压气机叶片排序模型.docx
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压气机叶片排序模型
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我们郑重承诺，严格遵守学校章程，以保证成绩的公正、公平性。
如有违反规定的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从1—8中选择一项填写）：
6、压气机叶片排序问题
所属班级（请填写完整的全名）：
数学与应用数学101班队员姓名及学号（具体分工）：
1.（论文写作）
2.（模型的建立）
3.（模型的软件求解）
日期：
2013年7月6日
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六、压气机叶片排序模型
摘要
本章对压气机叶片的排序问题建立了3个优化模型，并给出了相应算法，用计算机搜索的方法穷举了所有满足的叶片排序方案，并结合实际，探索了人工排序简便方法和部分叶片各数据的调整，之后，找出了调整值的范围。
模型I：
针对问题一，探索出计算机搜索的算法，只考虑按重量约束，每个扇形区域的叶片总重量与相邻区域的叶片总重量之差不超过一定值，我们以相邻扇形区域叶片总重量之差最小为目标函数建立规划模型，并用LINGO软件编程实现。
以第一组叶片数据为例，其中一种结果如下表所示：
第一组
扇形区间
一
二
三
四
五
六
序号
3,11,16,19
4,12,17,20
5,7,1,21
6,8,13,22
18,9,14,23
2,10,15,24
重量
39,,3,41,11
43,8,40,5
40,5,41,10
39,3,42,8
41,3,39,8
49,0,38,9
总和
91
92
96
96
96
94
模型II：
在模型一的基础上再考虑每个叶片间的频率约束，建立多目标规划模型，后将问题转化为单目标规划问题，并用LINGO软件求出结果。
以第二组叶片数据为例，结果如下表所示：
象限
一
二
三
四
五
六
原序号
18,14,20,2
3,10,16,22
4,11,17,23
15,12,18,24
6,7,13,19
6,7,13,19
重量
38,5,31,9
36,1,28,0
31,9,34,4
23,6,33,3
32,8,26,11
35,3,36,6
频率
15,2,15,2
15,0,16,5
16,0,16,1
15,2,17,3
15,2,17,3
13,1,14,5
模型III：
针对问题三，四建立了方差分析模型，首先，用3σ准则对可能出现的奇异值分步进行剔除，未发现奇异值；其次，根据给出的数据，分析分布特征，各分成四象限，用方差分析对数据进行调整，并求出调整范围，同时输出结果，得到：
第一组叶片重量值调整3个，频率值调整2个；第二组重量值调整5个，频率值不调整。
关键词：
叶片排序单目标规划多目标规划LINGO软件3σ准则
6.1问题重述
6.1.1问题的由来：
在现代工业时代中，我们经常可以看到压气机，压气机是什么？
——是发动机在压缩机中利用高速旋转的叶片给空气做功加以提高空气压气力的部件。
因此叶片是发动机及压缩机上的重要部件，由于加工出来的压气机叶片的重量和频率不同，安装时需要按工艺的要求重新排序，从而使得这些叶片和转轴配合组装，正常运行。
6.1.2问题的要求：
1）压气机24片叶片均匀的分布在一圆盘边上，分成六个现象，每个现象叶片的总质量与相邻的现象的4片叶片的总质量之差不允许超过一定值。
2）叶片排序不仅要保证质量差，还要满足频率要求，两相邻叶片频率差尽量大，使相邻叶片频率差不小于一定值。
3）当叶片不满足上述要求时，允许更换少了叶片。
6.1.3、需要解决的问题
1）按重量排序算法；
2）按重量和频率排序算法；
3）当叶片不满足时指出所更换的叶片及新叶片的重量和频率范围；
4）当叶片保证重量差和频率差时，按排列顺序输出。
6.2模型假设
