概率论与数理统计期末考试试题优选及解答doc.docx

1、概率论与数理统计期末考试试题优选及解答doc一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1 设事件 A,B 仅发生一个的概率为 0.3，且 P( A) P(B) 0.5 ，则 A,B 至少有一个不发生的概率为_.答案： 0.3解：即所以P( A B ) P(AB) 1 P(AB) 0.9.2 设随机变量 X 服从泊松分布，且 P( X 1) 4P( X 2) ，则 P( X 3) _.答案：解答：2由 P( X 1) 4P( X 2) 知 e e 2 e2即 2 1 0解得 1，故3 设随机变量 X 在区间 (0,2 ) 上服从均匀分布，则随机变量2Y X 在区间 (0,4) 内的概率密度为fY

2、 ( y) _.答案：解答：设 Y 的分布函数为 FY ( y), X 的分布函数为 FX (x) ，密度为 f X (x) 则因为 X U (0, 2) ，所以 FX ( y) 0，即 FY ( y) FX ( y)故另解 在 (0, 2) 上函数2y x 严格单调，反函数为 h( y) y所以4 设随机变量 X ,Y 相互独立，且均服从参数为 的指数分布，2P(X 1) e ，则 _ ，Pmin( X ,Y ) 1 =_.答案： 2，-4Pmin( X,Y) 1 1 e解答：2P(X 1) 1 P(X 1) e e ，故 241 e .5 设总体 X 的概率密度为( 1)x , 0 x 1

3、,f (x) 1. 0,其它X1 , X2 , , X 是来自 X 的样本，则未知参数 的极大似然估计量为 _.n答案：解答：似然函数为解似然方程得 的极大似然估计为$1nin1ln1xi1.二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1设 A, B,C 为三个事件，且 A, B 相互独立，则以下结论中不正确的是（A）若 P(C) 1，则 AC 与 BC 也独立 .（B）若 P(C) 1，则 AU C 与 B 也独立 .（C）若 P(C) 0，则 AU C 与 B 也独立 .（D）若 C B ，则 A与C 也独立 . （ ）答案：（ D）.解答：因为概率为 1 的事件和概率为 0 的事件与任

4、何事件独立，所以（ A），（ B），（ C）都是正确的，只能选（ D）.事实上由图 可见 A 与 C 不独立 .S2设随机变量 X N (0,1), X 的分布函数为 (x) ，则 P(| X | 2) 的值为A BC（A） 21 (2) . （B）2 (2) 1 .（C） 2 (2) . （D）1 2 (2) . （ ）答案：（ A ）解答： X N (0,1) 所以 P(| X | 2) 1 P(| X | 2) 1 P( 2 X 2)1 (2) ( 2) 1 2 (2) 1 21 (2) 应选（ A ）.3设随机变量 X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（A） X 与Y独立 . （B）

5、 D(X Y) DX DY .（C） D(X Y) DX DY . （D） D(XY) DXDY . （ ）答案：（ B）解答：由不相关的等价条件知， xy 0 cov（x，y） 0应选（ B）.4设离散型随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为若 X ,Y 独立，则 , 的值为（A）2 1,9 9. （A）1 2,9 9.（C）1 1,6 6（D）5 1,18 18. （ ）答案：（ A ）解答： 若 X,Y 独立则有P(X 2, Y 2) P(X 2)P(Y 2)29，19故应选（ A）.5设总体 X 的数学期望为 , X1 , X2 ,L , Xn 为来自 X 的样本，则下列结论中正确的是

6、（A） X1 是 的无偏估计量 . （B） X1 是 的极大似然估计量 .（C） X1 是 的相合（一致）估计量 . （D） X1 不是 的估计量 . （ ）答案：（ A ）解答：EX ，所以 X1 是 的无偏估计，应选（ A ）.1三、（ 7 分）已知一批产品中 90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为 0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率 .解：设 A 任取一产品，经检验认为是合格品B 任取一产品确是合格品则（1） P( A) P(B)P(A| B) P(

7、B)P( A| B)（2）P( AB) 0.9 0.95P(B | A) 0.9977P( A) 0.857.四、（ 12 分）从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 2/5. 设 X 为途中遇到红灯的次数，求 X 的分布列、分布函数、数学期望和方差 .解： X 的概率分布为X 0 1 2 3即P27 54 36 8125 125 125 125X 的分布函数为2 3 18DX 3 .5 5 25五、（ 10分）设二维随机变量 ( X ,Y) 在区域 D ( x, y) | x 0, y 0, x y 1 上服从均匀分布 . 求（1

