一行驶路线追面包车,多少小时后追上?
例甲乙丙三人行走的速度分别为每分钟30米、40米、50米。
甲、乙两人在A地、丙在B地同时相向而行,丙遇上乙后10分钟和甲相遇,求A、B两地间的路和多少米?
1、一辆汽车和一辆摩托车同时从相距860千米的两地出发,汽车每小时行45千米,摩托车每小时行70千米。
6小时后两车相距多少千米?
2、甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发,相向而行,一个同学骑自行车以每小时14千米的速度在两队间不断的往返联系。
甲队每小时行5千米,乙队每小时行4千米。
两队相遇时,骑自行车的同学共行了多少千米?
3、两地之间的路程是760千米,有两列火车同时从两地相向开来,第一列火车每小时行72千米,第二列火车每小时行54千米。
一只鸽子以每小时80千米的速度和第二列火车一起出发向第一列火车飞去。
当鸽子与第一列火车相遇时,第二列火车距离目的地还有多少千米?
4、甲乙两车同时同地背向而行,甲每小时行50千米,乙车每小时行42千米,当甲车比乙车多行32千米时,甲乙两车相距多少千米?
5、甲乙两车同时从东西两地相向开出,甲车每小时行56千米,乙车每小时行48千米,两车在离中点32千米处相遇,问东西两地相遇多少千米?
6、快车和慢车同时从东西两地相对开出,已知快车每小时行40千米,经过3小时,快车已驶过中点25千米,这时与慢车相距7千米。
慢车每小时行多少千米?
第六课:
植树问题
例
(1)把12厘米长的铅丝剪成3厘米长的小段,可以剪几段?
(2)一根12厘米长的铅丝剪成3厘米长的小段,要剪几次?
(3)在一根12厘米长的铅丝上分成3厘米长的小段,如果每一小段的两个端点都用红色涂上,共涂几次?
例从校门口到街口一共有18根电线杆,相邻两根电线杆的距离都是30米,从校门口到街口长多少米?
例在一条长75米的大路两旁各种一行树,起点和终点都种,一共种了52棵,相邻两种树之间的距离相等,求相邻两棵之间的距离是多少?
例一个木工锯一根长13米的木条,他先把一头损坏的部分锯下1米,然后锯了5次,锯成了许多一样长的短木条,求每根短木条长多少米?
例四年级学生200人排成四路纵队,也就是四个人排成一排,排成许多排,已知两排之间相隔1米,这支队伍长多少米?
例两棵树相距115米,在中间以相等的距离增加22棵树后,求16棵与第1查之间的距离是多少?
例游泳池周长180米,沼池边每3米种树一棵,需要种多少棵?
1、校门口种一排花,一共9盒,再在每两盒花中间摆3棵盆景,一共摆了几棵盆景?
2、同学们做早操,25个学生排成一行,相邻两个人中间的距离是2米,从第一个到最后一个人的距离是多少米?
3、一条路长200米,在路的一旁从头到尾每隔5米植树一棵,共要植树多少棵?
4、在校门口放彩旗,从头到尾一共放了12面,每两面之间都相距3米,这条路长多少米?
5、有一个工人把12米长的圆钢锯成了3米长的小段,每锯断一次要5分钟,共需要多少分钟?
6、时钟4点钟敲4下,6秒钟敲完,那么8点钟敲8下,几秒钟敲完?
7、把6米长的木棒平均锯成3段要用6分钟,照这样计算,如果锯成6段要用多少分钟?
第七课:
综合练习1
1填数:
6、24、96、( )、、1536
2、5、10、13、26、29、( )、( )
计算:
1+3+5+7+……+19=( )×( )=( )
3+6+9+12+15+……+1995+19989999×2222+3333×3334
73×64+27×65
2.A、B、C是三个不同的自然数,那么A+B+C=A×B×C=( )
3.边长是7厘米的正方形纸片,最多能裁出( )个长是4厘米,宽是1厘米的纸条?
4.如果六位数1922 能被105整除,那么他的最后两位数是( )。
5.某煤厂运进660吨煤,先供一号煤炉使用,每天12吨;后供二号煤炉使用,每天用煤15吨。
前后经50天烧完这堆煤,则一号炉用煤( )吨,二号( )吨。
6.在周长为300米的圆形跑道一条直径的两端,甲和乙分别以每秒7米和5米的速度同时沿顺时针方向运动,则20分钟内,甲追上乙( )次。
7.某宴会结束时一共有28次握手,如果每个人都要跟其他人握一次手,宴会中有( )个人。
8.甲