6.2.1、模型1假设：
1）24片叶片均匀的分布在任意的圆盘上。
2）只考虑每象限4叶片的总质量与相邻象限4叶片的总质量之差不超过一定的值，不再考虑每个象限内的叶片排序。
3）每个叶片都是完好无损的。
3）不考虑叶片频率等其他条件的约束，如叶片外观质量的对发动机性能的影响等等。
6.2.2、模型2假设：
1）24片叶片均匀分布在一圆盘上
2）叶片排序不仅要考虑保证质量差，还要保证两相邻的叶片间的频率差尽量的大而且不小于一定的值。
3）只要满足重量差不大于某个定值，频率差不小于某个定值就可以了，不考虑其他条件。
6.2.3、符号约定
:
第i个叶片的重量。
：
第i个叶片的频率
排序后第i个叶片的频率。
m:
相邻象限4片叶片的总重量之差不允许超过一定值。
n:
相邻叶片的频率差不小于一定值。
；第i象限内的第j个叶片的重量（i=1,2,…6;j=1,2,3,4）
：
第i个象限内叶片的总重量。
：
数据的平均值。
：
数据方差S：
数据标准差。
6.3问题分析
仔细分析题目的要求和问题，首先我们想到了利用计算机编程的思想把所有满足重量的要求情形穷列举出来，然后从中选取符合要求的数据。
但是由于叶片的排序情况绝对不止是一种或者几种，所以穷举法比较浪费时间也比较复杂，因此我们在穷举法的基础上转换思维，采取一种比较简单的算法——逐步推进的办法来建立模型：
对于问题
（1）:
在只考虑安重量的约束情况下，放在每个扇形区域的4个叶片总重量与相邻区域的4个叶片总重量之差不允许超过一定值，所以我们以相邻扇形区域叶片的总质量之差最小为目标函数建立规划模型，约束条件为总质量之差不超过一定值，每个叶片只能放一次.
对于为问题
（2）：
各相邻的象限之间总质量不超过某一定值，每个相邻叶片的频率差不能小于一值。
所以我们在问题一定基础上增加一个频率约束条件建立多目标规划模型，考虑总重量之差越小越好，而且每个相邻叶片的频率差越大越好，这两个条件同等重要。
对于问题（3）：
叶片按照重量及频率要求无法得到最优排序时，允许更换最少的叶片使得叶片排序时满足频率及重量要求，得到最优解。
在此，重量差不符合要求的相邻两个象限为重量调整区，频率差不符合相邻两叶片为频率调整区。
为了使叶片更换数量尽可能少，需要考虑重量区的调整与频率区的位置关系，当重量区与频率区相互重叠时更换的叶片数目最少。
6.4模型的建立于求解
6.4.1、模型I的建立：
根据模型I的假设和“问题分析”，为了计算方便，对数据进行初步处理，分别把每组数减去该组最小值，得到新的数值不影响排序结果，据此，得到新的数据若表6.4.1所示。
表6.4.1经初步处理的叶片数据重量单位：
g，频率单位HZ
第一组
序号
重量-655
频率-188
序号
重量-679
频率-191
1
41
15
13
42
21
2
49
16
14
39
22
3
39
22
15
38
27
4
43
23
16
41
15
5
40
24
17
40
16
6
39
20
18
41
22
7
5
0
19
11
23
8
3
8
20
5
24
9
3
13
21
10
20
10
0
9
22
8
0
11
3
8
23
8
8
12
8
10
24
9
13
第二组
序号
重量-679
频率-191
序号
重量-679
频率-191
1
38
15
13
36
14
2
36
15
14
31
16
3
31
15
15
28
16
4
23
16
16
34
16
5
32
15
17
33
16
6
35
13
18
26
17
7
3
1
19
6
5
8
5
2
20
9
2
9
1
0
21
0
5
10
9
3
22
4
1
11
6
0
23
3
1
12
8
2
24
11
3
如图6.4.1所示，相邻象限之间叶片总重量只差不允许超过一定值，本模型着眼于给出的第一组数据进行计算，力求在算法上有所突破，使操作简便易行，其他数据的处理也迎刃而解，据此建立如下模型：
即
（1）相邻扇形的叶片总重量不超过8；
（2）每个叶片只放在一个扇形区域上。