8、） (X ,Y)关于 X 的边缘概率密度；（ 2） Z X Y的分布函数与概率密度 .解： （1） (X ,Y) 的概率密度为y1x+y=1 DD10 z 1 x x+ y=z（2）利用公式 fZ (z) f (x, z x)dx其中f ( x, z x)2, 0 x 1,0 z x 1 x0,其它2, 0 x 1, x z 1.0,其它.当 z 0或 z 1时 fZ (z) 0zz=x0 z 1时z zf (z) 2 dx 2x 2zZ00故 Z 的概率密度为Z 的分布函数为x或利用分布函数法六、（ 10 分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标 X 和纵坐标 Y 相互独立，

9、且2 2 2N (0, 2 ) 分布. 求（1）命中环形区域 D ( x, y) |1 x y 2 的概率； （2）命中点到 均服从目标中心距离2 2Z X Y 的数学期望 .解： （1） P X,Y) D f (x, y) dxdyyD（2）2 2 2r r r2 1 128 8 8 2e d( ) e e e ；18x10 1 22 2x y2 2 2 2 1 8EZ E( X Y ) x y e dxdy82 2 2r r r2 18 8 8re e dr e dr 2 . 002 2七、（ 11 分）设某机器生产的零件长度（单位： cm）2X N( , ) ，今抽取容量为 16 的样本

10、，测得样本均值 x 10 ，样本方差2 0.16s . （1）求 的置信度为 0.95 的置信区间；（ 2）检验假设2H 0 : 0.1（显着性水平为 0.05）.（附注） t0.05 (16) 1.746, t0.05(15) 1.753, t0.025 (15) 2.132,解： （1） 的置信度为 1 下的置信区间为所以 的置信度为 0.95 的置信区间为（ 9.7868，10.2132）（2）2H 0 : 0.1的拒绝域为2 2 (n 1) .因为22 15S215 1.6 24 0.05(15) 24.996，0.12 224 24.996 (15)，所以接受 H .0.050概率论

11、与数理统计期末考试试题（ A）专业、班级： 姓名： 学号：一、 单项选择题 (每题 3 分 共 18 分)1D 2A 3B 4A 5A 6B题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总成绩得 分一、单项选择题 (每题 3 分 共 18 分)（1）（2）设随机变量 X其概率分布为 X -1 0 1 2P 0.2 0.3 0.1 0.4则P X 1.5 （ ）。(A)0.6 (B) 1 (C) 0 (D)12（3）设事件 A1与 A2同时发生必导致事件 A发生，则下列结论正确的是（ ）（A ） ( ) ( )P A P A1 A （B） P( A) P( A1) P(A2 ) 1

12、2（C） ( ) ( )P A P A1 A （D） P(A) P( A1 ) P( A2 ) 12（4）（5）设 X1, X 2, , X n为正态总体 N( , 2) 的一个简单随机样本，其中 2,未知，则（ ）是一个统计量。(A)n2 2X (B)in( X )i2i 1 i 1X(C) X (D)（6）设样本 X1 , X 2 , , X n 来自总体X N( , 未知。统计假设 2),2),2为 H 0： （ 已知） H ： 。 则所用统计量为（ ）0 0 1 0(A) UX0 (B)nTXS0n(C)22 (n 1)S2(D)n2 1 ( )2Xi2i 1二、填空题 (每空 3 分

13、 共 15 分)（1）如果 P( A) 0, P( B) 0, P(A B) P( A) ，则 P(B A) .（2）设随机变量 X 的分布函数为则 X 的密度函数 f (x) ，P( X 2) .（3）（4） 设总体 X 和Y 相互独立 ,且都服从 N (0,1) ，X1 , X , X 是来自总体 X 的2 9样本， Y1 ,Y2, Y9 是来自总体 Y 的样本，则统计量UX12Y1X92Y9服从 分布（要求给出自由度）。五、 （6 分）设随机变量 X 的概率密度为f (x)xe , x 00,其它，求随机变量 Y=2X+1 的概率密度。解：因为y 2x 1是单调可导的，故可用公式法计算

14、.1 分当 X 0时， Y 1 .2 分由 y 2x 1， 得y 1 1x , x 4 分2 2y 1 1f ( ) y 1 2 2y)从而 Y 的密度函数为fY ( .5 分0 y 112ey 12y 1= .6分0 y 1六、 （8 分） 已知随机变量 X 和Y 的概率分布为而且 P XY 0 1.(1) 求随机变量 X 和Y 的联合分布 ;(2)判断 X 与 Y 是否相互独立 ?解：因为P XY 0 1，所以 P XY 0 0(1)根据边缘概率与联合概率之间的关系得出-1 0 10 0 0 01 .4 分(2) 因为P X 0,Y 0 0 P X 0 P Y 0 所以 X 与 Y不相互独

15、立121214 8 分七、 （8 分）设二维随机变量 (X ,Y) 的联合密度函数为求： （1） P(0 X 1,0 Y 2) ；（2）求 X 的边缘密度。1 2解：（ 1）(3 4y)x .2 分P(0 X 1,0 Y 2) dx 12e dy0 01 23x 4 =4y3e dx e dy0 0e13x e 4y020=3 81 e 1 e .4 分(3x 4y )（2） f (x e dy .6 分) 12 X3x3e x 00 x 0 .8 分1八、 （6 分） 一工厂生产的某种设备的寿命 X （以年计）服从参数为4的指数分布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售

