学年安徽省阜阳三中高二下第一次调研数学试题文科.docx

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学年安徽省阜阳三中高二下第一次调研数学试题文科

2014-2015学年安徽省阜阳三中高二（下）第一次调研数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1．已知复数z=2+3i，则其共轭复数是（　　）

　A．﹣2+3iB．2﹣3iC．﹣2﹣3iD．﹣3i

2．设有一个回归方程为

=2﹣2.5x，则变量x增加一个单位时（　　）

　A．y平均增加2.5个单位B．y平均增加2个单位

　C．y平均减少2.5个单位D．y平均减少2个单位

3．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（　　）

　A．充分非必要条件B．必要非充分条件

　C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件

4．用反证法证明命题：

“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（　　）

　A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除

　C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除

5．有一段演绎推理是这样的：

“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，是因为（　　）

　A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误

6．已知直线l1：

（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：

2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是（　　）

　A．1或3B．1或5C．3或5D．1或2

7．函数y=f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（　　）

　A．

B．1C．2D．0

8．已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：

①若a⊥b，a⊥c则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c则a⊥c．其中正确的个数为（　　）

　A．0个B．1个C．2个D．3个

9．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为

，则该椭圆方程为（　　）

　A．

=1B．

　C．

=1D．

10．观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，由归纳推理可得：

若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（　　）

　A．﹣g（x）B．f（x）C．﹣f（x）D．g（x）

11．若点（x，y）位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域，则2x﹣y的最小值为（　　）

　A．﹣6B．﹣2C．0D．2

12．定义在R上的函数f（x）满足f

（1）=l，且对一切x∈R都有f′（x）＜4，则不等式f（x）＞4x﹣3的解集为（　　）

　A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．

13．复数z=2i2﹣3i的实部是　　　　　　．

14．已知E为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1中点，则BD1与平面ACE位置关系是　　　　　　．

15．给出下列四种说法：

①﹣2i是虚数，但不是纯虚数；

②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；

③已知x，y∈R，则x+yi=1+i的充要条件为x=y=1；

④如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．

其中正确说法的为　　　　　　．

16．若存在实数x，使x2﹣4bx+3b＜0成立，则b的取值范围是　　　　　　．

三．解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．

1）设复数z=（m﹣1）+（m+2）i和复平面内点Z对应，若点Z在直线2x﹣y=0上，求实数m的值．

（2）已知z=2+i，计算

．

18．调研考试某数学老师对其所教的两个班获优秀成绩的同学进行了成绩统计，统计数据如右表：

根据表中数据，请你判断优秀成绩是否与学生的性别有关．

男生优秀女生优秀合计

甲班16人20人36人

乙班10人14人24人

合计26人34人60人

参考公式及数据：

Χ2=

Χ2≤2.706可认为变量无关联，Χ2＞2.706有90%的把握判定变量有关联．

19．一台使用的时间较长的机器，按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：

转速x（转/秒）1614128

每小时生产有缺点的零件数y件）11985

（1）如果y对x线性相关，且回归直线方程y=0.7286x﹣a，依据表中数据求a的值；

（2）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？

（精确到0.0001）

参考公式：

．

20．已知f（x）=

﹣2x，x∈R．

（1）若m=﹣

，求f（x）的极值．

（2）若f（x）对于任意的x1，x2∈恒有（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＜0，求实数m的取值范围．

21．已知圆C：

x2+y2=r2具有如下性质：

若M，N是圆C上关于原点对称的两个点，点P是圆C上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在时，记为kPM，kPN，则kPM与kPN之积是一个与点P的位置无关的定值．利用类比思想，试对椭圆

写出具有类似特征的性质，并加以证明．

22．如图1，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=

，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图2）

（1）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f（x），求f（x）的最大值．

（2）当f（x）取最大值时，是否有BD⊥EG，并说明理由．

2014-2015学年安徽省阜阳三中高二（下）第一次调研数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1．已知复数z=2+3i，则其共轭复数是（　　）

