人教版八年级数学上册 111 与三角形有关的线段 同步练习题Word版附答案.docx

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人教版八年级数学上册111与三角形有关的线段同步练习题Word版附答案

11.1　与三角形有关的线段同步练习题

11.1.1　三角形的边

基础题　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点1　三角形的概念

1．一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，其中符合三角形概念的是（）

2．如图，以CD为公共边的三角形是；∠EFB是的内角；在△BCE中，BE所对的角是，∠CBE所对的边是EC；以∠A为公共角的三角形有．

3．如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形．

（1）其中以AB为一边可以画出个三角形；

（2）其中以C为顶点可以画出个三角形．

知识点2　三角形的分类

4．下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（）

5．下列说法正确的是（）

A．所有的等腰三角形都是锐角三角形

B．等边三角形属于等腰三角形

C．不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形

D．一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形

6．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（）

　　A　　　　　B　　　　　C　　　　　D

知识点3　三角形的三边关系

7．（金华中考）（教材P4练习T2变式）下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（）

A．2，3，4B．5，7，7C．5，6，12D．6，8，10

8.如图，为估计池塘岸边A，B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15米，OB＝10米，A，B间的距离不可能是（）

A．5米B．10米C．15米D．20米

9．在△ABC中，若AB＝5，BC＝2，且AC的长为奇数，则AC＝5．

易错点　没有验证是否满足三角形的三边关系致错

10．（教材P8习题11.1T6变式）已知等腰三角形的周长为16cm，若其中一边长为4cm，求另外两边长．

中档题

11．（教材P8习题11.1T1变式）如图，图中三角形的个数是（）

A．3B．4C．5D．6

12．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A．5，6，10B．5，6，11C．3，4，8D．4a，4a，8a（a＞0）

13．（扬州中考）若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（）

A．6B．7C．11D．12

14．（教材P8习题11.1T2变式）有四条线段，长分别为3cm，5cm，7cm，9cm，如果用这些线段组成三角形，可以组成个三角形．

15．已知三角形的两边长分别为2cm和7cm，最大边的长为acm，则a的取值范围是．

16．（大庆中考）如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图形②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为

．

17．（教材P3例题改编）用一条长为25cm的绳子围成一个等腰三角形．

（1）如果腰长是底边长的2倍，那么三角形的各边长是多少？

（2）能围成有一边的长是6cm的等腰三角形吗？

为什么？

18．已知a，b，c是△ABC的三边长．

（1）若a，b，c满足|a－b|＋|b－c|＝0，试判断△ABC的形状；

（2）若a，b，c满足（a－b）（b－c）＝0，试判断△ABC的形状；

（3）化简：

|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|.

综合题

19．如图，点P是△ABC内部的一点．

（1）度量线段AB，AC，PB，PC的长度，根据度量结果比较AB＋AC与PB＋PC的大小；

（2）改变点P的位置，上述结论还成立吗？

（3）你能说明上述结论为什么正确吗？

11.1.2　三角形的高、中线与角平分线

11.1.3　三角形的稳定性

基础题　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点1　三角形的高

1．（教材P5练习T1变式）下列各图中，画出AC边上的高，正确的是（）

2．如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有6个．

3．如图，在△ABC中，∠C＝90°.

（1）指出图中BC，AC边上的高；

（2）画出AB边上的高CD；

（3）若BC＝3，AC＝4，AB＝5，求AB边上的高CD的长．

知识点2　三角形的中线

4．（教材P8习题11.1T4变式）如图，如果AD是△ABC的中线，那么下列结论：

①BD＝CD；②AB＝AC；③S△ABD＝

S△ABC.其中一定成立的有（）

A．3个B．2个C．1个D．0个

5．三角形的三条中线相交于一点，这个点一定在三角形的内部，这个点叫做三角形的．

6．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是．

7．如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，若DE＝3cm，则EC＝．

知识点3　三角形的角平分线

8．如图，若∠1＝∠2，∠3＝∠4.下列结论中错误的是（）

A．AD是△ABC的角平分线B．CE是△ACD的角平分线

C．∠3＝

∠ACBD．CE是△ABC的角平分线

9．如图所示，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线．若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是（）

