新版人教版八年上数学第十二章《全等三角形》导学案.docx
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新版人教版八年上数学第十二章《全等三角形》导学案
课题：
《12.1全等三角形》导学案
【学习目标】1、了解全等形、全等三角形的概念，明确全等三角形对应边、对应角相等。
2、在列举生活中常见的的全等图形的过程中，学会判断对应边、对应角的方法。
3、积极投入，激情展示，做最佳自己。
教学重点：
全等三角形的性质及寻找全等三角形的对应边、对应角。
教学难点：
寻找全等三角形的对应边、对应角。
【学习过程】
一、自主学习
1、全等形。
回忆：
举出现实生活中能够完全重合的图形的例子?
同一张底片洗出的同大小照片是能够完全重合的（如图）；
能够完全重合的两个图形叫做.
（1）一个图形经过平移,翻转,旋转后,位置变化了,但和都没有改变,即平移,翻转,旋转前后的图形。
（2）如果两个图形全等，它们的形状大小一定都相同吗？
全等形的特征是和
2、全等三角形。
能够完全重合的两个三角形叫做（如下图）。
“全等”用符号“≌”来表示，读作“全等于”，如上图记作△ABC≌△A1B1C1
叫对应顶点，A←→A1,B←→B1,C←→C1
叫对应边，AB←→A1B1,AC←→,←→B1C1
叫对应角,∠A←→∠A1,∠B←→∠,∠C←→∠
注意：
书写全等式时要求把对应顶点字母放在的位置上。
3、全等三角形的性质。
全等三角形的相等，相等。
用符号表示为
∵△ABC≌△A1B1C1
∴AB=A1B1,BC=B1C1,AC=A1C1
（全等三角形的）
∴∠A=∠A1,∠B=∠B1,
∠C=∠C1（全等三角形的）
二、合作探究
1、在找全等三角形的对应元素时一般有什么规律？
有公共边的，公共边是对应边有公共角的，公共角是对应角有对顶角的，对顶角是对应角.
一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边；
一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角。
根据上面的提示，你能总结寻找对应边、角的规律吗？
2、如图:
△ABC≌△DBF,找出图中的对应边,对应角.
三、学以致用
1、如图△ABC≌△ADE,若∠D=∠B，∠C=∠AED，
则∠DAE=；∠DAB=。
2、如图,△ABC≌△AED,AB是△ABC的最大边，
AE是△AED的最大边,∠BAC与∠EAD对应角,且
∠BAC=25°，∠B=35°,AB=3cm,BC=1cm,求出∠E,
∠ADE的度数和线段DE,AE的长度。
∠BAD与
∠EAC相等吗？
为什么？
四、能力提升：
（学有余力的同学完成）
下图是一些等边三角形，你能把它们分别分成两个全等的三角形、三个全等的三角形、四
个全等的三角形吗？
五、当堂检测
1、全等用符号表示，读作：
。
2、若△BCE≌△CBF，则∠CBE=,∠BEC=,BE=,CE=.
3、判断题
1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（ ）
2）全等三角形的周长相等，面积也相等。
（ ）
3）面积相等的三角形是全等三角形。
（ ）
4）周长相等的三角形是全等三角形。
（ ）
4、如图△ABD≌△EBC，AB=3cm,BC=5cm,求DE的长
六、我的收获与反思
课题：
《12.2三角形全等的判定》
（1）导学案NO.02
【学习目标】1、三角形全等的“边边边”的条件，了解三角形的稳定性．
2、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
3、积极投入，激情展示，做最佳自己
教学重点：
三角形全等的条件．
教学难点：
寻求三角形全等的条件．
【学习过程】
一、自主学习
1、复习：
什么是全等三角形？
全等三角形有些什么性质？
如图，△ABC≌△A′B′C′那么
相等的边是：
相等的角是：
2、讨论三角形全等的条件（动手画一画并回答下列问题）
（1）．只给一个条件：
一组对应边相等（或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？
（2）．给出两个条件画三角形,有____种情形。
按下面给出的两个条件，画出的两个三角形一定全等吗？
①一组对应边相等和一组对应角相等
②两组对应边相等
③两组对应角相等
（3）、给出三个条件画三角形,有____种情形。
按下面给出三个条件，画出的两个三角形一定全等吗？
①三组对应角相等
②三组对应边相等
已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？
把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？
a．作图方法：
b．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现，这说明这些三角形都是的．
c．归纳：
三边对应相等的两个三角形，简写为“”或“”．
d、用数学语言表述：
在△ABC和
中,
∵
∴△ABC≌
用上面的规律可以判断两个三角形．判断，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．
3、你能解释三角形为什么具有稳定性吗?
