八年级数学轴对称2.docx
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八年级数学轴对称2
14.1轴对称
数学与生活
以树干为对称轴，画出树的另一半，如图14-1所示.
思考讨论图14－1给出了树的一半，以树干为对称轴，画出它的另一半，需要找到几个关键点即关于树干的对称点，依次连接这些点即可，那么，我们为什么要这么做呢？
知识详解
知识点1轴对称图形
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称.如图14-2所示，△ABC是轴对称图形.
知识点2对称轴
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.
如图14-3所示，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，l叫做对称轴.A和A′,B和B′，C和C′是对称点.
知识点3线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
如图14－4所示，直线l经过线段AB的中点O，并且垂直于线段AB，则直线l就是线段AB的垂直平分线.
知识点4对称轴的性质
对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.即：
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
探究交流
成轴对称的两个图形全等吗？
如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？
这两个图形对称吗？
点拨成轴对称的两个图形全等；如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等；这两个图形对称.
知识点5线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
如图14－5所示，点P是线段AB垂直平分线上的点，则PA=PB.
知识点6线段垂直平分线的判定
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
知识点7成轴对称的两个图形的对称轴的画法
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.
典例剖析师生互动
基本概念题
例1判断下列图形（如图14－6所示）是不是轴对称图形.
（分析）由轴对称图形的含义可知，
（1）（3）（6）是轴对称图形，
（2）（4）（5）不是.
解：
是轴对称图形的有
（1）（3）（6）；不是轴对称图形的有
（2）（4）（5）.
例2判断下面每组图形（如图14－7所示）是否关于某条直线成轴对称.
（分析）本题主要考查轴对称和读图能力，要仔细观察.
解：
图
（1）不关于某条直线成轴对称；图
（2）关于某条直线成轴对称.
学生做一做如图14－8所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.
老师评一评主要考查轴对称图形和图形成轴对称的含义.
图
（1）（3）（4）（6）（8）（10）是轴对称图形；图
（2）（5）（7）（9）成轴对称.
基本知识应用题
本节基础知识的应用主要包括：
（1）能够找出常见轴对称图形的对称轴；
（2）掌握线段垂直平分线的性质.
例3如图14-9所示，已知△ABC和直线MN.求作：
△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于直线MN对称.（不要求写作法，只保留作图痕迹）
（分析）画已知图形关于某直线对称的图形，关键是找到对称点.
作法：
如图14－10所示.
例4如图14－11所示，有一块三角形田地，AB=AC=10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长.
（分析）本题主要考查垂直平分线的性质.
解：
∵ED是AB的垂直平分线，
∴DA=DB.
又∵△BDC的周长为17m，AB=AC=10m，
∴BD+DC+BC=17，
∴DA+DC+BC=17，
即AC+BC=17.
∴10+BC=17，
∴BC=7m.
例5下列图形中对称轴条数最多的是（）
A.正方形B.长方形C.等腰三角形D.等腰梯形
E.等边三角形F.角G.线段H.圆I.正五角星
（分析）有一条对称轴的是C，D，F，G；有三条对称轴是E；有四条对称轴的是A；有两条对称轴的是B；有五条对称轴的是I；有无数条对称轴的是H.因此，对称轴条数最多的是H.
小结
（1）对称轴是一条直线；
（2）轴对称图形的对称轴至少有1条.
综合应用题
本节知识的综合应用主要是轴对称图形和图形关于某直线对称的综合应用.
例6两个大小不同的圆可以组成如图14－12中的五种图形，请找出每个图形的对称轴，并说一说它们的对称轴有什么共同的特点.
（分析）因为对于一个圆来说，它有无数条对称轴，每条对称轴都是经过圆心的直线，而对于由两个圆组成的图形来说，它的对称轴就是同时经过两个圆圆心的直线，因此图14-12中五个图形都是轴对称图形，并且每个图形都只有1条对称轴.（因为两点确定一条直线而且只确定一条直线）
解：
对称轴略.它们五种图形的对称轴都是经过两圆心的直线，即直线O1O2是对称轴.
探索与创新题
主要考查探索和创新的能力及与代数知识的综合应用.
例7数的运算中会有一些有趣的对称形式，按照等式
（1）的形式填空，并检验等式是否成立，你还能举出一些类似的例子吗？
（1）12×231=132×21
（2）12×462=×
（3）18×891=×
（4）24×231=×
（分析）模仿
（1）题，
（2）题分别填：
264，21，（3）题分别填198，81，（4）题分别填132，42，经检验等式成立.如
（1）中：
12×231=12×21×11=（12×11）×21=132×21，如
（2）中：
12×462=12×42×11=12×21×2×11=（12×2×11）×21=264×21，（3）（4）论证方法同
（1）
（2）类似.
答案：
（2）26421（3）19881（4）13242
学生做一做我们把左右数字排列对称的自然数叫做回文数，请你写出下列回文数是由哪个数的平方得到的？
（1）121=（）2；
（2）14641=（）2；
（3）40804=（）2；
（4）44944=（）2；
老师评一评
（1）121=11×11，∴121=112.
