④∵a0,
∴<,∴<.
11.已知a,b,c在数轴
上的位置如图所示.
(第11题)
(1)求+|b|-的值;
(2)比较a+b,b+c,c-b的大小,用“>”号将它们连接起来.
【解】
(1)由图知,a<0,b<0,c>0,a
∴+|b|-=-b-=1.
(2)c-b>b+c>a+b.
12.关于x的不等式x>表示在数轴上的位置如图所示,求a的值.
(第12题)
【解】 由图可知,x
>-1,
∴=-1,
解得a=1.
13.已知a,b,c是三角形的三边,求证:
++<2.
【解】 由“三角形两边之和大于第三边”可知,
,,均是真分数,再利用分数与不等式的性质,得<=,
同理,<,<.
∴++<++==2.
3.3 一元一次不等式
(一)
1.有下列不等式:
①-6<0;②>6;③2y-3<3x+2;④2x+1≥6(x-3);⑤x2-3x-4<0;⑥<1-
.其中是一元一次不等式的有④⑥(填序号).
2.填空:
(1)不等式2x>4的解是x>2;
(2)不等式3≤-2x的解是x≤-;
(3)不等式1-3x≥2的
解是x≤-;
(4)不等式-x<-4的解是x>5.
3.不等式2x-6>0的解集在数轴上表示正确的是(A)
4.不等式4-3x≥2x-6的非负整数解有(C)
A.1个B.2个
C.3个D.4个
5.下列不等式的解是x<2的是(B)
A.4-2x<0B.-4x>-8
C.6+3x>10+xD.5x-3≥7x-
7
6.解下列
不等式,并把它们的解表示在数轴上:
(1)-3x>3;
(2)2x-4<-8;
(3)5x+2≥7x+20;
(4)x≥x-2.
【解】
(1)x<-1.在数轴上表示如下
:
[第6
(1)题解]
(2)2x<-4,x<-2.在数轴上表示如下:
[第6
(2)题解]
(3)5x-7x≥20-2,-2x≥18,x≤-9.在数轴上表示如下:
[第6(3)题解]
(4)x-x≥-2,
x≥-2,x≥-3.在数轴上表示如下:
[第6(4)题解]
7.解不等式x-4<1-x,把它的解表示在数轴上,并求出适合不等式的最大负整数和最大正整数.
【解】 x+x<1+4,2x<
5,x<.在数轴上表示如下:
(第7题解)
适合不等式的最大负整数是-1,最大正整数是2.
8.关于x的方程mx-1=2x的解为正实数,则m的取值范围是(C)
A.m≥2B.m≤2
C.m>2D.m<2
【解】 mx-1=2x,(m-2)x=1,得x=.
∵方程mx-1=2x的解为正实数,
∴>0,解得m>2.
9.若x=a+1是不等式x-1<2的解,则a__<5__.
【解】 把x=a+1代入x-1<2,得
(a+1)-1<2,
a+-1<2,
a-<2,
a<,
∴a<5.
10.若关于x,y的二元一次方程组的解满足x+y>1,则k的取值范围是k>2.
【解】
①+②,得3x+3y=3k-3,∴x+y=k-1.
∵x+y>1,
∴k-1>1,
解得k>2.
11.关于x的不等式(a-1)x>a+5和2x>4的解相同,则a的值为7
.
【解】 由2x>4,得x>2.
由(a-1)x>a+5,得x>.
∵两个不等式的解相同,
∴=2,解得a=7.
12.若不等式(2x+1)-5<3(x-1)+3的最小整数解是方程x-ax=5的解,求代数式a2-2a-11的值.
【解】 (2x+1)-5<3(x-1)+3,
解得x>-4,
最小整数解是x=-3.
把x=-3代入x-ax=5,
则-1+3a=5,
a=2,
把a=2代入a2-2a-11,得
a2-2a-11=22-2×2-11=-11.
13.请阅读求绝对值不等式|x|<3和|x|>3的解的过程:
因为|x|<3,从如图①所示的数轴
上看:
大于-3而小于3的数的绝对值是小于3的,所以|x|<3的解是-3<x<3;
因为|x|>3,从如图②所示的数轴上看:
小于-3的数和大于3的数的绝对值是大于3的,所以|x|>3的解是x<-3或x>3.
