概率论与数理统计期末考试试题优选及解答doc.docx
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概率论与数理统计期末考试试题优选及解答doc
一、填空题（每小题3分，共15分）
1．设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P（A）P（B）0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为
__________.
答案：
0.3
解：
即
所以
P（AB）P（AB）1P（AB）0.9.
2．设随机变量X服从泊松分布，且P（X1）4P（X2），则P（X3）______.
答案：
解答：
2
由P（X1）4P（X2）知ee2e
2
即210
解得1，故
3．设随机变量X在区间（0,2）上服从均匀分布，则随机变量
2
YX在区间（0,4）内的概率密度为
fY（y）_________.
答案：
解答：
设Y的分布函数为FY（y）,X的分布函数为FX（x），密度为fX（x）则
因为X~U（0,2），所以FX（y）0，即FY（y）FX（y）
故
另解在（0,2）上函数
2
yx严格单调，反函数为h（y）y
所以
4．设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为的指数分布，
2
P（X1）e，则_________，
P{min（X,Y）1}=_________.
答案：
2，
-4
P{min（X,Y）1}1e
解答：
2
P（X1）1P（X1）ee，故2
4
1e.
5．设总体X的概率密度为
（1）x,0x1,
f（x）1.
0,
其它
X1,X2,,X是来自X的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.
n
答案：
解答：
似然函数为
解似然方程得的极大似然估计为
$
1
n
i
n
1
ln
1
x
i
1
.
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设A,B,C为三个事件，且A,B相互独立，则以下结论中不正确的是
（A）若P（C）1，则AC与BC也独立.
（B）若P（C）1，则AUC与B也独立.
（C）若P（C）0，则AUC与B也独立.
（D）若CB，则A与C也独立.（）
答案：
（D）.
解答：
因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正
确的，只能选（D）.
事实上由图可见A与C不独立.
S
2．设随机变量X~N（0,1）,X的分布函数为（x），则P（|X|2）的值为
AB
C
（A）2[1
（2）].（B）2
（2）1.
（C）2
（2）.（D）12
（2）.（）
答案：
（A）
解答：
X~N（0,1）所以P（|X|2）1P（|X|2）1P（2X2）
1
（2）
（2）1[2
（2）1]2[1
（2）]应选（A）.
3．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是
（A）X与Y独立.（B）D（XY）DXDY.
（C）D（XY）DXDY.（D）D（XY）DXDY.（）
答案：
（B）
解答：
由不相关的等价条件知，xy0cov（x，y）0
应选（B）.
4．设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为
若X,Y独立，则,的值为
（A）
21
99
.（A）
12
99
.
（C）
11
66
（D）
51
1818
.（）
答案：
（A）
解答：
若X,Y独立则有
P（X2,Y2）P（X2）P（Y2）
2
9
，
1
9
故应选（A）.
5．设总体X的数学期望为,X1,X2,L,Xn为来自X的样本，则下列结论中
正确的是
（A）X1是的无偏估计量.（B）X1是的极大似然估计量.
（C）X1是的相合（一致）估计量.（D）X1不是的估计量.（）
答案：
（A）
解答：
EX，所以X1是的无偏估计，应选（A）.
1
三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个
次品被误认为是合格品的概率为0.02，
求
（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；
（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.
解：
设A‘任取一产品，经检验认为是合格品’
B‘任取一产品确是合格品’
则
（1）P（A）P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）
（2）
P（AB）0.90.95
P（B|A）0.9977
P（A）0.857
.
四、（12分）
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概
率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，
求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.
解：
X的概率分布为
X0123
即
P
2754368
125125125125
X的分布函数为
2318
DX3.
5525
五、（10分）设二维随机变量（X,Y）在区域D{（x,y）|x0,y0,xy1}上服从均匀分布.求
（1）（X,Y）关于X的边缘概率密度；
（2）ZXY的分布函数与概率密度.
解：
（1）（X,Y）的概率密度为
y
1
x+y=1D
D1
0z1x
x+y=z
（2）利用公式fZ（z）f（x,zx）dx
其中
f（x,zx）
2,0x1,0zx1x
0,
其它
2,0x1,xz1.
0,
其它.
当z0或z1时fZ（z）0
z
z=x
0z1时
zz
f（z）2dx2x2z
Z
0
0
故Z的概率密度为
Z的分布函数为
x
或利用分布函数法
六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且
222
N（0,2）分布.求
（1）命中环形区域D{（x,y）|1xy2}的概率；
（2）命中点到均服从
目标中心距离
22
ZXY的数学期望.
解：
（1）P{X,Y）D}f（x,y）dxdy
y
D
（2）
222
rrr
211
2
8882
ed（）eee；
1
8
x
1
012
22
xy
222218
EZE（XY）xyedxdy
8
222
rrr
21
888
reedredr2.
0
0
22
七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：
cm）
2
X~N（,），今抽取容量为16的样本，测得
样本均值x10，样本方差
20.16
s.
（1）求的置信度为0.95的置信区间；
（2）检验假设
2
H0:
0.1（显着性水平为0.05）.
