二次函数与特殊三角形.docx

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二次函数与特殊三角形

中考培优课程

1二次函数与特殊三角形

知识目标

模块一

二次函数与45度综合

例1、例2

难度：

★★

模块二

等腰直角三角形分类讨论

例3、例4

难度:

★★★★

摸块三

二次函数与90度综合

例5、例6

难度：

★★★

摸块四

直角三角形分类讨论

例7、例8

难度：

★★★★

模块一二次函数与等腰直角三角形

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如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，可构造如图所示的三垂直全等模型“△ACD≌△BAE”，从而可以转化为水平线段长度与点坐标的基本计算.

若已知等腰直角三角形三个顶点坐标中的两个便可通过此方法求第三顶点坐标.

一般情况下，已知直角顶点坐标计算量会小很多.

在上述结论的基础上，加上二次函数的背景思路依然不变.

题型一从45度到等腰直角三角形

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二次函数中经常会出现45度的条件，其中有一种常见思路就是把45度放入直角三角形中就变成了等腰直角三角形，再利用三垂直的算法就可以达到解题的效果.

例1

如图，抛物线y=ax2+bx－4a经过A（－1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B.点D（3，4）在第一象限的抛物线上，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标.

练习

如图，抛物线y=x2－4x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC，将直线AC向右平移交抛物线于点P，交x轴于Q点，且∠CPQ=135°，求直线PQ的解析式.

例2

如图，抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于A、B两点，交y轴正半轴于点C，D为抛物线的顶点，在抛物线上有一动点P，使得∠PCB=∠CBD，求点P的坐标.

练习

如图，抛物线y=x2－4x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC，在抛物线上有一动点P，使得∠PCB=∠ACO，求点P的坐标.

题型二等腰直角三角形分类讨论

例3

如图，抛物线y=ax2－2ax－3a（a≠0）交x轴于A、B两点（A在y轴左侧），交y轴正半轴于点C，且OC=3OA.

（1）求此抛物线的解折式；

（2）设点P的坐标为（t，1），将线段AP绕点P逆时针旋转90°得线段PA1，若A1在抛物线上，求点P的坐标；

练习

若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：

y1=－2x2+4x+2与抛物线C2：

y=－x2+mx+n为“友好抛物线”.

（1）求抛物线C2的解析式.

（2）设抛物线C2的顶点为C.点B的坐标为（－1，4），问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

例4

（2o15年粮道街月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（－1，0）和点B（1，0），直线y=2x－1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D.

（1）求抛物线的解折式；

（2）求点A到直线CD的距离；

（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点坐标.

练习

己知抛物线y=mx2+2mx+n交x轴于A、B两点，交y轴于C（0，3），顶点为D.且AB=4.

（1）求抛物线的解析式：

（2）点P为对称轴右侧抛物线上一点，点S在x轴上，当△DPS为等腰直角三角形时，求点P的坐标.

模块二二次函数与直角三角形

题型一直角（垂直）与二次函数综合

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（1）勾股定理+两点间距离公式

直接设点的坐标，利用两直角边的平方和等于斜边的平方结合距离公式列方程计算∠ABC=90°

AB2+BC2=AC2，

（2）特殊的几何性质

1、斜边中线：

若∠ABC=90°，亦可取斜边AC中点D，利用BD=

AC列方程求解.

2、特殊的角度：

比如斜率为1的直线，会产生45度角度，进而产生角平分线或者等腰直角三角形

（3）旋转+等腰直角三角形+三垂直全等

如图，将线段AB绕点B顺时针旋转90度至BA′的位置，则此时△ABA′为等腰直角三角形，可利用三垂直全等求出点A'的坐标，再把直线BA′和抛物线联立即可解得点C的坐标.

（4）三垂直相似（九下的重点）

构造如图所示辅助线，则△ABD∽△BCE，则AD∙CE=DB∙BE

例5

抛物线y=－x2+2x的顶点为M，O为坐标原点，点P为第四象限的抛物线上一点，且∠POM=90°，求点P的坐标.

练习

如图，二次函数图象顶点坐标为P（2，－1），与x轴相交于点A和点B（3，0），点Q为第一象限的抛物线上一点，且AQ⊥AP，求点Q的坐标.

例6

如图，已知抛物线y=a（x－1）2+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛杓线的顶点，已知CD=

.

（1）求抛物线解折式；

（2）若点P为线段上一点（不与B，C重合），过P作PM平行于y轴，交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求N点的坐标；

（3）若将

（1）中的抛物线向上平移m（m＞0）个单位，与直线CD交于点G、H两点，设平移后的抛物线的顶点为E.是否存在实数m，使得GH⊥EH?

若存在，请求出m的值；若不存在.请说明理由.

题型二直角三角形与二次函数

例7

二次函数y=a（x2－2mx－3m2）（其中a，m为常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于A、B（点A位于点B左侧），与y轴交于点C（0，－3），点D在二次函数图象上，且CD∥AB，连AD，过A作射线交二次函数图象于点E，使AB平分∠DAE.

（1）当a=1时，求点D的坐标；

（2）证明：

无论a、m取何值，点E在同一直线上运动；

（3）设该二次函数图象顶点为F，试探究：

在x轴上是否存在点P，使以PF、AD、AE为

边构成的三角形是以AE为斜边的直角三角形？

如果存在，用含m的代数式表示点P的横坐标，如果不存在，请说明理由.

图1备用图

例8

如图，在平面坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上.

（1）求抛物线解析式；

（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？

若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.

第1讲本课后作业

A基础巩固

1、已知抛物线y=

x2与直线y=－

x+1交于A、B两点（A在B的左侧）.

（1）求A、B两点的坐标；

（2）在直线AB的上方的抛物线上有一点D，使得∠DAB=45°，求点D的坐标.

2、如图，抛物线y=x2－4x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.在抛物线上是否存在点P，使得∠PCA=90°？

若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

B综合训练

3、如图，抛物线y=（x－1）2+n与x轴交于A、B两点，A在B的左侧，与y轴交于C（0，－3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为对称轴右侧的抛物线上一动点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M正好落在对称轴上，求P点的坐标.

数学故事

古往今来，古今中外，很多人取得了各种成就。

取得成就即意味着成功。

什么样的人能取得成就？

取得成就需要什么条件？

【成就的三个层次】

一、取得成就需有明确的目标；

二、在通往成就的道路上克服磨难；

三、在这条路上自我成长，变得更强.

数学+华罗庚

初中毕业后，华罗庚曾入上海中华职业学校就读，因学费而中途退学，故一生只有初中毕业文凭。

此后，他开始顽强自学，他用5年时间学完了高中和大学低年级的全部数学课程。

1928年，他不幸染上伤寒病，靠妻子的照料得以挽回性命，却落下左腿残疾。

20岁时，他以一篇论文轰动数学界，被清华大学请去工作。

从1931年起，华罗庚在清华大学边工作边学习，用一年半时间学完了数学系全部课程。

他自学了英、法、德文，先后在国外杂志上发表了多篇论文。

1936年夏，华罗庚被保送到英国剑桥大学进修，两年中发表了十多篇论文，引起国际数学界赞赏。

1938年，华罗庚访英回国，在昆明郊外一间牛棚似的小阁楼里，他艰难地写出名著《堆垒素数论》。