故c
1.判断函数单调性的常用方法
(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察.
(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数,常转化为基本初等函数单调性的判断问题.
(3)对于解析式较复杂的一般用导数法.
(4)对于抽象函数一般用定义法.
2.函数奇偶性的应用
函数
的奇偶性反映了函数图象的对称性,是函数的整体特性.
利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上,是简化问题的一种途径.尤其注意偶函数f(x)的性质:
f(|x|)=f(x).
3.函数图象的对称性
(1)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称.提醒:
函数y=f(a+x)与y=f(a-x)的图象对称轴为x=0,并非直线x=a.
(2)若f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称.
(3)若函数y=f(x)满足f(x)=2b-f(2a-x),则该函数图象关于点(a,b)成中心对称.
4.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体,要深刻理解它们之间的
相互关系,能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题,高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中,并且大都出现在解答题中.
5.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响,解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数a的范围.
比较两个对数的大
小或解对数不等式或解对数方程时,一般是构造同底的对数函数,若底数不同,可运用换底公式化为同底的对数,三数比较大小时,注意与0比较或与1比较.
6.解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用.
1.已知函数f(x)=e|lnx|-,则函数y=f(x+1)的大致图象为( )
答案 A
解析 据已知关系式可得
f(x)=
作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y=f(x+1)的图象.
2.定义在R上的奇函数f(x)满足:
对任意的x1,x2∈(-∞,0)(x1≠x2),有>0.则有( )
A.f(0.32)B.f(log25)C.f(log25)D.f(0.32)答案 A
解析 由已知可知f(x)在(-∞,0)上递增,
又f(x)为奇函数,故f(x)在(0,+∞)上递增,
∵0.32<20.3∴f(0.32)3.已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,那么在区间[-1,3]内关于x的方程y=kx+k+1(k∈R,k≠-1)的根的个数为( )
A.不可能有3个B.最少有1个,最多有4个
C.最少有1个,最多有3个D.最少有2个,最多有4个
答案 B
解析 函数f(x)的图象如图所示:
函数g(x)=kx+k+1=k(x+1)+1恒过定点(-1,1),
故选B.
(推荐时间:
40分钟)
一、选择题
1.下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( )
A.y=cos2x,x∈R
B.y=log2|x|,x∈R且x≠0
C.y=,x∈R
D.y=x3+1,x∈R
答案 B
解析 由函数是偶函数可以排除C和D,
又函数在区间(1,2)内为增函数,而此时y=log2|x|=log2x为增函数,所以选B.
2.已知函数y=f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=lgx,则f的值等于( )
A.B.-C.lg2D.-lg2
答案 D
解析 当x<0时,-x>0,则f(-x)=lg(-x).
又函数f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x),
所以当x<0时,f(x)=-lg(-x).
所以f=lg=-2,
f=f(-2)=-lg2.
3.已知函数f(x)=则“c=-1”是“函数f(x)在R上递增”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当c=-1时,易知f(x)在R上递增;
反之,若f(x)在R上
递增,则需有1+c≤0,即c≤-1.
所以“c=-1”是“函数f(x)在R上递增”的充分不必要条件.
4.(2013·课标全国Ⅱ)设a=log36,b=log510,c=log714,则( )
A.c>b>aB.b>c>a
C.a>c>bD.a>b>c
答案 D
解析 设a=log36=1+log32=1+,b=log510=1+log52=1+,c=log714=1+log72=1+,显然a>b>c.
5.若函数f(x)=x2+|x-a|+b在区间(-∞,0]上为减函数,则实数a的取值范围是( )
A.a≥0B.a≤0C.a≥1D.a≤1
答案 A
解析 当a=0或者a=1时,显然,在区间(-∞,0]上为减函数,从而选A.
6.设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)A.[-1,)
B.(-∞,-1]∪(,+∞)
C.(-1,)
D.(-∞,-1)∪(,+∞)
答案 A
解析 ∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|),
∴不等式
f(1-m)又∵当x∈[0,2]时,f(x)是减函数,
∴解得-1≤m<.