A．20°B．30°C．45°D．60°

10．如图，D是△ABC中BC边上的一点，DE∥AC交AB于点E，若∠EDA＝∠EAD，试说明AD是△ABC的角平分线．

知识点4　三角形的稳定性

11．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（）

A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线

C．三角形具有稳定性D．长方形的四个角都是直角

12．如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的

性．

中档题

13．下列有关三角形的说法：

①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于一点；④三条高必在三角形内．其中正确的是（）

A．①②B．①③C．②④D．③④

14．（教材P9习题11.1T10变式）如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添根木条．

15．（原创题）如图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图，你能分析出他们各自折纸的意图吗？

简述你判断的理由．

16．（教材P9习题11.1T8变式）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，BC＝12，AC＝8，AD＝6，BE的长为多少？

17．如图，网格小正方形的边长都为1，在△ABC中，标出三角形重心的位置，并猜想重心将中线分成的两段线段之间的关系．

综合题

18．（娄底中考改编）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B，C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，在D点的运动过程中，试判断BE＋CF的值是否发生改变？

小专题1　三角形中线段的相关应用　　　

类型1　三角形的三边关系

1．已知不等边三角形的一边等于5，另一边等于3，若第三边长为奇数，则周长等于（）

A．13B．11C．11，13或15D．15

2．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其周长为20cm，求AB边的取值范围．

解：

设AB＝AC＝x，则BC＝20－2x.

∴0＜20－2x＜2x.

∴5＜x＜10.

类型2　三角形高的应用

3．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数．

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G.求证：

DE＋DF＝BG.

类型3　三角形中线的应用

5．如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的周长为（）

A．40B．46C．50D．56

6．（广东中考改编）如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG∶GD＝2∶1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是．

7．在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点．

（1）如图1，若S△ABC＝1cm2，求△BEF的面积；

（2）如图2，若S△BFC＝1，则S△ABC＝（提示：

对比第

（1）题，先作辅助线）．

类型4　三角形角平分线的应用

8．

（1）如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE为角平分线的三角形有；

（2）如图，若已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线．

11.1　与三角形有关的线段同步练习题参考答案

11.1.1　三角形的边

基础题　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点1　三角形的概念

1．一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，其中符合三角形概念的是（D）

2．如图，以CD为公共边的三角形是△CDF，△CDB；∠EFB是△EFB的内角；在△BCE中，BE所对的角是∠ECB，∠CBE所对的边是EC；以∠A为公共角的三角形有△ADB，△AEC，△ABC．

3．如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形．

（1）其中以AB为一边可以画出3个三角形；

（2）其中以C为顶点可以画出6个三角形．

提示：

（1）如图，以AB为一边的三角形有△ABC，△ABD，△ABE共3个．

（2）如图，以点C为顶点的三角形有△ABC、△BEC、△BCD、△ACE、△ACD、△CDE共6个．

知识点2　三角形的分类

4．下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（D）

5．下列说法正确的是（B）

A．所有的等腰三角形都是锐角三角形

B．等边三角形属于等腰三角形

C．不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形

D．一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形

6．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（C）

　　A　　　　　B　　　　　C　　　　　D

知识点3　三角形的三边关系

7．（金华中考）（教材P4练习T2变式）下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（C）

A．2，3，4B．5，7，7C．5，6，12D．6，8，10

8.如图，为估计池塘岸边A，B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15米，OB＝10米，A，B间的距离不可能是（A）

A．5米B．10米C．15米D．20米

9．在△ABC中，若AB＝5，BC＝2，且AC的长为奇数，则AC＝5．

易错点　没有验证是否满足三角形的三边关系致错

10．（教材P8习题11.1T6变式）已知等腰三角形的周长为16cm，若其中一边长为4cm，求另外两边长．

解：

若腰长为4cm，则底边长为16－4－4＝8（cm）．

三边长为4cm，4cm，8cm，不符合三角形三边关系定理．这样的三边不能围成三角形，

所以应该是底边长为4cm.所以腰长为（16－4）÷2＝6（cm）．三边长为4cm，6cm，6cm，符合三角形三边关系定理，所以另外两边长都为6cm.