6.4.2模型I的求解：
1）计算机搜索算法的编制和实现
采用计算机搜索算法，我们基于两点考虑：
一方面，仔细分析所给的数据可知，满足约束条件的叶片排序不止一种，应该尽量地穷举出所有可能；另一方面，采用计算机搜索算法可以提高模型的推广价值。
所以，我们给出计算机搜索的算法，如图6.4.1所示：
Y
N
图6.4.1模型I的流程图
2）模型结果
根据计算机搜索结果，列举一种第一组叶片的排序方案如表6.4.2所示，第二组排序方案如表6.4.3所示：
表6.4.2列举一种第一组叶片的排序方案
一
二
三
四
五
六
第
一
组
序号
重量
序号
重量
序号
重量
序号
重量
序号
重量
序号
重量
3
39
4
43
5
40
6
39
18
41
2
49
11
3
12
8
7
5
8
3
9
3
10
0
16
41
17
40
1
41
13
42
14
39
15
38
19
11
20
5
21
10
22
8
23
8
24
9
求和
91
求和
92
求和
96
求和
96
求和
96
求和
94
说明
每象限内叶片的和与相邻象限内叶片的和的差的绝对值的最大值为5，满足条件。
表6.4.3列举一种第二组叶片的排序方案
一
二
三
四
五
六
第
二
组
序号
重量
序号
重量
序号
重量
序号
重量
序号
重量
序号
重量
1
38
2
36
13
36
3
31
4
23
5
32
7
3
17
33
18
26
10
9
12
8
6
35
8
5
22
4
19
6
16
34
14
31
9
1
15
28
23
3
20
9
21
0
24
11
11
6
求和
91
求和
92
求和
96
求和
96
求和
96
求和
94
说明
每象限内叶片的和与相邻象限内叶片的和的差的绝对值的最大值为5，满足条件。
代入第一组数据，用LINGO软件求解得出
等于1值如下：
（LINGO程序见附录F.1）
图6.4.2叶片象限限排序情况图6.4.3
6.4.3模型II是我建立：
根据模型II的假设，叶片的排序不但要满足各相邻象限内叶片重量的差不大于某一特定值，还要满足两相邻叶片的频率差不小于某特定值说明24片叶片的排序位置都应该列出来如图6.4.4图。
基于以上考虑，应该对模型I进行修正，即在原有模型的基础上，加入频率约束，如下：
6.4.4计算机随机搜索算法的编制和实现
我们采用计算机搜索算法，基于三点考虑：
首先，仔细分析所给的数据可知，满足
（1）
（2）（3）式的计算机叶片排序不止一种，应该尽量地穷举出所有可能；其次，采用计算机搜索算法可以提高模型的推广价值；再次，要同时考虑两种约束，这两种约束从从某方面上来说存在一定的矛盾，这种排序非人为可以很好解决的。
所以，我们给出计算机搜索的算法，其流程如图6.4.5
YN
Y
N
流程图6.4.4
6.4.5模型结果：
本模型以8为重量约束上限，6频率约束下限，其他约束上限同理，这样通过计算机搜素，得到264种排序方案，先仅列举出一列供参考（用第二组数据）如表6.4.4
象限
现序号
原序号
重量
频率
象限
现序号
原序号
重量
频率
一
1
1
38
15
四
13
4
23
16
2
8
5
2
14
11
6
0
3
14
31
15
15
17
33
16
4
20
9
2
16
23
3
1
二
5
2
36
15
五
17
5
32
15
6
9
1
0
18
12
8
2
7
15
28
16
19
18
26
17
8
21
0
5
20
24
11
3
三
9
3
31
15
六
21
6
35
13
10
10
9
3
22
7
3
1
11
16
34
16
23
13
36
14
12
22
4
1
24
19
6
5
（LINGO程序见附录F.2）
6.4.6模型III
1、模型准备
3σ准则简介。
因为观测数据
独立重复地来自正态总体（μ，
），
任意一个值
落在区间（
）之外的概率均为
这里
为标准正态分布函数。
设这几个观测值中至少有一个值落在区间
之外的事件我们记为A，且是一个小概率事件。