（附注）t0.05（16）1.746,t0.05（15）1.753,t0.025（15）2.132,
解：
（1）的置信度为1下的置信区间为
所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）
（2）
2
H0:
0.1的拒绝域为
22（n1）.
因为
2
215S
2
151.6240.05（15）24.996
，
0.1
22
2424.996（15），所以接受H.
0.05
0
《概率论与数理统计》期末考试试题（A）
专业、班级：
姓名：
学号：
一、单项选择题（每题3分共18分）
1．D2．A3．B4．A5．A6．B
题号一二三四五六七八九十十一十二总成绩
得分
一、单项选择题（每题3分共18分）
（1）
（2）设随机变量X其概率分布为X-1012
P0.20.30.10.4
则P{X1.5}（）。
（A）0.6（B）1（C）0（D）
1
2
（3）
设事件A1与A2同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是（）
（A）（）（）
PAPA1A（B）P（A）P（A1）P（A2）1
2
（C）（）（）
PAPA1A（D）P（A）P（A1）P（A2）1
2
（4）
（5）设X1,X2,,Xn为正态总体N（,2）的一个简单随机样本，其中2,
未知，则（）是一个统计量。
（A）
n
22
X（B）
i
n
（X）
i
2
i1i1
X
（C）X（D）
（6）设样本X1,X2,,Xn来自总体
X~N（,未知。
统计假设2）,
2）,
2
为H0：
（已知）H：
。
则所用统计量为（）
0010
（A）U
X
0（B）
n
T
X
S
0
n
（C）
2
2（n1）S
2
（D）
n
21（）
2
X
i
2
i1
二、填空题（每空3分共15分）
（1）如果P（A）0,P（B）0,P（AB）P（A），则P（BA）.
（2）设随机变量X的分布函数为
则X的密度函数f（x），P（X2）.
（3）
（4）设总体X和Y相互独立,且都服从N（0,1），
X1,X,X是来自总体X的
29
样本，Y1,Y2,Y9是来自总体Y的样本，则统计量
U
X
1
2
Y
1
X
9
2
Y
9
服从分布（要求给出自由度）。
五、（6分）设随机变量X的概率密度为
f（x）
x
e,x0
0,
其它
，
求随机变量Y=2X+1的概率密度。
解：
因为y2x1是单调可导的，故可用公式法计算⋯⋯⋯⋯.1分
当X0时，Y1⋯⋯⋯⋯.2分
由y2x1，得
y11
x,x'⋯⋯⋯⋯4分
22
y11
f（）y1
22
y）
从而Y的密度函数为fY（⋯⋯⋯⋯..5分
0y1
1
2
e
y1
2
y1
=⋯⋯⋯⋯..6分
0y1
六、（8分）已知随机变量X和Y的概率分布为
而且P{XY0}1.
（1）求随机变量X和Y的联合分布;
（2）判断X与Y是否相互独立?
解：
因为PXY01，所以PXY00
（1）根据边缘概率与联合概率之间的关系得出
-101
0000
1
⋯⋯⋯⋯.4分
（2）因为PX0,Y00PX0PY0
所以X与Y不相互独立
1
2
1
2
1
4
⋯⋯⋯⋯8分
七、（8分）设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为
求：
（1）P（0X1,0Y2）；
（2）求X的边缘密度。
12
解：
（1）
（34y）
x⋯⋯⋯⋯..2分
P（0X1,0Y2）dx12edy
00
12
3x4=
4y
3edxedy
00
e
1
3xe4y
0
2
0
=[
38
1e][1e]⋯⋯⋯⋯.4分
（3x4y）
（2）f（xedy⋯⋯⋯⋯..6分
）12X
3x
3ex0
0x0
⋯⋯⋯⋯⋯..8分
1
八、（6分）一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从参数为
4
的指数分
布。
工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。
若工厂售出
一台设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，求工厂出售一台
设备净盈利的期望。
1
解：
因为）
X~e（得
4
f（x）
1
4
e
0
1
4
x
x0
x0
⋯⋯⋯⋯.2分
用Y表示出售一台设备的净盈利
100X1
Y⋯⋯⋯⋯3分
1003000X1
x1
1
则4
4
P（Y100）edxe
14
PY
x
1
1
4
200edx1e
0
4
1
4
⋯⋯⋯..4分
11
所以100（200）（14）
4
EYee
1
300e433.64（元）⋯⋯⋯..6分
200
九、（8分）设随机变量X与Y的数学期望分别为2和2，方差分别为1和4，
而相关系数为0.5，求E（2XY）,D（2XY）。
解：
已知2,2,1,4,0.5
EXEYDXDY
XY
则E（2XY）2EXEY2
（2）26⋯⋯⋯.4分
D（2XY）D（2X）DY2cov（2X,Y）⋯⋯⋯.5分
2DXDY4cov（X,Y）⋯⋯⋯.6分
2DXDY4DXDY=12⋯⋯⋯⋯..8分
XY
十、（7分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。
已知每户每日用电量（单位：
度）服从[0，20]上的均匀分布，利用中心极限
定理求这1000户居民每日用电量超过10100度的概率。
（所求概率用标准
正态分布函数（x）的值表示）.