中档题

11．（教材P8习题11.1T1变式）如图，图中三角形的个数是（C）

A．3B．4C．5D．6

12．下列长度的三条线段能组成三角形的是（A）

A．5，6，10B．5，6，11C．3，4，8D．4a，4a，8a（a＞0）

13．（扬州中考）若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（C）

A．6B．7C．11D．12

14．（教材P8习题11.1T2变式）有四条线段，长分别为3cm，5cm，7cm，9cm，如果用这些线段组成三角形，可以组成3个三角形．

15．已知三角形的两边长分别为2cm和7cm，最大边的长为acm，则a的取值范围是7≤a＜9．

16．（大庆中考）如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图形②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为（4n－3）．

17．（教材P3例题改编）用一条长为25cm的绳子围成一个等腰三角形．

（1）如果腰长是底边长的2倍，那么三角形的各边长是多少？

（2）能围成有一边的长是6cm的等腰三角形吗？

为什么？

解：

（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据题意，得2x＋2x＋x＝25.解得x＝5.

∴三角形的三边长分别为10cm，10cm，5cm.

（2）若长为6cm的边是腰，则底边长为：

25－6×2＝13（cm）．

∵6＋6<13，∴不能围成三角形，即长为6cm的边不能为腰长；

若长为6cm的边是底边，则腰长为：

（25－6）÷2＝9.5（cm），满足三角形的三边关系．

综上所述，能围成底边长是6cm的等腰三角形，且三角形的三边长分别为9.5cm，9.5cm，6cm.

18．已知a，b，c是△ABC的三边长．

（1）若a，b，c满足|a－b|＋|b－c|＝0，试判断△ABC的形状；

（2）若a，b，c满足（a－b）（b－c）＝0，试判断△ABC的形状；

（3）化简：

|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|.

解：

（1）∵|a－b|＋|b－c|＝0，

∴a－b＝0且b－c＝0.∴a＝b＝c.

∴△ABC为等边三角形．

（2）∵（a－b）（b－c）＝0，∴a－b＝0或b－c＝0.

∴a＝b或b＝c.∴△ABC为等腰三角形．

（3）∵a，b，c是△ABC的三边长，

∴a－b－c＜0，b－c－a＜0，c－a－b＜0.

∴原式＝－a＋b＋c－b＋c＋a－c＋a＋b

＝a＋b＋c.

综合题

19．如图，点P是△ABC内部的一点．

（1）度量线段AB，AC，PB，PC的长度，根据度量结果比较AB＋AC与PB＋PC的大小；

（2）改变点P的位置，上述结论还成立吗？

（3）你能说明上述结论为什么正确吗？

解：

（1）如图有：

AB＋AC＞PB＋PC.

（2）改变点P的位置，上述结论还成立．

（3）连接AP，BP，CP，延长BP交于AC于点E，

在△ABE中有，AB＋AE＞BE＝BP＋PE.①

在△CEP中有，PE＋CE＞PC.②

①＋②，得AB＋AE＋PE＋CE＞BP＋PE＋PC，

即AB＋AC＋PE＞BP＋PE＋PC，

∴AB＋AC＞BP＋PC.

11.1.2　三角形的高、中线与角平分线

11.1.3　三角形的稳定性

基础题　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点1　三角形的高

1．（教材P5练习T1变式）下列各图中，画出AC边上的高，正确的是（D）

2．如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有6个．

3．如图，在△ABC中，∠C＝90°.

（1）指出图中BC，AC边上的高；

（2）画出AB边上的高CD；

（3）若BC＝3，AC＝4，AB＝5，求AB边上的高CD的长．

解：

（1）BC边上的高是AC，AC边上的高是BC.

（2）如图所示．

（3）∵S△ABC＝

AC·BC＝

AB·CD，

∴3×4＝5CD.∴CD＝2.4.

知识点2　三角形的中线

4．（教材P8习题11.1T4变式）如图，如果AD是△ABC的中线，那么下列结论：

①BD＝CD；②AB＝AC；③S△ABD＝

S△ABC.其中一定成立的有（B

A．3个B．2个C．1个D．0个

5．三角形的三条中线相交于一点，这个点一定在三角形的内部，这个点叫做三角形的重心．

6．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是2．

7．如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，若DE＝3cm，则EC＝9__cm．

知识点3　三角形的角平分线

8．如图，若∠1＝∠2，∠3＝∠4.下列结论中错误的是（D）

A．AD是△ABC的角平分线B．CE是△ACD的角平分线

C．∠3＝

∠ACBD．CE是△ABC的角平分线

9．如图所示，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线．若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是（A）

A．20°B．30°C．45°D．60°

10．如图，D是△ABC中BC边上的一点，DE∥AC交AB于点E，若∠EDA＝∠EAD，试说明AD是△ABC的角平分线．

证明：

∵DE∥AC，

∴∠EDA＝∠CAD.

