90解析几何文科测试.docx

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90解析几何文科测试

单元检测九　解析几何

（时间:

120分钟　满分:

150分）

一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）

1.到直线3x-4y+1=0的距离为3且与此直线平行的直线方程是（　　）.

A.3x-4y+4=0

B.3x-4y+4=0,或3x-4y-2=0

C.3x-4y+16=0

D.3x-4y+16=0,或3x-4y-14=0

2.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2）,则它的离心率为（　　）.

A.B.C.D.

3.若椭圆+=1（a>b>0）的离心率为,则双曲线-=1的渐近线方程为（　　）.

A.y=±xB.y=±2x

C.y=±4xD.y=±x

4.过点A（0,3）,被圆（x-1）2+y2=4截得的弦长为2的直线的方程是（　　）.

A.y=-x+3B.x=0,或y=-x+3

C.x=0,或y=x+3D.x=0

5.已知F1（-c,0）,F2（c,0）为椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点且·=c2,则此椭圆离心率的取值范围是（　　）.

A.B.C.D.

6.（2011天津高考,文6）已知双曲线-=1（a>0,b>0）的左顶点与抛物线y2=2px（p>0）的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2,-1）,则双曲线的焦距为（　　）.

A.2B.2C.4D.4

7.设A1,A2是椭圆+=1的长轴的两个端点,P1,P2是垂直于A1A2的弦的端点,则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为（　　）.

A.+=1B.+=1

C.-=1D.-=1

8.抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线-=1的一个焦点重合,则该抛物线的标准方程可能是（　　）.

A.x2=4yB.x2=-4y

C.y2=-12xD.x2=-12y

9.设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F,其准线和x轴的交点为C,经过点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若·=0,则|AF|-|BF|=（　　）.

A.

B.-

C.2p

D.-2p

10.设F1,F2分别为双曲线C:

-=1（a>0,b>0）的左、右焦点,A为双曲线的左顶点,以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M,N两点,且满足∠MAN=120°,则该双曲线的离心率为（　　）.

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分）

11.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最小值为　　　　　. 

12.“直线ax+2y+1=0和直线3x+（a-1）y+1=0平行”的充要条件是“a=　　　　　”. 

13.设圆x2+y2=1的一条切线与x轴、y轴分别交于A,B两点,则线段AB长度的最小值为　　　　　. 

14.已知P为直线x+y-25=0上任意一点,点Q为+=1上任意一点,则|PQ|的最小值为　　.

15.已知抛物线C的方程为y2=-8x,设过点N（2,0）的直线l的斜率为k,且与抛物线C相交于点S,T,若S,T两点只在第二象限内运动,线段ST的垂直平分线交x轴于Q点,则Q点横坐标的取值范围为　　　　　. 

三、解答题（本大题共6小题,共75分）

16.（12分）已知三条直线l1:

x-2y=0,l2:

y+1=0,l3:

2x+y-1=0两两相交,先画出图形,再求过这三个交点的圆的方程.

17.（12分）已知椭圆C:

+=1（a>b>0）的右焦点为F,离心率e=,椭圆C上的点到F距离的最大值为+1,直线l过点F与椭圆C交于不同的两点A,B.

（1）求椭圆C的方程;

（2）若|AB|=,求直线l的方程.

18.（12分）已知椭圆C:

+y2=1（a>1）的上顶点为A,左、右焦点为F1,F2,直线AF2与圆M:

x2+y2-6x-2y+7=0相切.

（1）求椭圆C的方程;

（2）若椭圆内的动点P,使|PF1|,|PO|,|PF2|成等比数列（O为坐标原点）.求·的取值范围.

19.（12分）已知动点P到定点F（,0）的距离与点P到定直线l:

x=2的距离之比为.

（1）求动点P的轨迹C的方程;

（2）设M,N是直线l上的两个点,点E与点F关于原点O对称,若·=0,求|MN|的最小值.

20.（13分）已知椭圆C:

+=1（a>b>0）的离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2,抛物线y2=4x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点.

（1）求椭圆C的方程;

（2）已知圆M:

x2+y2=的切线l与椭圆相交于A,B两点,那么以AB为直径的圆是否经过定点?

如果是,求出定点的坐标;如果不是,请说明理由.

21.（14分）已知中心在原点的椭圆C:

+=1的一个焦点为F1（0,3）,M（x,4）（x>0）为椭圆C上一点,△MOF1的面积为.

（1）求椭圆C的方程;

（2）是否存在平行于OM的直线l,使得直线l与椭圆C相交于A,B两点,且以线段AB为直径的圆恰好经过原点?