　A．﹣2+3iB．2﹣3iC．﹣2﹣3iD．﹣3i

考点：

复数的基本概念．

专题：

数系的扩充和复数．

分析：

利用共轭复数的定义即得结论．

解答：

解：

∵z=2+3i，

∴

=2﹣3i，

故选：

B．

点评：

本题考查共轭复数，注意解题方法的积累，属于基础题．

2．设有一个回归方程为

=2﹣2.5x，则变量x增加一个单位时（　　）

　A．y平均增加2.5个单位B．y平均增加2个单位

　C．y平均减少2.5个单位D．y平均减少2个单位

考点：

线性回归方程．

专题：

概率与统计．

分析：

回归方程y=2﹣2.5x，变量x增加一个单位时，变量y平均变化﹣（2﹣2.5x），及变量y平均减少2.5个单位，得到结果．

解答：

解：

回归方程y=2﹣2.5x，变量x增加一个单位时，

变量y平均变化﹣（2﹣2.5x）=﹣2.5，

∴变量y平均减少2.5个单位，

故选C．

点评：

本题考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程自变量变化一个单位，对应的预报值是一个平均变化，这是容易出错的知识点．属于基础题．

3．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（　　）

　A．充分非必要条件B．必要非充分条件

　C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件

考点：

空间中直线与直线之间的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题：

压轴题．

分析：

准确把握异面直线的定义“不同在任一平面内的两条直线”，就可做出正确选择．

解答：

解：

若空间中有两条直线，

则“这两条直线为异面直线”⇒“这两条直线没有公共点”；

反之“这两条直线没有公共点”不能推出“这两条直线为异面直线”，

因为“这两条直线可能平行，可能为异面直线”；

所以“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，

故选A．

点评：

本题考查异面直线的定义．

4．用反证法证明命题：

“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（　　）

　A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除

　C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除

考点：

反证法．

专题：

证明题；反证法；推理和证明．

分析：

反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．

解答：

解：

由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．

命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．

故选：

B．

点评：

反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．

5．有一段演绎推理是这样的：

　A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误

考点：

演绎推理的基本方法．

专题：

推理和证明．

分析：

本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及空间中线面关系，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是逻辑错误，我们分析：

“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的推理过程，不难得到结论．

解答：

解：

直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直．

故大前提错误．

故答案为：

点评：

有一段演绎推理是这样的：

“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊊平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，是因为

6．已知直线l1：

（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：

2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是（　　）

　A．1或3B．1或5C．3或5D．1或2

考点：

直线的一般式方程与直线的平行关系．

专题：

分类讨论．

分析：

当k﹣3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k﹣3≠0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k的值．

解答：

解：

由两直线平行得，当k﹣3=0时，两直线的方程分别为y=﹣1和y=

，显然两直线平行．

当k﹣3≠0时，由

≠

，可得k=5．综上，k的值是3或5，

故选C．

点评：

本题考查由直线的一般方程求两直线平行时的性质，体现了分类讨论的数学思想．

7．函数y=f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（　　）

　A．

B．1C．2D．0

考点：

利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题：

计算题；导数的综合应用．

分析：

利用切线方程，计算f（5）、f′（5）的值，即可求得结论．

解答：

解：

将x=5代入切线方程y=﹣x+8，可得y=3，即f（5）=3

∵f′（5）=﹣1

∴f（5）+f′（5）=3﹣1=2

故选C．

点评：

本题考查切线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．

8．已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：

①若a⊥b，a⊥c则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c则a⊥c．其中正确的个数为（　　）

　A．0个B．1个C．2个D．3个

考点：

平面的基本性质及推论．

专题：

计算题．

分析：

两条直线都与第三条直线垂直，只两条直线之间的位置关系不能确定，若a∥b，b⊥c则a⊥c，这里符合两条直线的关系，是我们求两条直线的夹角的方法．

解答：

解：

两条直线都与第三条直线垂直，只两条直线之间的位置关系不能确定，故①②不正确，

若a∥b，b⊥c则a⊥c，这里符合两条直线的关系，是我们求两条直线的夹角的方法，故③正确，

综上可知有一个正确的说法，

故选B．

点评：

本题考查平面的基本性质及推论，本题主要考查三条直线的位置关系，是立体几何中的一个基础题．

9．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为

，则该椭圆方程为（　　）

　A．

=1B．

　C．

=1D．

考点：

椭圆的标准方程．

专题：

圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

利用椭圆的简单性质求解．

解答：

解：

设椭圆方程为

，a＞b＞0，

由题意知

，解得c=2，a=2

，

∴b2=8﹣4=4，

∴该椭圆方程为

．

故选：

D．

点评：

本题考查椭圆的方程的求法，是基础题，解题时要注意椭圆简单性质的合理运用．

10．观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，由归纳推理可得：

若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（　　）

　A．﹣g（x）B．f（x）C．﹣f（x）D．g（x）

考点：

归纳推理．

专题：

规律型．

分析：

由已知中（x2）'=2x，（x4）'=4x3，（cosx）'=﹣sinx，…分析其规律，我们可以归纳推断出，偶函数的导函数为奇函数，再结合函数奇偶性的性质，即可得到答案．

