椭圆与双曲线的对偶性质.docx

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椭圆与双曲线的对偶性质

椭圆与双曲线的对偶性质

--（必背的经典结论）

资料来源:

椭圆

1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2.PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.

3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5.若000（,）Pxy在椭圆22

221xyab

+=上,则过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab+=.6.若000（,）Pxy在椭圆22

221xyab

+=外,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是0

0221xxyyab

+=.7.椭圆22

221xyab

+=（a>b>0）的左右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上任意一点12FPFγ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan2

FPFSbγ∆=.8.椭圆22

221xyab

+=（a>b>0）的焦半径公式:

10||MFaex=+,20||MFaex=-（1（,0）Fc-,2（,0）Fc00（,）Mxy）.

9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF.

10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.

11.AB是椭圆22

221xyab

+=的不平行于对称轴的弦,M）,（00yx为AB的点,则2

2OMABbkka

⋅=-,即0

202yaxbKAB-=。

12.若000（,）Pxy在椭圆22

221xyab

+=内,则被Po所平分的点弦的方程是2200002222xxyyxyabab+=+.

13.若000（,）Pxy在椭圆

22

22

1xyab+=内,则过Po的弦点的轨迹方程是22002222xxyyxyabab

+=+.双曲线

1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2.PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴

为直径的圆,除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切:

P在右支;外切:

P在左支）

5.若000（,）Pxy在双曲线22221xyab

-=（a>0,b>0）上,则过0P的双曲线的切线方程是00221xxyy

ab

-=.6.若000（,）Pxy在双曲线22

221xyab

-=（a>0,b>0）外,则过Po作双曲线的两条切

线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyy

ab

-=.

7.双曲线22

221xyab

-=（a>0,b>o）的左右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上任意

一点12

FPFγ∠=,则双曲线的焦点角形的面积为122

t2

FPFSbcoγ∆=.8.双曲线22

221xyab

-=（a>0,b>o）的焦半径公式:

（1（,0）Fc-,2（,0）Fc

当00（,）Mxy在右支上时,10||MFexa=+,20||MFexa=-.

当00（,）Mxy在左支上时,10||MFexa=-+,20||MFexa=--

9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,

连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥NF.10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶

点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.

11.AB是双曲线22

221xyab

-=（a>0,b>0）的不平行于对称轴的弦,M）,（00yx为AB

的点,则0202yaxbKKABOM=⋅,即0

20

2yaxbKAB=。

12.若000（,）Pxy在双曲线22

221xyab

-=（a>0,b>0）内,则被Po所平分的点弦的方

程是22

00002222xxyyxyabab

-=-.

13.若000（,）Pxy在双曲线22

221xyab

-=（a>0,b>0）内,则过Po的弦点的轨迹方程

是22002222xxyyxyabab

-=-.--（会推导的经典结论）

高三数学备课组

椭圆

1.椭圆22

221xyab

+=（a>b>o）的两个顶点为1（,0）Aa-,2（,0）Aa,与y轴平行的直

线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22

221xyab

-=.

2.过椭圆22

221xyab

+=（a>0,b>0）上任一点00（,）Axy任意作两条倾斜角互补的直线

交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且20

20BCbxkay=（常数）.

3.若P为椭圆22

221xyab

+=（a>b>0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,

12PFFα∠=,21PFFβ∠=,则

tant22

accoacαβ

-=+.4.设椭圆22

221xyab

+=（a>b>0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上

任意一点,在△PF1F2,记12FPFα∠=,12PFFβ∠=,12FFPγ∠=,则有

sinsinsinc

ea

αβγ==+.

5.若椭圆22

221xyab

+=（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0

6.P为椭圆22

221xyab

+=（a>b>0）上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,

则2112||||||2||aAFPAPFaAF-≤+≤+,当且仅当2,,AFP三点共线时,等号成立.

7.椭圆

22

0022

（）（）1xxyyab--+=与直线0AxByC++=有公共点的充要条件是2222200（）AaBbAxByC+≥++.8.已知椭圆22

221xyab

+=（a>b>0）,O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且

OPOQ⊥.

（1）22221111||||OPOQab+=+;

（2）|OP|2+|OQ|2

的最大值为22224abab+;

（3）OPQS∆的最小值是22

22

abab+.