由实际推断原理可知，事件A不可能发生。
因此，如果确有某个观测值落在了
之外，则我们有充足的理由认为它是奇异值。
在运用3σ准则对数据进行处理时，由于σ未知，通常3s区间
来代替3σ区间
，其中
当某个观测值落在3s区间之外，即将它作为奇异值加以剔除。
把24个数据（如第一组的叶片重量）分成四组，在某一组中。
当最大值与最小值都满足各约束的数时，分布在最大数和最小数范围之间的数也是满足要求的。
2、模型的建立
在对上述问题分析中，我们发现模型一和模型二存在一定的缺陷，即有：
若是给出的一组数据不满足重量和频率的要求时，模型一和模型二都无法指出更换y叶片的序号和新叶片的重量与频率的范围。
因此建立第三个模型，进一步利用方差分析，（因为方差可以反映某一数值偏离均值的程度，因此，我们可以利用它来求解更换叶片的序号和新叶片的重量与频率值范围）求解这个问题。
根据压气机实际产生的条件限制：
要求每象限4个叶片的总重量与相邻4叶片的总质量之差不超过某一定值，每相邻叶片之差不小于某一定值，因此容易得到更换叶片应该遵循以下原则:
（1）对于重量调整而言，每组重量参数的分布越密集越有利；
（2）对于频率调整而言，每个区域任一点的频率之差都不小于某一定值。
下面我们逐层进行分析：
1）剔除原始数据经初步处理数据的奇异值。
因为生产叶片的误差属于随机误差所以，该数据符合正态分布，经3σ准则，得到个数据如下表6.4.5所示。
第一组
第二组
重量
频率
重量
频率
平均值
23.57
14
18.67
8.67
标准差
18.10
7.92
14.07
6.86
允许范围
-30.75~77.83
-9.75~37.75
-23.56~60.80
-11.25~29.25
表6.4.5
从上结论可知，原数据按照整体剔除奇异值的方法，无奇异值。
又因为把数据整体来剔除奇异值，不存在标准差的比较问题，这样就不需要更换叶片。
2）剔除分层后数据的奇异值。
已知，在某一值附近浮动的点的集合服从正态分布，所以我们把数据分成两部分进行3σ准则处理。
对两组频率利用散点图进行分析：
如下图6.4.5为第一组频率的散点图，图6.4.6为第二组频率的散点图：
图6.4.5图6.4.6
由上面散点图分布可知，第一组叶片的频率值的分布比较均匀，可以用整体处理法来处理，同时，该数据难以分成两部分，所以，在此只能考察第一组叶片的重量和第二组数据，用3σ准则处理得到如下表6.4.6所示：
第一组
第二组
重量
重量
频率
上
部
分
均值
41
31.91
15.25
标准差
2.89
4.44
1.05
范围
32.32~49.67
18.59~45.23
12..08~18.41
下
部
分
均值
6.08
5.41
2.08
标准差
3.39
3.39
1.67
范围
-4.10~16.27
-4.77~15.60
-295~7.11
经过上面的分组剔除奇异值，发现原始数据均不含奇异值，并且各组内上下两部分的重量及频率的标准差相差均不大，所以数据不需要调整。
3）分组后数据的调整。
为了提高模型的实用价值，我们不但要给出所更换叶片及新叶片的具体数值，而且要给出数据的允许波动范围，当数据在此范围内波动时，对结果不会产生影响。
这样才更符合实际的生产，也更具有实际操作性。
a、重量的调整。
对第一组数量:
数据的算术平均值和方差如下表6.4.7所示：
组别
第一组
第二组
第三组
第四组
均值
41.8
3.7
40.2
8.5
方差
12.14
5.89
1.81
3.58
表6.4.7
由上表6.4.7可知：
第一组数据的方差最大，因此，我们把均值看做一组数据的中心。
将第一组中偏离均值较大的数据向均值调整。
将第一组的数据分别和均值进行比较，发现{2,49}偏离均值较大，根据向心法，我们将{2,49}调整为{2,42}，调整后的均值和方差如下表4所示：
组别
第一组
第二组
第三组
第四组
均值
40.6
3.7
40.2
8.5
方差
2.22
5.89
1.81
3.58
表4