二、合作探究
1、[例]如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．
求证：
△ABD≌△ACD．
温馨提示：
证明的书写步骤：
①准备条件：
证全等时要用的间接条件要先证好；
②三角形全等书写三步骤：
A、写出在哪两个三角形中，B、摆出三个条件用大括号括起来，C、写出全等结论。
2、尺规作图。
已知：
∠AOB.求作：
∠DEF,使∠DEF=∠AOB
三、学以致用
1、如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：
△ABC≌△ADE。
（*）2、已知：
如图，AD=BC,AC=BD.求证：
∠OCD=∠ODC
四、当堂检测
下列说法中，错误的有（）个
（1）周长相等的两个三角形全等。
（2）周长相等的两个等边三角形全等。
（3）有三个角对应相等的两个三角形全等。
（4）有三边对应相等的两个三角形全等
A、1B、2C、3D、4
五、小结提高
课题：
《12.2三角形全等的判定》
（2）导学案NO.03
【学习目标】
1、掌握三角形全等的“SＡS”条件，能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
3、积极投入，激情展示，做最佳自己。
教学重点：
三角形全等的条件．
教学难点：
寻求三角形全等的条件．
【学习过程】
一、自主学习
1、复习思考
（1）怎样的两个三角形是全等三角形？
全等三角形的性质是什么？
三角形全等的判定
（一）的内容是什么？
（2）上节课我们知道满足三个条件画两个三角形有4种情形，三个角对应相等；三条边对应相等；两角和一边对应相等；两边和一角对应相等；前两种情况已经研究了，今天我们来研究第三种两边和一角的情况，这种情况又要分两边和它们的夹角，两边及其一边的对角两种情况。
2、探究一：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形是否全等？
（1）动手试一试
已知：
△ABC
求作：
，使
，
，
（2）把△
剪下来放到△ABC上，观察△
与△ABC是否能够完全重合？
（3）归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定
（二）：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形（可以简写成“”或“”）
（4）用数学语言表述全等三角形判定
（二）
在△ABC和
中,
∵
∴△ABC≌
3、探究二：
两边及其一边的对角对应相等的两个三角形是否全等？
通过画图或实验可以得出：
二、合作探究
1、已知:
AD=CD，BD平分∠ADC
求证:
∠A=∠C
例2如图，AC=BD，∠1=∠2,求证:
BC=AD.
变式1:
如图，AC=BD,BC=AD，求证:
∠1=∠2.