(第13题)
解答下面的问题:
(1)不等式|x|<a(a>0)的解为-a<x<a,不等式|x|>a(a>0)的解为x>a或x<-a;
(2)解不等式|x-5|<3;
(3)解不等式|x-3|>5.
【解】
(2)|x-5|<3,
∴-3<x-5<3,
∴2<x<8.
(3)|x-3
|>5,
∴x-3>5或x-3<-5,
∴x>8或x<-2.
3.3 一元一次不等
式
(二)
1.已知不等式1->3+,去分母,得6-3(x-3)>18+2x.
2.若|4x-2|=2-4x,则x的取值范围是x≤.
3.在不等式x-4≥-5中,x可取
的最小整数是__-2__.
4.如果对符号作如下规定:
=ad-bc,例如=3×6-4×5=-2,那么≥14的解为x≥22.
5.将不等式-1>
去分母,得(C)
A.2(x-1)-1>x-2
B.2(x-1)-2>x-2
C.2(x-1)-4>x-2
D.2(x-1)-4>2(x-2)
6.若关于x,y的二元一次方程组的解满足x+y<2,则a的取值范围是(D)
A.a>2B.a<2
C.a>4D.a<4
7.解下列不等式,并把不等式的解在数轴上表示出来:
(1)3(y-3)<4(y+1)+2;
(2)≥-.
【解】
(1)3y-9<4y+4+2,-y<15,y>-15.
解在数轴上表示如下:
[第7
(1)题解]
(2)12≥4x-(2x-3),12≥4x-2x+3,x≤.
解在数轴上表示如下:
[第7
(2)题解]
8.当k为何值时,代数式的值不大于代数式的值?
【解】 根据题意,得≤,解得k≤.∴当k≤时,代数式的值不大于代数式的值.
9.不等式2x-1≤13的解中最大值是m,不等式-3x
-1≤-7的解中最小值为n,求不等式nx+mn<mx的解.
【解】 解不等式2x-1≤13,得x≤7,则m=7.
解不等式-3x-1≤-7,得x≥2,则n=2.
则不等式nx+mn<mx
就是2x+14<7x,
解得x>.
10.若关于x的不等式<没有正数
解,则k的取值范围为k≥.
【解】 <,
去分母,得3(3x+k)<2(5-2x),
整理,得13x<10-3k,
∴x<.
∵没有正数解,
∴≤0,
解得k≥.
11.已知关于x的不等式x+4<2x+a的解也是不等式<的解,求a的取值范围
.
【解】 解不等式<,得x>-1.
解不等式x+4<2x+a,得x>6-a.
由已知得-1≤6-a,解得a≤7.
12.三个连续的正偶数的和不大于18,这样的偶数有几组?
把它们分别写出来.
【解】 设这三个连续的正偶数为(2n-2),2n,(2n+2),
则有(2n-2)+2n+(2n+2)≤18,
∴6n≤18,即n≤3.
又∵2n-2>0,
∴n>1.∴n=2,3.
∴这样的偶数有两组,分
别为2,4,6和4,6,8.
13.已知实数x满足-≥-,求2|x-1|+|x+4|的最小值.
【解】 原不等式两边同乘30,得
15(3x-1)
-10(4x-2)≥6(6x-3
)-39.
化简,得-31x≥-62.
解得x≤2.
(1)当x
≤-4时,原式=
-2(x-1)-(x+4)=-3x-2,
∴当x=-4时,原式的值最小,为(-3)×(-4)-2=10.
(2)当-4≤x≤1时,原式=-2(x-1)+(x+4)=-x+6,
∴当x=1时,原式的值最小,为5.
(3)当1≤x≤2时,原式=2(x-1)+(x+4)=3x+2,
∴当x=1时,原式的值最小,为5.
综上所述,2|x-1|+|x+4|的最小值为5(在x
=1时取得).
14.已知|x-2|+(2x-y+m)2=0,问:
当m为何值时,y≥0?