（2）14641=121×121，∴14641=1212.（3）40804=202×202，∴40804=2022.（4）44944=212×212，∴44944=2122
例8图14－13所示，将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，拼成标号为P，Q，M，N的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪个轴对称图形”的对应关系填空：
A与对应；B与对应；
C与对应；D与对应.
答案：
MPQN
提高训练题
例1请用1个等腰三角形，2个矩形，3个圆在下面的方框（如图14－14所示）内设计一个轴对称图形，并用简练的语言文字说明你的创意.
（分析）这是一道开放性题，重点考查轴对称图形的含义和学生的想象能力，答案有多种，只要符合题意即可.本题由同学自己完成.
例2如图14—15所示，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（）
A.4B.6C.8D.10
（分析）关于图形的折叠实质上就是轴对称的一种变形应用，解题时，①应抓住折叠前后的图形全等；②应注意折叠前后的对应关系.画出折叠前后的对比图，找出对应关系.
如图14－16所示，
从△FCE折叠前后的图形中可知，DE=BC=AD=6，
∴△ADE是等腰直角三角形.
∴∠AED=45°.
∴∠FEC=45°.
又∴∠C=90°
∴△ADE是等腰直角三角形.
∴EC=DC-DE=AB-DE=4.
∴S△CEF=
×4×4=8.
答案：
C
例3在图14－17中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？
请指出这个图形，并简述你的理由.
答：
图形；理由是：
.
（分析）主要考查轴对称图形的含义，只有②与另外三个不同.因为①③④都是轴对称图形，而②不是.
答案：
②①③④都是轴对称图形，而②不是
例4如图14－18所示，下列图案中，是轴对称图形的是（）
A.
（1）
（2）B.
（1）（3）C.
（1）（4）D.
（2）（3）
（分析）本题主要考查轴对称图形的含义，是轴对称图形的有
（1）（4）.故正确答案为C项.
学生做一做如图14－19所示，下列图案中，是轴对称图形的是（）
图14-19
A.
（1）
（2）B.
（1）（3）（4）C.
（2）（3）D.
（1）（4）
老师评一评是轴对称图形的是
（1）（3）（4），故正确答案为B项.
例5如图14－20所示，下图是由一个圆，一个半圆和一个三角形组成的图形，请你以直线AB为对称轴，把原图形补成轴对称图形.（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（分析）主要考查画轴对称图形的方法.
解：
如图14－21所示.
例6如图14－22所示，下列四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（）
（分析）在A，B，C，D中，除C外均是轴对称图形，其中A有2条对称轴，B有4条对称轴，D有1条对称轴，所以正确答案为B项.
例7如图14-23所示的是一个在19×16的点阵图上画出的“中国结”，点阵的每行及每列之间的距离都是1，请你画出“中国结”的对称轴，并直接写出阴影部分的面积
图14-23
（分析）本题考查点有两个，一是找轴对称图形的对称轴，二是求阴影部分的面积.由轴对称的性质可知，先求出对称轴左半部分的面积，再乘以2即是阴影部分的面积.对称轴左半部分有16个阴影小正方形，面积是2×16=32，故阴影部分的面积为32×2=64.
解：
（1）如图14－24所示.
（2）图中阴影部分的面积是64.
例8如图14－25所示的图形是对称图形.
答案：
轴
自我评价知识巩固
1.如果O是线段AB的垂直平分线与AB的交点，那么=.
2.设MN是线段AB的垂直平分线，当点P在MN上运动时，PA，PB的长度都随之变化，但总保持.
3.如图14－27所示，OM是∠AOB的平分线，MA⊥OA，交OA于A，MB⊥OB，交OB于B，如果∠AOB=120°，则∠AMO=，∠BMO=，∠AMB=，AM=，理由是.
4.如图14－28所示，AB=AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB+D，交AC于E，求△BCE的周长.
5.
（1）下面每个网格内的两个图形（如图14－29所示）都是成轴对称的，请画出它们的对称轴；
（2）如图14－30所示，以虚线为对称轴，画出图形的另一半；
（3）画出如图14－31所示的图形关于直线l的对称图形.
6.某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图14－32所示（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.
（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？
在所给的图形中画出你的设计方案；
（2）阐述你设计的理由.
7.欣赏下面对联，感悟轴对称在文学中的踪影.
（1）秀山青雨青山秀，香柏古风古柏香；
（2）雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天.
观察上述对联，你也试一试，作出一幅类似的对联.
参考答案
1.OAOB2.PA=PB3.30°30°60°BM角的平分线上的点到角两边的距离相等
4.解：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB.
∴BC+CE+BE=BC+CE+EA=BC+AC=12+7=19.
∴△BCE的周长为19.
5.略6.
（1）仓库在线段MN的垂直平分线和∠AOB的平分线的交点上.
（2）角的平分线的性质和线段垂直平分线的性质.7.略
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