解答：

解：

由（x2）'=2x中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；

（x4）'=4x3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；

（cosx）'=﹣sinx中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；

…

我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．

若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），

则函数f（x）为偶函数，

又∵g（x）为f（x）的导函数，则g（x）奇函数

故g（﹣x）+g（x）=0，即g（﹣x）=﹣g（x），

故选A．

点评：

本题考查的知识点是归纳推理，及函数奇偶性的性质，其中根据已知中原函数与导函数奇偶性的关系，得到结论是解答本题的关键．

11．若点（x，y）位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域，则2x﹣y的最小值为（　　）

　A．﹣6B．﹣2C．0D．2

考点：

简单线性规划．

专题：

数形结合．

分析：

先根据曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域画出区域D，再利用线性规划的方法求出目标函数2x﹣y的最大值即可．

解答：

解：

画出可行域，如图所示

解得A（﹣2，2），设z=2x﹣y，

把z=2x﹣y变形为y=2x﹣z，则直线经过点A时z取得最小值；所以zmin=2×（﹣2）﹣2=﹣6，

故选A．

点评：

本题考查利用线性规划求函数的最值．属于基础题．

12．定义在R上的函数f（x）满足f

（1）=l，且对一切x∈R都有f′（x）＜4，则不等式f（x）＞4x﹣3的解集为（　　）

　A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）

考点：

其他不等式的解法．

专题：

不等式的解法及应用．

分析：

根据条件，将不等式进行转化，然后构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系，判断函数的单调性，即可得到结论．

解答：

解：

等式f（x）＞4x﹣3等价为f（x）﹣4x+3＞0，

构造函数g（x）=f（x）﹣4x+3，则g′（x）=f′（x）﹣4，

∵对一切x∈R都有f′（x）＜4，∴g′（x）=f′（x）﹣4＜0，即函数g（x）单调递减．

∵f

（1）=1，∴g

（1）=f

（1）﹣4+3=1﹣4+3=0，即不等式f（x）﹣4x+3＞0，等价为g（x）＞g

（1）．

∵函数g（x）单调递减，∴x＜1．故不等式的解集为{x|x＜1}．

故选：

C．

点评：

本题主要考查不等式的解法，根据条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．

13．复数z=2i2﹣3i的实部是　﹣2　．

考点：

复数的基本概念．

专题：

计算题．

分析：

利用i的幂运算，直接化简，得到复数的代数形式的标准形式，然后看出复数的实部．

解答：

解：

复数z=2i2﹣3i=﹣2﹣3i，

所以复数的实部为﹣2

故答案为：

﹣2．

点评：

本题考查复数代数形式的幂的运算，复数的基本概念，考查计算能力，是基础题．

14．已知E为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1中点，则BD1与平面ACE位置关系是　BD1∥平面ACE　．

考点：

空间中直线与平面之间的位置关系．

专题：

计算题；空间位置关系与距离．

分析：

连接AC，BD，交点为F，连接EF，由三角形中位线定理可得EF∥BD1，由线面平行的判定定理，可得BD1∥平面ACE．

解答：

解：

连接AC，BD，交点为F，连接EF

∵在△BDD1中，E，F为DD1，BD的中点

故EF∥BD1，

∵EF⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，

∴BD1∥平面ACE，

故答案为：

BD1∥平面ACE

点评：

本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握线面平行的判定定理是解答的关键．

15．给出下列四种说法：

①﹣2i是虚数，但不是纯虚数；

②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；

③已知x，y∈R，则x+yi=1+i的充要条件为x=y=1；

④如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．

其中正确说法的为　③　．

考点：

命题的真假判断与应用．

专题：

数系的扩充和复数．

分析：

由条件利用复数的有关定义和性质，对各个选项进行判断，从而得出结论．

解答：

解：

由于﹣2i是虚数，且也是纯虚数，故①错误；

由于两个复数互为共轭复数，则这两个复数一个为a+bi，另一个为a﹣bi，a、b∈R，i为虚数单位，

故两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数，如1﹣i和3+i，这两个复数的和为实数，但这两个复数不是共轭复数，故②错误；