由上表4可知第二组数据方差仍然较大，将第二组中的数据和均值进行比较发现{10,0}
和{12,8}偏离均值比较大，又根据向心法我们将其调整为{10,3}和{12,4}，调整后的均值和方差如下表6.4.8所示：
组别
第一组
第二组
第三组
第四组
均值
40.6
3..5
40.2
8.5
方差
2.22
0.58
1.81
3.58
表6.4.8
到此完成了对重量的调整。
即根据向心法把叶片2、10、12的重量调整为42、3、4。
此时四个象限的叶片重量之比为1:
1:
1:
1，在其中任意抽取的叶片，重量完全符合安装要求。
b、频率的调整。
观察上述的图1，我们发现，点（1,15）和点（9,13）、（12,10）、（21,10）；点（2,16）和点
（9，13）之间的垂直距离及频率差不大于6，需要做如下调整：
将{1,15}、{2,16}分别调整为{1，20}、{2,20}。
调整后频率方面完全符合安装要求。
综上所述，我们将叶片2、10、12的重量分别调整为42、3、4；将叶片1、2的频率分别调整为20、20。
共调整了四个叶片，序号分别是：
1、2、10、12。
此时按照1:
1:
1:
1的比例任意抽取的叶片，完全符合安装要求。
对于第二组数据：
通过其重量散点图6.4.7与频率的散点图6.4.8进行分析。
图6.4.7图6.4.8
从上图6.4.7和图6.4.8可知：
频率的散点图分布相对比较集中，且上部分中的任意一点与下部分的任一点频率之差都超过6，说明频率对第二组数据不产生约束作用。
因此，无需对频率的进行调整。
下面，我们对第二组的重量进行调整。
首先我们把个各象限的算术平均值和方差，如下表6.4.9所示：
组别
第一组
第二组
第三组
第四组
方差
23.58
7.55
11.89
13.58
均值
32.5
5.33
31.33
5.50
表6.4.9
从上表可知，第一组的方差最大，先调整第一组。
我们把{4，,23}分别更换为{4,27}，调整后的算术平均值和方差如表6.4.10所示:
组别
第一组
第二组
第三组
第四组
方差
2.88
7.55
11.89
13.58
均值
33.33
5.33
31.33
5.50
表6.4.10
从上表又可知第四组方差最大，再将{21,0}、{24,6}分别更换为{21,6}、{14，6}，调整后的算术平均值和方差如下表6.4.11所示：
组别
第一组
第二组
第三组
第四组
方差
2.89
7.55
11.89
3.56
均值
33.33
5.33
31.33
5.67
表6.4.1
由上表又知，第三组数据方差最大，再将{13,36}、{18,26}更换为{13,31}、{18,31}，调整后的算术平均值和方差如下表6.4.12所示：
组别
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
方差
2.89
7.55
3.55
3.56
均值
33.33
5.33
31.33
5.67
表6.4.12
上面表中，第二组方差最大，再将{9,1}、{10,9}更换为{9,5}、{10,5}，再进行调整，
从而得调整后的算术平均值和方差如下表6.4.13所示：
组别
第一组
第二组
第三组
第四组
方差
2.88
2.22
3.56
3.56
均值
33.33
5.33
31.33
5.67
表6.4.13
由表知，第三组和第组的方差较大，再将{15,28}、{20,9}更换为{15,31}、{20,5}，调整后的算术平均值和方差如下表6.4.14所示：
组别
第一组
第二组
第三组
第四组
方差
2.89
2.22
1.47
1.33
均值
33.33
5.33
31.83
5
表6.4.14
第一组和第二组的方差比较大，再将{2,33}、{12,8}更换为{2,33}、{12,5}，经过此次调整可知，已经满足条件。
c、调整范围：
对于第一组叶片：
由上面可知，调整后的叶片完全符合生
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