∵∠EDA＝∠EAD，

∴∠CAD＝∠EAD.

∴AD是△ABC的角平分线．

知识点4　三角形的稳定性

11．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（C）

A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线

C．三角形具有稳定性D．长方形的四个角都是直角

12．如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的稳定性．

中档题

13．下列有关三角形的说法：

①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于一点；④三条高必在三角形内．其中正确的是（B）

A．①②B．①③C．②④D．③④

14．（教材P9习题11.1T10变式）如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添3根木条．

15．（原创题）如图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图，你能分析出他们各自折纸的意图吗？

简述你判断的理由．

解：

甲折出的是BC边上的高AD，

由图可知∠ADC＝∠ADC′，

∴∠ADC＝90°，即AD为BC边上的高．

乙折出的是∠BAC的平分线AD，

由图可知∠CAD＝∠C′AD，即AD平分∠BAC.

丙折出的是BC边上的中线AD，

由图可知CD＝BD，∴AD是BC边上的中线．

16．（教材P9习题11.1T8变式）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，BC＝12，AC＝8，AD＝6，BE的长为多少？

解：

∵S△ABC＝

BC·AD

＝

×12×6

＝36，

又∵S△ABC＝

AC·BE，

∴

×8×BE＝36，即BE＝9.

17．如图，网格小正方形的边长都为1，在△ABC中，标出三角形重心的位置，并猜想重心将中线分成的两段线段之间的关系．

解：

如图所示，AB与AC两边的中线的交点D即为重心．

重心将每条中线分成1∶2两部分，BD＝2ED，CD＝2DF.

综合题

18．（娄底中考改编）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B，C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，在D点的运动过程中，试判断BE＋CF的值是否发生改变？

解：

由S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，得

AB·BC＝

AD·CF＋

AD·BE＝

AD·（CF＋BE）．

∵△ABC的面积不变，且点D由点B运动到点C，AD的长度逐渐变大，

∴BE＋CF的值逐渐减小．

小专题1　三角形中线段的相关应用　　　

类型1　三角形的三边关系

1．已知不等边三角形的一边等于5，另一边等于3，若第三边长为奇数，则周长等于（D）

A．13B．11C．11，13或15D．15

2．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其周长为20cm，求AB边的取值范围．

解：

设AB＝AC＝x，则BC＝20－2x.

∴0＜20－2x＜2x.

∴5＜x＜10.

类型2　三角形高的应用

3．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数．

解：

当高AD在△ABC的内部时（如图1），∠BAC＝90°.当高AD在△ABC的外部时（如图2），∠BAC＝50°.

综上可知，∠BAC的度数为90°或50°.

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G.求证：

DE＋DF＝BG.

证明：

连接AD，

∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，

∴

AC·BG＝

AB·DE＋

AC·DF.

又∵AB＝AC，

∴BG＝DE＋DF.

类型3　三角形中线的应用

5．如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的周长为（A）

A．40B．46C．50D．56

6．（广东中考改编）如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG∶GD＝2∶1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是4．

7．在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点．

（1）如图1，若S△ABC＝1cm2，求△BEF的面积；

（2）如图2，若S△BFC＝1，则S△ABC＝4（提示：

对比第

（1）题，先作辅助线）．

解：

由中线平分三角形的面积，可得S△BED＝S△CED，S△BEF＝S△BCF，∴S△BEC＝2S△BED＝2S△BEF，∴S△BED＝S△BEF＝S△ABE，同理可得S△ACE＝S△CDE＝S△BEF，∴S△BEF＝

S△ABC＝

.

类型4　三角形角平分线的应用

8．

（1）如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE为角平分线的三角形有△ABC和△ADF；

（2）如图，若已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线．

解：

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE＝∠CAE.

又∵∠1＝∠2＝15°，

∴∠BAE＝∠1＋∠2

＝15°＋15°

＝30°.

∴∠CAE＝∠BAE＝30°，

即∠CAE＝∠4＋∠3＝30°.

又∵∠4＝15°，∴∠3＝15°.

∴∠2＝∠3＝15°.

∴AE是△DAF的角平分线．