③已知x，y∈R，则x+yi=1+i的充要条件为x=y=1，正确；

④如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集不是一一对应的，如当a=0时，故④错误，

故答案为：

③．

点评：

本题主要考查复数的有关定义和性质，命题真假的判断，属于中档题．

16．若存在实数x，使x2﹣4bx+3b＜0成立，则b的取值范围是　（﹣∞，0）∪（

．+∞）　．

考点：

一元二次不等式的解法．

专题：

不等式的解法及应用．

分析：

先把原命题等价转化为存在实数x，使得函数y=x2﹣4bx+3b的图象在x轴下方，再利用开口向上的二次函数图象的特点，转化为函数与X轴有两个交点，对应判别式大于0即可解．

解答：

解：

因为命题：

存在实数x，使得x2﹣4bx+3b＜0成立的等价说法是：

存在实数x，使得函数y=x2﹣4bx+3b的图象在x轴下方，

即函数与x轴有两个交点，故对应的△=（﹣4b）2﹣4×3b＞0⇒b＜0或b＞

．

故答案为：

（﹣∞，0）∪（

．+∞）．

点评：

本题主要考查二次函数的图象分布以及函数图象与对应方程之间的关系，是对函数知识的考查，属于基础题．

三．解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．

1）设复数z=（m﹣1）+（m+2）i和复平面内点Z对应，若点Z在直线2x﹣y=0上，求实数m的值．

（2）已知z=2+i，计算

．

考点：

复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．

专题：

数系的扩充和复数．

分析：

（1）根据复数对应的点在直线2x﹣y=0上得到m的方程解之；

（2）将z代入，化简计算．

解答：

解：

（1）复数z=（m﹣1）+（m+2）i和复平面内点Z对应，若点Z在直线2x﹣y=0上，

所以2（m﹣1）﹣（m+2）=0

解得m=4．

（2）z=2+i，所以

．

点评：

本题考查了复数的几何意义以及复数的混合运算；考查学生的运算能力；属于基础题．

18．调研考试某数学老师对其所教的两个班获优秀成绩的同学进行了成绩统计，统计数据如右表：

根据表中数据，请你判断优秀成绩是否与学生的性别有关．

男生优秀女生优秀合计

甲班16人20人36人

乙班10人14人24人

合计26人34人60人

参考公式及数据：

Χ2=

Χ2≤2.706可认为变量无关联，Χ2＞2.706有90%的把握判定变量有关联．

考点：

独立性检验的应用；线性回归方程．

专题：

概率与统计．

分析：

根据所给的列联表中的数据，做出这组数据的观测值，把观测值同临界值进行比较，得到没有把握说明成绩优秀与新别有关．

解答：

解：

由已知的列联表中数据可得：

K2=

=0.045＜2.706

∴没有把握说明优秀成绩与性别有关．

即优秀成绩与男、女生的性别无关．

点评：

本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义，本题是一个基础题．

转速x（转/秒）1614128

每小时生产有缺点的零件数y件）11985

（1）如果y对x线性相关，且回归直线方程y=0.7286x﹣a，依据表中数据求a的值；

（2）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？

（精确到0.0001）

参考公式：

．

考点：

线性回归方程．

专题：

概率与统计．

分析：

（1）根据所给的数据作出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，代入线性回归方程，求出a的值；

（2）将y=10代入线性回归方程，进而构造关于x的不等式，解得机器的运转速度应控制在什么范围内．

解答：

解：

∵从所给的数据可以得到

（16+14+12+8）=12.5，

（11+9+8+5）=8.25，

∴这组数据的样本中心点是（12.5，8.25）

∴8.25=0.7286×12.5﹣a，

∴a=0.8575，

（2）由

（1）得回归直线方程y=0.7286x﹣0.8575，

若每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，

则y≤10，

即0.7286x﹣0.8575≤10，

解得x≤14.9018

所以机器的运转速度应控制14.9018转/秒内

点评：

本题考查线性回归方程的求法，考查线性分析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个综合题目，这种题目可以作为解答题出现在高考卷中．

20．已知f（x）=

﹣2x，x∈R．

（1）若m=﹣

，求f（x）的极值．

（2）若f（x）对于任意的x1，x2∈恒有（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＜0，求实数m

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