9.过椭圆22

221xyab

+=（a>b>0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦

MN的垂直平分线交x轴于P,则

||||2PFe

MN=.10.已知椭圆22

221xyab

+=（a>b>0）,A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平

分线与x轴相交于点0（,0）Px,则2222

0ababxaa---<<.11.设P点是椭圆22

221xyab

+=（a>b>0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点

记12

FPFθ∠=,则

（1）2122||||1cosbPFPFθ

=+.

（2）122

tan2PFFSbγ∆=.12.设A、B是椭圆22

221xyab

+=（a>b>0）的长轴两端点,P是椭圆上的一点,

PABα∠=,PBAβ∠=,BPAγ∠=,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有

（1）2222

2|cos|||sabPAaccoαγ=-.

（2）2

tantan1eαβ=-.（3）222

22cotPABabSbaγ∆=-.13.已知椭圆22

221xyab

+=（a>b>0）的右准线l与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F

的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上,且BCx⊥轴,则直线AC经过线段EF的点.

14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应

焦点的连线必与切线垂直.

15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦

半径互相垂直.

16.椭圆焦三角形,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数

e（离心率）.

（注:

在椭圆焦三角形,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18.椭圆焦三角形,半焦距必为内、外点到椭圆心的比例项.

--（会推导的经典结论）

高三数学备课组

双曲线

1.双曲线22

221xyab

-=（a>0,b>0）的两个顶点为1（,0）Aa-,2（,0）Aa,与y轴

平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22

221xyab

+=.

2.过双曲线22

221xyab

-=（a>0,b>o）上任一点00（,）Axy任意作两条倾斜角互补

的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且20

20BCbxkay=-（常数）.

3.若P为双曲线22

221xyab

-=（a>0,b>0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,

F

2

是焦点,12PFFα∠=,21PFFβ∠=,则

tant22

cacocaαβ

-=+（或tant22

cacocaβα

-=+）.4.设双曲线22

221xyab

-=（a>0,b>0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）

为双曲线上任意一点,在△PF1F2,记12FPFα∠=,

12PFFβ∠=,12FFPγ∠=,则有

sin（sinsin）c

ea

αγβ==±-.

5.若双曲线221ab

-=（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当1

6.P为双曲线22

221xyab

-=（a>0,b>0）上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线内一定点,则21||2||||AFaPAPF-≤+,当且仅当2,,AFP三点共线且P和2,AF在y轴同侧时,等号成立.

7.双曲线22

221xyab

-=（a>0,b>0）与直线0AxByC++=有公共点的充要条件是22222AaBbC-≤.

8.已知双曲线22

221xyab

-=（b>a>0）,O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且OPOQ⊥.

（1）22221111||||OPOQab

+=-;

（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224abba-;（3）OPQS∆的最小值是22

22abba

-.9.过双曲线22

221xyab

-=（a>0,b>0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则||||2

PFeMN=.10.已知双曲线22

221xyab

-=（a>0,b>0）,A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点0（,0）Px,则22

0abxa

+≥或220abxa+≤-.11.设P点是双曲线22

221xyab

-=（a>0,b>0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12FPFθ∠=,则

（1）2

122||||1cosbPFPFθ

=-.

（2）122cot2PFFSbγ∆=.12.设A、B是双曲线22

221xyab

-=（a>0,b>0）的长轴两端点,P是双曲线上的一点,PABα∠=,PBAβ∠=,BPAγ∠=,c、e分别是双曲线的半焦距离

心率,则有

（1）22222|cos||||s|

abPAaccoαγ=-.

（2）2tantan1eαβ=-.（3）22

222cotPABabSba

γ∆=+.

13.已知双曲线

221

ab

-=（a>0,b>0）的右准线l与x轴相交于点E,过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上,且BCx

⊥轴,则直线AC经过线段EF的点.

14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交

点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连

线必与焦半径互相垂直.

16.双曲线焦三角形,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常

数e（离心率）.

（注:

在双曲线焦三角形,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）.

17.双曲线焦三角形,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.

18.双曲线焦三角形,半焦距必为内、外点到双曲线心的比例项.