变式2:
如图，AC=BD,BC=AD,求证:
∠C=∠D
变式3:
如图，AC=BD,BC=AD,求证:
∠A=∠B
三、学以致用
1、课本第10页第2题
2、如图，已知OA=OB,应填什么条件就得到△AOC≌△BOD
（允许添加一个条件）
四、能力提升：
（学有余力的同学完成）
如图，已知CA=CB,AD=BD,M、N分别是CA、CB的中点，求证：
DM=DN
五、当堂检测
如图，AD⊥BC，D为BC的中点，那么结论正确的有
A、△ABD≌△ACDB、∠B=∠CC、AD平分∠BACD、△ABC是等边三角形
六、课堂小结
1、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
简写成“”或“”
2、到目前为止,我们一共探索出判定三角形全等的2种方法，它们分别是:
和
作业：
第15页习题11.23-4第16页第10题
课题：
《12.2三角形全等的判定》（3）导学案NO.04
【学习目标】
1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
3、积极投入，激情展示，体验成功的快乐。
教学重点：
已知两角一边的三角形全等探究．
教学难点：
灵活运用三角形全等条件证明．
【学习过程】
一、自主学习
1、复习思考
（1）．到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？
各是什么？
（2）．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？
三角形中已知两角一边又分成哪两种呢？
2、探究一：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形是否全等？
（1）动手试一试。
已知：
△ABC
求作：
△
，使
=∠B,
=∠C，
=BC，（不写作法，保留作图痕迹）
（2）把△
剪下来放到△ABC上，观察△
与△ABC是否能够完全重合？
（3）归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定（三）：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形（可以简写成“”或“”）
（4）用数学语言表述全等三角形判定（三）
在△ABC和
中,
∵
∴△ABC≌
3、探究二。
两角和其中一角的对边对应相等的两三角形是否全等
（1）如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？
能利用前面学过的判定方法来证明你的结论吗？
（2）归纳；由上面的证明可以得出全等三角形判定（四）：
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形（可以简写成“”或“”）
（3）用数学语言表述全等三角形判定（四）
在△ABC和
中,
∵
∴△ABC≌
二、合作探究
1、例1、如下图，D在AB上，E在AC上，
AB=AC，∠B=∠C．
求证：
AD=AE．
2．已知：
点D在AB上，点E在AC上，∠BAO=∠CAO,BE⊥AC,CD⊥AB,相交于点O，AB=AC，求证：
BD=CE
三、学以致用
1、课本第13页第1题
2、如图，在△ABC中，∠C=2∠B,AD是△ABC的角平分线，∠1=∠B,求证AB=AC+AD
六、课堂小结
（1）今天我们又学习了两个判定三角形全等的方法是：
（2）三角形全等的判定方法共有
（3）会根据已知两角及一边画三角形
作业：
课题：
《12.2三角形全等的判定》（4）导学案NO.05
【学习目标】
1、理解直角三角形全等的判定方法“HL”，并能灵活选择方法判定三角形全等；
2．通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力；
3.极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。
教学重点：
运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学难点:
熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
【学习过程】
一、自主学习
1、复习思考
（1）、判定两个三角形全等的方法：
、、、
（2）、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是
（3）、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，
①若∠A=∠D，AB=DE，
则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）
根据（用简写法）
②若∠A=∠D，BC=EF，
则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）
根据（用简写法）
③若AB=DE，BC=EF，
则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）
④若AB=DE，BC=EF，AC=DF
则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）
2、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？
（1）动手试一试。
已知：
Rt△ABC
求作：
Rt△
，使
=90°，
=AB,
=BC
作法：
（2）把△
剪下来放到△ABC上，观察△
与△ABC是否能够完全重合？
（3）归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法
斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形（可以简写成“”或“”）
（4）用数学语言表述上面的判定方法
在Rt△ABC和Rt
中,
∵
∴Rt△ABC≌Rt△
（5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法“”、“”、“”、“”、还有直角三角形特殊的判定方法“”
二、合作探究
1、如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
2、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
三、学以致用
1、如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，
则△ADB与△ADC（填“全等”或“不全等”）
根据（用简写法）
2、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）
A、两条直角边对应相等B、斜边和一锐角对应相等
C、斜边和一条直角边对应相等D、两个锐角对应相等
3、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，
AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？
说说你的理由
答：
AB平行于CD
理由：
∵AF⊥BC，DE⊥BC（已知）
∴∠AFB=∠DEC=°（垂直的定义）
∵BE=CF，∴BF=CE
在Rt△和Rt△中
∵
∴≌
（）
∴=（）
∴（内错角相等，两直线平行）
四、能力提升：
（学有余力的同学完成）
如图1，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F点，若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点。
（1）求证：
MB=MD,ME=MF;
（2）当E、F两点移动至图2所示的位置时，其余条件不变，上述结论是否成立？
若成立，给予证明。
五、当堂检测
如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，
（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据
（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据
（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据
（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。
则△ACE≌△BDF，根据
（5）若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，根据
六、课堂小结
这节课你有什么收获呢？
与你的同伴进行交流
作业：
12、3角平分线的性质
（一）
一、自学目标：
1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．
2．会用尺规作一个已知角的平分线．（重点）
3.会用角的平分线的性质。
（难点）
二、知识回顾
（1）在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点．
求证：
∠MOC=∠NOC．
证明：
∵
∴
在__________和____________中，
______=_______,
______=_______,
∴___________________（）
∴_____________________
那么OC是_______的角平分线。
（2）点到直线的距离是什么？
三、自学导航：
（看课本完成以下内容）
探究：
上图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？
要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明________．
问题一：
如何作已知角的角平分线？
已知：
AOB，求作：
AOB的平分线。
作法：
（1）以___为圆心,________为半径画弧，交______于_____,交_____于____.
（2）分别以____，____为圆心，大于___________的长为半径画弧，两弧在_____的内部交于点C.
（3）画______,__________即为所求的平分线。
议一议：
1．在上面作法的第二步中，去掉“大于
MN的长”这个条件行吗？
2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
3．任意画一角∠AOB，作它的平分线
折纸实验：
请你将一张用纸片做的角∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
在连续再折出几个直角三角形，然后展开，观察折痕，你能得到什么结论？
角的平分线的性质__________________________________________．
证明角的平分线性质。
首先，要分清其中的“已知”和“求证”。
已知为_____________________,要证的结论是_________________________.
如图，已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC。
求证：
OE=OD。
一般情况，证明一个几何命题时，会有怎样的步骤？
四、当堂检测：
1．如图，MP⊥NP，MQ为△NMP的角平分线，MT＝MP，连结TQ，则下列结论中，不正确的是（）
（A）TQ＝PQ．（B）∠MQT＝∠MQP．（C）∠QTN＝90o．（D）∠NQT＝∠MQT
2．如图，在△ABC中，∠C＝90o，AM是∠CAB的平分线，CM＝20cm，那么M到AB的距离为．
3．△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F,求证EB＝FC
五、谈谈本堂课的收获和疑惑
作业：
第22页3
课题角平分线的性质
（二）
学习目标：
1、进一步熟练角平分线的画法，证明几何命题的步骤
2、进一步理解角平分线的性质及运用（重点，难点）
知识巩固
1、角平分线的性质是：
角平分线上的到角两边的相等。
2、画出三角形三个内角的平分线
归纳发现的规律：
合作探究
要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉
500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：
20000）？
1.角平分线上的到角两边的相等。
那么反过来，到
到角两边的距离相等的点是否在角平分线上呢？
你能利用三角形全等
来证明吗？
请试一试。
2.角平分线的逆定理；角的内部到角两边的距离的点在上
3.你现在知道集贸市场应该建在何处了吗？
学习新知
例、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：
点P到三边AB，BC，CA的距离相等。
证明：
过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．
∴．
同理PE=PF．
∴．
即点P到三边AB、BC、CA的距离．
当堂检测：
1．直角三角形中，两锐角的角平分线所成的锐角等于．
2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC
于F，M为AD上任意一点，则下列结论错误的是（）
（A）DE＝DF．（B）ME＝MF．
（C）AE＝AF．（D）BD＝DC．
3．如图，BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB．求证：
D在∠BAC的角平分线上
4、如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF，EF，求证DF＝EF
谈谈本堂课的收获和疑惑
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