7.(2013·四川)函数y=的图象大致是( )
答案 C
解析 由3x-1≠0得x≠0,
∴函数y=的定义域为{x|x≠0},可
排除选项A;
当x=-1时,y==>0,可排除选项B;
当x=2时,y=1,当x=4时,y=,
但从选项D的函数图象可以看出函数在(0,+∞)上是单调递增函数,两者矛盾,可排除选项D.故选C.
8.已知直线y=mx与函数f(x)=的图象恰好有3个不同的公共点,则实数m的取值范围是( )
A.(,4)B.(,+∞)
C.(,5)D.(,2)
答案 B
解析
作出函数f(x)=的图象,如图所示.直线
y=mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线.当斜率m≤0时,直线y
=mx与函数f(x)的图象只有一个公共点;当m>0时,直线y=mx始
终与函数y=2-x(x≤0)的图象有一个公共点,故要使直线y=
mx与函数f(x)的图象有三个公共点,必须使直线y=mx与函数y=x2+1(x>0)的图象有两个公共点,即方程mx=x2+1在x>0时有两个不相等的实数根,即方程x2-2mx+2=0的判别式Δ=4m2-4×2>0,解得m>.故所求实数m的取值范围是(,+∞).
二、填空题
9.设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数a的值为________.
答案 -1
解析 因为f(x)是偶函数,所以恒有f(-x)=f(x),即-x(e-x+aex)=x(ex+ae-x),化简得x(e-x+ex)(a+1)=0.因为上式对任意实数x都成立,所以a=-1.
10.(2012·安徽)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a=________.
答案 -6
解析 利用函数图象确定单调区间.
f(x)=|2x+a|=
作出函数图象,由图象知:
函数的单调递增区间为,
∴-=3,∴a=-6.
11.已知函数f(x)=asinx+bx3+5,且f
(1)=3,则f(-1)=________.
答案 7
解析 因为f
(1)=3,所以f
(1)=asin1+b+5=3,
即asin1+b=-2.
所以f(-1)=-asin1-b+5=-(-2)+5=7.
12.已知奇函数f(x)=给出下列结论:
①f(f
(1))=1;
②函数y=f(x)有三个零点;
③f(x)的递增区间是[1,+∞);
④直线x=1是函数y=f(x)图象的一条对称轴;
⑤函数y=f(x+1)+2图象的对称中心是点(1,2).
其中,正确结论的序号是________.(写出所有正确结论的序号).
答案 ①②
解析 因为f(x)是奇函数,
所以x<0时,f(-x)=x2+2x,
即f(x)=-x2-2x.
可求得a=-1,b=-2.
即f(x)=
①f(f
(1))=f(-1)=-f
(1)=1,①正确;②易知f(x)的三个零点是-2,0,2,②正确;③当x∈(-∞,-1]时,f(x)也单调递增,③错误;④由奇函数图象的特点知,题中的函数f(x)无对称轴,④错误;⑤奇函数f(x)图象关于原点对称,故函数y=f(x+1)+2图象的对称中心应是点(-1,2),⑤错误.故填①②.
13.给出下列四个函数:
①y
=2x;②y=log2x;③y=x2;④y=.
当0恒成立的函数的序号是________.
答案 ②④
解析 由题意知满足条件的图象形状为:
故符合图象形状的函数为y=log2x,y=.
14.已知定义在R上的偶函数满足:
f(x+4)=f(x)+f
(2),且当x∈[0,2]时,y=f(x)单调递减,给出以下四个命题:
①f
(2)=0;
②x=-4为函数y=f(x)图象的一条对称轴;
③函数y=f(x)在[8,10]上单调递增;
④若方程f(x)=m在[-6,-2]上的两根为x1,x2,则x1+x2=-8.
则所有正确命题的序号为________.
答案 ①②④
解析 令x=-2,得f
(2)=f(-2)+f
(2),
又函数f(x)是偶函数,故f
(2)=0;
根据①可得f(x+4)=f(x),可得函数f(x)的周期是