剑桥模型推导.docx
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剑桥模型推导
比容的定义:
=1亠e
⑴
正常固结线（NCL）方程:
v二N-■Inp，⑵
临界状态线（CSL）方程:
v-Inp（3）
回弹线（SL-swellline）方程：
v=v,.Inp（4）
注意：
在Inp'平面上，回弹线SL尽管穿过了CSL线，但并不意味等压卸载过程中应力点曾达到CSL线上，因为此坐标系中CSL为空间CSL曲线的投影，而SL始终在Inp'平面上,并不能达到空间的CSL线上的应力状态。
在上图2-34中AR为卸载回弹线（其方程如式（4））,过其作的竖直曲面，此曲面位于物态全界面（Roscoe面、Hvorslev面及无拉力墙构成）以下的阴影部分，即为一弹性墙，此弹性墙交物态边界面Roscoe面于AF,在AR线上荷载变化时，无塑性体积变化，亦即在弹性墙上，塑性体应变*保持为常数。
如果选择塑性体应变为硬化参数，那么等塑性体应变面就是屈服面，等塑性体应变线AF就是屈服轨迹。
AF在p'-q'平面上的投影A'F'为屈服面在p'-q'平面上的屈服轨迹。
在图2-35中回弹曲线与比容轴截距代表其塑性比容vop，在同一弹性墙
上，或同一屈服线上，弹性墙的塑性比容vP二v°P二const,也就是说其塑性体应变*为常数剑桥模型基于传统塑性位势理论，采用单屈服面和相关联流动法则。
屈服面形式（方程）A''不是基于试验而提出的，上面已根据物理意义在几何上表示出屈服面A'F'，但还无法用数学表达式表示，剑桥模型是依据能量理论得出的其屈服面方程，实质上是一种假设。
依据能量方程，外力（荷载）做功dW一部分转化为变形体的弹性变形能dWe（可储存在变形体内，外力或荷载卸除时，可完全释放出来），另一部分转化为耗散能（或称塑性变形能，外力或荷载卸除时，不能再释放出来）dWP，因而有
dW=dWedWP（5）
两种变形能可表示如下：
dWe=pdeqd（6）
dWp二pdvPqd
⑺
关于弹塑性变形能，Roscoe作了如下的假设：
（1）假定一切剪切应变都是不可恢复的，亦即无弹性剪应变，只有不可恢复的塑性剪应变（总剪应变等于塑性剪应变）
d:
=0（8）
dp=d冷（9）
dve
dp
dWe=pd；：
dp
1+e
（10）
（11）
（12）
（13）
9
P
⑵假定弹性体应变可从各向等压固结试验中所得的回弹曲线求取，即由式⑷可得
⑶假定全部耗散能（塑性变形能）等于由摩擦产生的能量耗散，即:
dWp=」pd厂=Mpd*（1
式中
J为内摩擦系数,其值等于p'-q'平面上临界状态线CSL的斜率M
6sin；■
（三轴压缩）（15）
3-sin®'
或M二仝也一（三轴伸长）（1
3+sin"
6）所以
dW=dWedWpdpMpd:
Sp（17）
1+e
而单位体积的土在p',q'应力作用下如产生应变d；v和d；s,变形能为
dW=pdvqds（18）
则由式（17）和式（18）可得能量方程:
瓷p
pdvqdsdpMpd（19）
1+e
于是pd屯-三竺〕=（Mp、qJd諾
<"eP丿
将式（13）代入上式,则
pdvp=Mpqd；f
或宅=M=M-（20）
d諾p
式（20）实际表示了流动法则，即表示了塑性应变增量在p'-q'平面上的方向，与这一方向正交的轨迹就是在这个平面上土的屈服轨迹（相适应的流动法则）,如图2-34所示.设此屈服轨迹的方程为：
fP,q,H=0（21）
则
:
f:
f:
f
dfdpdqdH=0（22）
pq：
H
因为在同一屈服面上硬化参数为常数,所以dH二0,则
df二丄dp—dq=0（23）
根据相适应流动法则
dvp=d—（24）
:
p
d：
S=d—（25）
河
将以上两式代入式（23）,则得
dpddqd*二0（26）
将式（20）代入上式,则得
dqqM=0（27）
dpp
将此微分方程变换可得到
-MqdpMpdqdp_°
（Mp）2~V~
积分得到lnp=C（28）
MpH
式中C为积分常数.利用p'轴上起始各向等压固结试验点A,对应p=p0,q=0代入上式,则得C=lnp°，将之代入式（28）,则得得到湿粘土（正常固结和轻超固结土）的屈服轨
迹方程为
FF
f=—-Mln旦=0（29）
pp
其在p'-q'平面上的形状如图2-34和图2-35（a）所示，像一个”帽子”是子弹头形，以p0为硬化参数•由于NCL上每一个p。
都对应于一个v°p（或*）,所以实际上这一模型是以塑性体应变为硬化参数.
对于重超固结土，可得到类似的屈服面，只是对应的p。
不同.
空间无拉力墙的方程为
M-h-v
q=3p0-pexp（30）
3-hl九丿
Hvoslev面的方程为
r-v
q二hp（M-h）exp（）（31）
A
式中h为Hvoslev线的斜率.
空间Roscoe面的方程为：
q=Mp（N-v-；Inp）（32）
k-K
由湿粘土对应p〉p0,v=v0的不排水试验路径在p'-q'平面上的投影或归一化的Roscoe面,
由式⑵得
v=v0=N-Inp0（33）
将式（33）代入式（32）,则得对应不排试验路径在p'-q'平面上的方程为
qM
p1-■-
（34）
也为指弹头形，但显然此不排水路径与屈服轨迹并不重合，不排水路径在屈服轨迹以外•
剑桥模型增量型应力-应变本构关系
将式（32）微分,可得
因由式（11）知dv--1edv
8）
将式（38）代入能量方程（19）,可得
于是剑桥模型的弹塑性矩阵可表示为
dv_'
ds1eMp
n
（40）
修正剑桥模型：
，得到了修正剑桥模型•
1965年，英国剑桥大学的Burland采用了一种新的能量方程形式
他建议以下式代替式（14）
第二项,
22
pd；V-pd；VMpd；SqdsP
亦丿
故可得:
（42）
在p'-q'平面上的屈服轨迹方程为
（43b）
（43c）
PM2
PcM22
（43a）
=1
（43b）
P-P0/2
即为椭圆方程•其顶点在q'Mp•线上,以p0（*）为硬化参数,即
H（Po）=Po=Po（V）=H（；V）
因为
•e°
V'exp—"丿
其增量型应力-应变关系为
江比
（M"2pj
于是修正剑桥模型的弹塑性矩阵可表示为
然而，有限元等数值计算中，常按如下一般弹塑性矩阵式
有：
A二「汨：
Q
:
HVV-：
p
来表示，由等塑性硬化规律
H=H（V）=Po
按相适应的流动法则
砂闭刑刑cpj列
A
__p*p
H：
vpPo：
Vp
而屈服面和加载面©=Q=（p‘也丄-pop=0
M
卞H「
:
H：
:
p
Po■.1:
■
Po：
；V：
P
3
p-1e-2p-p-
2
A（P0）（1+eo^2p：
p0）白+e。
Aexp-
“匕-k
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