椭圆与双曲线的对偶性质.docx

1、椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质-(必背的经典结论)资料来源:椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ,则过Po 作

2、椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a b 0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF =,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b =. 8. 椭圆22221x y a b+=(a b 0)的焦半径公式: 10|MF a ex =+,20|MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相

3、应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的点,则22OM AB b k k a=-, 即0202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内,则被Po 所平分的点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.13. 若0

4、00(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内,则过Po 的弦点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+. 双曲线1. 点P 处的切线PT 平分PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支)5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(a 0,b 0)上,则过0P 的双

5、曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(a 0,b 0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=(a 0,b o )的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任意一点12F PF =,则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co =. 8. 双曲线22221x y a b-=(a 0,b o )的焦半径公式:(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M

6、x y 在右支上时,10|MF ex a =+,20|MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时,10|MF ex a =-+,20|MF ex a =-9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=(a 0,b 0)的不平行于对

7、称轴的弦,M ),(00y x 为AB的点,则0202y a x b K K AB OM =,即0202y a x b K AB =。12. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(a 0,b 0)内,则被Po 所平分的点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-.13. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(a 0,b 0)内,则过Po 的弦点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-. -(会推导的经典结论)高三数学备课组椭 圆1. 椭圆22221x y a b+=(a b o

8、)的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.2. 过椭圆22221x y a b+= (a 0, b 0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点,则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =(常数).3. 若P 为椭圆22221x y a b+=(a b 0)上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点,12PF F =, 21PF F =,则tan t 22a c co a c -=+. 4. 设椭圆22221x y

9、 a b+=(a b 0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在PF 1F 2,记12F PF =, 12PF F =,12F F P =,则有sin sin sin ce a=+.5. 若椭圆22221x y a b+=(a b 0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L ,则当0b 0)上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为椭圆内一定点,则2112|2|a AF PA PF a AF -+,当且仅当2,A F P 三点共线时,等号成立.7. 椭圆220022()()1x x y y a b -+=与直线0Ax By C +=有公共点的充要条件是2222

10、200()A a B b Ax By C +. 8. 已知椭圆22221x y a b+=(a b 0),O 为坐标原点,P 、Q 为椭圆上两动点,且OP OQ .(1)22221111|OP OQ a b +=+;(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;(3)OPQ S 的最小值是2222a b a b +.9. 过椭圆22221x y a b+=(a b 0)的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ,则|2PF eMN =. 10. 已知椭圆22221x y a b+=( a b 0) ,A 、B 、是椭圆上的两点,线段A

11、B 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a -b 0)上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF =,则(1)2122|1cos b PF PF =+.(2) 122tan 2PF F S b =. 12. 设A 、B 是椭圆22221x y a b+=( a b 0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,PAB =, PBA =,BPA =,c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1)22222|cos |s ab PA a c co =-.(2) 2tan tan 1e =-.(3) 22222cot PAB a b S b

12、 a =-. 13. 已知椭圆22221x y a b+=( a b 0)的右准线l 与x 轴相交于点E ,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x 轴,则直线AC 经过线段EF 的点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭

13、圆焦三角形,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形,半焦距必为内、外点到椭圆心的比例项.-(会推导的经典结论)高三数学备课组双曲线1. 双曲线22221x y a b-=(a 0,b 0)的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.2. 过双曲线22221x y a b-=(a 0,b o )上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点,则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-(常数).3. 若P

14、 为双曲线22221x y a b-=(a 0,b 0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F 1,F2是焦点, 12PF F =, 21PF F =,则t a n t 22c a co c a -=+(或t a n t 22c a co c a -=+). 4. 设双曲线22221x y a b-=(a 0,b 0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在PF 1F 2,记12F PF =,12PF F =,12F F P =,则有sin (sin sin )ce a=-.5. 若双曲线221a b-=(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L

15、,则当10,b 0)上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为双曲线内一定点,则21|2|AF a PA PF -+,当且仅当2,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时,等号成立.7. 双曲线22221x y a b-=(a 0,b 0)与直线0Ax By C +=有公共点的充要条件是22222A a B b C -.8. 已知双曲线22221x y a b-=(b a 0),O 为坐标原点,P 、Q 为双曲线上两动点,且OP OQ .(1)22221111|OP OQ a b+=-;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;(3)OPQ S 的最小值是

16、2222a b b a-. 9. 过双曲线22221x y a b-=(a 0,b 0)的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ,则|2PF e MN =. 10. 已知双曲线22221x y a b-=(a 0,b 0),A 、B 是双曲线上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+或220a b x a +-. 11. 设P 点是双曲线22221x y a b-=(a 0,b 0)上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF =,则(1)2122|1cos b PF PF =-.(

17、2) 122cot 2PF F S b =. 12. 设A 、B 是双曲线22221x y a b-=(a 0,b 0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点,PAB =, PBA =,BPA =,c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1)22222|cos |s |ab PA a c co =-. (2) 2tan tan 1e =-.(3) 22222cot PAB a b S b a=+.13.已知双曲线221a b-=(a0,b0)的右准线l与x轴相交于点E,过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上,且BC x轴,则直线AC经过线段EF 的点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.双曲线焦三角形,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17.双曲线焦三角形,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18.双曲线焦三角形,半焦距必为内、外点到双曲线心的比例项.