【解】 ∵|x-2|+(2x-y+m)2=0,
|x-2|≥0,(2x-y+m)2≥0,
∴
∴
∴
要使y≥0,则m+4≥0,
∴m≥-4,
即当m≥-4时,y≥0.
3.3 一元一次不等式(三)
1.小敏准备用350元零用钱给贫困地
区的学生买一些钢笔.若钢笔每支18元,则小敏最多能购买__19__支.
2.一个长方形的长为x(m),宽为50
m,如果它的周长不小于280m,那么x应满足x≥90.
3.若干名同学合影,每人交费0.7元,一张底片0.68元,冲印一张相片0.5元,每
人分一张,并将收来的钱尽量用完,则这张照片上的同学至少有__4__名.
4.在一次社会实践活动中,某班可筹集到的活动经费最多为900元.若此项活动租车需300元,每个学生活动期间所需经费为15元,则参加这项活动的学生人数最多为__40__人.
5.小芳用30元钱买笔记本和练习本共20本,已知每本笔记本4元,每本练习本0.5元,那么她最多能买笔记本(B)
A.4本B.5本C.6本D.7本
6.某汽车厂改进生产工艺后,每天生产的汽车数量比原来多6辆,15天的产量就超过了原来20天的产量,问:
原来每天最多能生产多少辆汽车?
【解】 设原来每天生产x辆,
15(x+6)>20x,解得x<18.
答:
原来每天最多能
生产17辆汽车.
7.有10个菜农,每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩.已知种甲种蔬菜每亩可获利0.5万元,种乙种蔬菜每亩
可获利0.8万元.若要使总获利不低于15.6万
元,最多安排多少人种甲种蔬菜
?
【解】 设最多安排x人种甲种蔬菜,则安排(10-x)人种乙种蔬菜,由题意,得
0.5×3x+0.8×2(10-x)
≥15.6,解得x≤4.
∴x的最大整数解为x=4.
答:
最多安排4人种甲种蔬菜.
8.采石厂工人进行爆破时,为了确保安全,点燃炸药导火线后要在炸药爆破前转移到400m及以外的安全区域,导火线的燃烧速度是1cm/s,人离开的速度是5m/s,则导火线的长度至少需要(D)
A.70cmB.75cmC.79cmD.
80cm
【解】 设导火线长x(cm),由题意,得
≥,解得x≥80.
9.某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销,用32000元购进了一批这种运动服,上市后很快脱销.商场又用68000元购进第二批这种运动服,所购数量是第一
批购进数量的2倍,但每套进价多了10元.
(1)该商场两次共购进这种运动服多少套?
(2)如果这两批运动服每套的售价相同,且全部售完后总利润率不低于20%,那么每套售价至少是多少元(不考虑运费等其他因素,利润率=×100%)?
【解】
(1)设商场第一次购进x套运动服,由题意,得-=10,解得x=200.
经检验,x=200是所列方程的根.
2x+x=2×200+200=600.
∴商场两次共购进这种运动服600套.
(2)设每套运动服的售价为y元,由题意,得≥20%,解得y≥200.
∴每套运动服的售价至少是200元.
10.为了援助失学儿童,小明从2014年1月份开始,每月将相等数额的零用钱存入已有部分存款的储蓄盒内,准备每6个月将储蓄盒内存款一并汇出(汇款手续费不计).已知2月份存款后清点储蓄盒内有存款80元,5月份存款后清点储蓄盒内有存款125元.
(1)在小明2014年1月份存款前,储蓄盒内已有存款多少元?
(2)为了实现到2017年6月份存款后存款总数超过1000元的目标,小明计划从2015年1月份开始,每月存款都比2014年每月存款多t元(t为整数),求t的最小值.
【解】
(1)设小明每月存款x元,储蓄盒内原有存款y元,依题意,得
解得
即储蓄盒内已有存款50元.
(2)由
(1)得,小明2014年共有存款12×15+50=230(元),
∵2
015年1月份后每月存入(15+t)元,2015年1月到2017年6月共有30个月,
∴依题意