若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

##

参考答案

一、选择题

1.D　解析:

设所求直线方程为3x-4y+m=0.

由=3,

解得m=16,或m=-14.

即所求直线方程为3x-4y+16=0,或3x-4y-14=0.

2.D　解析:

==

==⇒e=.

3.A　解析:

由题意=,

所以a2=4b2.

故双曲线的方程可化为-=1,

故其渐近线方程为y=±x.

4.B　解析:

当过点A（0,3）且斜率不存在的直线与圆的相交弦长为2,此时,弦所在直线方程为x=0;

当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.

因为弦长为2,圆的半径为2,

所以弦心距为=1,由点到直线距离公式得=1,解得k=-.

综上,所求直线方程为x=0,或y=-x+3.

5.C　解析:

设P（x,y）,·=（-c-x,-y）·（c-x,-y）=x2+y2-c2=c2,

所以,x2+y2=2c2.

又+=1,可得x2+b2-x2=2c2,整理得x2=,而0≤x2≤a2,故0≤≤a2,解得≤e≤.

6.B　解析:

双曲线左顶点A（-a,0）,渐近线方程y=±x（a>0,b>0）;

抛物线焦点F,准线方程:

x=-（p>0）.

由题意知|AF|=4,∴a+=4.

又∵点（-2,-1）既在渐近线上又在抛物线的准线上,

∴-=-2,

∴p=4,a=2.又-1=·（-2）,

∴b=1,

∴双曲线的半焦距c==,焦距为2.

7.C　解析:

设交点为P（x,y）,A1（-3,0）,A2（3,0）,P1（x0,y0）,P2（x0,-y0）.

∵A1,P1,P共线,∴=.①

∵A2,P2,P共线,∴=.②

由①②解得x0=,y0=,

代入+=1,

化简,得-=1.

8.D　解析:

由题意,得c==3.

∴抛物线的焦点坐标为（0,3）或（0,-3）.

∴抛物线的标准方程为x2=12y或x2=-12y.

9.C　解析:

设A,

B,C,F（p>0）,

则由·=0知,CB⊥FB,

由勾股定理得,|CF|2=|CB|2+|BF|2,即p2=+++,

解得=（-2）p2.

由y1y2=-p2知==（+2）p2,

于是|AF|-|BF|=-=p-p=2p.

10.D　解析:

由题意可知,圆的方程为x2+y2=c2,

不妨设双曲线的渐近线方程为y=x,

将其代入圆的方程得M（a,b）,N（-a,-b）.

设双曲线的右顶点为B,

则B（a,0）,又顶点A（-a,0）,故∠NAO=90°.

又∠MAN=120°,所以∠BAM=30°.

连接MB,在Rt△MAB中,tan∠BAM===,=,

所以e===.故选D.

二、填空题

11.　解析:

由题意知F（-2,0）,设点P（x0,y0）,

则有+=1,

可得=5.

又=（x0,y0）,=（x0+2,y0）,

∴·=x0（x0+2）+=+2x0+5=+2x0+5.

又x0∈（-3,3）,

∴当x0=-时,·取得最小值,

·的最小值为×+2×+5=.

12.-2　解析:

由

得a=-2,

∴两直线平行的充要条件是“a=-2”.

13.2　解析:

设直线AB的方程为+=1,此直线与圆x2+y2=1相切,

则有d===1,即得=|ab|≤,解得|AB|=≥2,当且仅当|a|=|b|时,等号成立.

即线段AB长度的最小值为2.

14.10　解析:

设与直线x+y-25=0平行且与椭圆相切的直线的方程为x+y-m=0（m>0）,如图,可知两平行线间的距离即为|PQ|的最小值,

由得25x2-32mx+16m2-16×9=0,

则Δ=（-32m）2-4×25×（16m2-16×9）=0,解得m=5.

∴两平行线间的距离为=10,

即|PQ|的最小值为10.

15.（-∞,-6）　解析:

设S（x1,y1）,T（x2,y2）,

由题意得ST的方程为y=k（x-2）（显然k≠0）,与y2=-8x联立消元得ky2+8y+16k=0,

则有y1+y2=-,y1y2=16.

因为直线l交抛物线C于两点,则Δ=64-64k2>0,

再由y1>0,y2>0,则->0,故-1

可求得线段ST的中点B的坐标为,

所以线段ST的垂直平分线方程为y+=-,

令y=0,得点Q的横坐标为xQ=-2-<-6,

所以Q点横坐标的取值范围为（-∞,-6）.

三、解答题

16.解:

由题意可知,l2平行于x轴,l1与l3互相垂直.