解：
用
X表示第i户居民的用电量，则Xi~U[0,20]
i
020
EX10
i
2
2
（200）100
DX⋯⋯⋯2分
i
123
1000则1000户居民的用电量为
XX，由独立同分布中心极限定理
ii1
PX101001PX10100⋯⋯⋯3分
=1
X10001010100100010
P⋯⋯⋯4分
100100
10001000
33
10100100010
1（）⋯⋯⋯.6分
100
1000
3
3
=1（）⋯⋯⋯7分
10
十一、（7分）设
x1,2,,是取自总体X的一组样本值，X的密度函数为
xx
n
其中0未知，求的最大似然估计。
解:
最大似然函数为
nn
L（x1,,xn,）f（x）
（1）x⋯⋯⋯.2分
iii1i1
nxx⋯⋯⋯.3分=
（1）（1,,n）
则
0x1xn1⋯⋯⋯..4分
,
dlnLn
令ln（,,）0
x1xn
d1
于是的最大似然估计：
⋯⋯⋯..5分
?
1
lnln（
n
x1,,xn
）
。
⋯⋯⋯.7分
十二、（5分）某商店每天每百元投资的利润率X~N（,1）服从正态分布，均值
为，长期以来方差
2稳定为1，现随机抽取的100天的利润，样本均
值为x5，试求的置信水平为95%的置信区间。
（t0.05（100）1.99,
（1.96）0.975）
X
解：
因为已知，且~N（0,1）
n
⋯⋯⋯⋯1分
X
故PU1⋯⋯⋯⋯2分
2
n
依题意0.05,U1.96,n100,1,x5
2
则的置信水平为95%的置信区间为
[
xU,xU]⋯⋯⋯⋯4分
2nn
22nn
即为[4.801,5.199]⋯⋯⋯⋯5分
《概率论与数理统计》课程期末考试试题（B）
专业、班级：
姓名：
学号：
题号一二三四五六七八九十十一十二总成绩
得分
一、单项选择题（每题3分共15分）
（1）
（2）
（3）
x,0x1
连续随机变量X的概率密度为f（x）2x,1x2
0,
其它
则随机变量X落在区间（0.4,1.2）内的概率为（）.
（A）0.64;（B）0.6;（C）0.5;（D）0.42.
（4）
（5）
二、填空题（每空2分共12分）
（1）
（2）
（3）
（4）
三、（7分）已知P（A）0.5,P（B）0.6，条件概率P（BA）0.8,试求P（AB）..
四、（9分）.设随机变量X的分布函数为F（x）ABarctanx,x，
求:
（1）常数A,B；
（2）P（X1）；（3）随机变量X的密度函数。
五、（6分）某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15，
第2车间的次品率为0.12.两个车间生产的成品都混合堆放在一个仓库中，
假设1、2车间生产的成品比例为2：
3，今有一客户从成品仓库中随机提台
产品，求该产品合格的概率.
六、（8分）已知甲、乙两箱装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次
品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求乙箱
中次品件数的分布律及分布函数F（x）.
七、（7分）设随机变量X的密度函数为
求随机变量的函数
x
Ye的密度函数fY（y）。
八、（6分）现有一批钢材，其中80%的长度不小于3m，现从钢材中随机取出100
根，试用中心极限定理求小于3m的钢材不超过30的概率。
（计算结果用标
准正态分布函数值表示）
九、（10分）设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为
求：
（1）P（0X1,0Y2）；
（2）求X,Y的边缘密度;（3）判断X与Y是
否相互独立
十、（8分）．设随机变量（X,Y）的联合密度函数为
求E（X）,E（Y）,E（XY）,进一步判别X与Y是否不相关。
十一、（7分）.设
X1,X,,X是来自总体X的一个简单随机样本，总体X的密度函数为
2n
求的矩估计量。
_
十二、（5分）总体X~N（,1）测得样本容量为100的样本均值X5，求X的
数学期望的置信度等于0.95的置信区间。
（t0.05（100）1.99,
（1.96）0.975）
一、单项选择题：
（15分）
1、D
2、D
3、B
4、A
5、C
二、填空题：
（12分）
1、t,9;
2、-1
3、
2更
4、
X
S/n
SS
，（X/2
（1）,/2
（1））;
tnXtn
nn
三、（7分）
解：
四、（9分）
解：
（1）由
1F（）AB.......................1分
2
得
11
A,B.......................3分
2
（2）
1
P（X）F
（1）F
（1）.......................6分
2
1
（3）（）
f.......................9分
（x）F（x）2x
（1x）
五、（6分）
六、（8分）
解：
设用X表示乙箱中次品件数，则X的分布律为
X的分布函数F（x）为
七、（7分）
解:
八、（6分）
解:
九、（10分）
解：
12
（3x4y）
（1）P（0X1,0Y2）=dxedy
12.......................2分
00
3e8
=（1e）
（1）...........
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