三交点A,B,C构成直角三角形,经过A,B,C三点的圆就是以AB为直径的圆.

解方程组得

所以点A的坐标是（-2,-1）.

解方程组得

所以点B的坐标是（1,-1）.

线段AB的中点坐标是,

又|AB|==3,

所以所求圆的标准方程是+（y+1）2=.

17.解:

（1）由题意知,=,a+c=+1,

所以a=,c=1,从而b=1,

故椭圆C的方程为+y2=1.

（2）容易验证直线l的斜率不为0,故可设直线l的方程为x=my+1,代入+y2=1中,得（m2+2）y2+2my-1=0.

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,

则由根与系数的关系,得y1+y2=-,y1y2=-.

则|AB|=|y2-y1|

=

=

==,

解得m=±.

所以,直线l的方程为x=±y+1,即x+y-1=0或x-y-1=0.

18.解:

（1）将圆M的一般方程x2+y2-6x-2y+7=0化为标准方程（x-3）2+（y-1）2=3,圆M的圆心为M（3,1）,半径长r=.

由A（0,1）,F2（c,0）（c=）得直线AF2:

+y=1,即x+cy-c=0.

由直线AF2与圆M相切,

得=,

解得c=,或c=-（舍去）.

当c=时,a2=c2+1=3,

故椭圆C的方程为+y2=1.

（2）由

（1）知F1（-,0）,F2（,0）,

设P（x,y）,由题意|PO|2=|PF1|·|PF2|,

即（）2=·,

化简得x2-y2=1.

·=x2-2+y2=2x2-3.

∵1≤x2<,

∴-1≤·<0.

19.解:

（1）设点P（x,y）,依题意,有=.

整理,得+=1.

所以动点P的轨迹C的方程为+=1.

（2）∵点E与点F关于原点O对称,

∴点E的坐标为（-,0）.

∵M,N是直线l上的两个点,

∴可设M（2,y1）,N（2,y2）（不妨设y1>y2）.

∵·=0,

∴（3,y1）·（,y2）=0,

即6+y1y2=0,即y2=-.

由于y1>y2,则y1>0,y2<0,

∴|MN|=y1-y2=y1+

≥2=2.

当且仅当y1=,y2=-时,等号成立.

故|MN|的最小值为2.

20.解:

（1）∵椭圆C的离心率e=,

∴=,即a=c.

∵抛物线y2=4x的焦点F（,0）恰好是该椭圆的一个顶点,

∴a=,∴c=1,b=1.

∴椭圆C的方程为+y2=1.

（2）①当直线l的斜率不存在时.

∵直线l与圆M相切,故其中的一条切线方程为x=.

由

得A,B,

则以AB为直径的圆的方程为+y2=.

②当直线l的斜率为零时.

∵直线l与圆M相切,故其中的一条切线方程为y=-.

由

得A,B,

则以AB为直径的圆的方程为x2+=.

显然以上两圆的一个交点为O（0,0）.

③当直线l的斜率存在且不为零时.

设直线l的方程为y=kx+m.

由

消去y得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0.

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则x1+x2=,x1·x2=.

所以y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=.

所以·=x1x2+y1y2=.①

因为直线l和圆M相切,所以圆心到直线l的距离d==,整理得m2=（1+k2）.②

将②式代入①式,得·=0,显然以AB为直径的圆经过定点O（0,0）.

综上可知,以AB为直径的圆过定点（0,0）.

21.解:

（1）因为椭圆C的一个焦点为F1（0,3）,

所以b2=a2+9.

则椭圆C的方程为+=1.

因为x>0,所以=×3×x=,解得x=1.

故点M的坐标为（1,4）.

因为M（1,4）在椭圆上,

所以+=1,得a4-8a2-9=0,解得a2=9或a2=-1（不合题意,舍去）,

则b2=9+9=18,所以椭圆C的方程为+=1.

（2）假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A（x1,y1）,B（x2,y2）两点,

其方程为y=4x+m（因为直线OM的斜率k=4）.

由消去y化简得18x2+8mx+m2-18=0.

进而得到x1+x2=-,x1x2=.

因为直线l与椭圆C相交于A,B两点,

所以Δ=（8m）2-4×18×（m2-18）>0,

化简得m2<162,解得-9

因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点,所以·=0,

所以x1x2+y1y2=0.

又y1y2=（4x1+m）（4x2+m）=16x1x2+4m（x1+x2）+m2,

x1x2+y1y2=17x1x2+4m（x1+x2）+m2=-+m2=0.

解得m=±.

由于±∈（-9,9）,

所以符合题意的直线l存在,且所求的直线l的方程为y=4x+或y=4x-.