16、出一台设备盈利 100 元，调换一台设备厂方需花费300 元，求工厂出售一台设备净盈利的期望。1解： 因为)X e( 得4f (x)14e01 4xx 0x 0 .2 分用 Y 表示出售一台设备的净盈利100 X 1Y 3 分100 300 0 X 1x 11则 44P(Y 100) e dx e1 4P Yx114200 e dx 1 e0414 .4 分1 1所以 100 ( 200) (1 4 )4EY e e1300e 4 33.64 （元） .6 分200九、 （8 分）设随机变量 X 与Y 的数学期望分别为2 和 2，方差分别为1 和 4，而相关系数为0.5 ，求 E(2X Y )

17、, D (2X Y) 。解：已知 2, 2, 1, 4, 0.5EX EY DX DYXY则E (2X Y ) 2 EX EY 2 ( 2) 2 6 .4 分D( 2X Y) D(2X ) DY 2 cov( 2X ,Y) .5 分2DX DY 4 cov( X ,Y) .6 分2 DX DY 4 DX DY =12 .8分XY十、 （7 分）设供电站供应某地区 1 000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每日用电量（单位：度）服从 0，20上的均匀分布，利用中心极限定理求这1 000户居民每日用电量超过10 100度的概率。（所求概率用标准正态分布函数 (x) 的值表示） .解：用X

18、 表示第 i户居民的用电量，则Xi U 0,20i0 20EX 10i22(20 0) 100DX 2 分i12 31000 则1000户居民的用电量为X X ，由独立同分布中心极限定理i i 1P X 10100 1 P X 10100 3 分=1X 1000 10 10100 1000 10P 4 分 100 1001000 10003 310100 1000 101 ( ) .6 分100100033=1 ( ) 7 分10十一、 （7 分）设x1, 2 , , 是取自总体 X 的一组样本值， X 的密度函数为x xn其中 0未知，求 的最大似然估计。解: 最大似然函数为n nL (x1

19、, , xn, ) f (x ) ( 1)x .2 分i i i 1 i 1n x x .3 分 = ( 1) ( 1, , n )则0 x1 xn 1 .4 分, ,d ln L n令 ln( , , ) 0x1 xnd 1于是 的最大似然估计： .5 分?1ln ln(nx1 , , xn)。 .7 分十二、 （5 分）某商店每天每百元投资的利润率 X N ( ,1 ) 服从正态分布，均值为，长期以来方差2稳定为1，现随机抽取的 100天的利润，样本均值为x 5，试求 的置信水平为95%的置信区间。（ t0.05(100) 1.99,(1.96) 0.975 ）X解： 因为已知，且 N (

20、 0,1)n 1 分X故 P U 1 2 分2n依题意 0.0 5, U 1. 96, n 100, 1, x 52则的置信水平为95%的置信区间为x U , x U 4 分2 n n 22 n n即为4.801,5.199 5 分概率论与数理统计课程期末考试试题（ B）专业、班级： 姓名： 学号：题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总成绩得 分一、单项选择题 (每题 3 分 共 15 分)（1）（2）（3）x, 0 x 1连续随机变量 X 的概率密度为 f (x) 2 x, 1 x 20,其它则随机变量 X 落在区间 (0.4, 1.2) 内的概率为 ( ).(A)

21、0.64 ; (B) 0.6; (C) 0.5; (D) 0.42.（4）（5）二、填空题 (每空 2 分 共 12 分)（1）（2）（3）（4）三、(7 分) 已知 P( A) 0.5, P( B) 0.6，条件概率 P(B A) 0.8, 试求P( AB).四、(9 分) .设随机变量 X 的分布函数为 F (x) A B arctan x, x ，求:（1）常数 A, B；（2） P( X 1) ；（3）随机变量 X 的密度函数。五、(6 分) 某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第 1 车间的次品率为 0.15，第 2 车间的次品率为 0.12. 两个车间生产的成品都混合堆放在一个仓库

22、中，假设 1、2 车间生产的成品比例为 2：3，今有一客户从成品仓库中随机提台产品，求该产品合格的概率 .六、(8 分) 已知甲、 乙两箱装有同种产品， 其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品，从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求乙箱中次品件数的分布律及分布函数 F(x) .七、(7 分) 设随机变量 X 的密度函数为求随机变量的函数xY e 的密度函数 fY (y) 。八、(6 分) 现有一批钢材，其中 80%的长度不小于 3 m，现从钢材中随机取出 100根，试用中心极限定理求小于 3 m 的钢材不超过 30 的概率。(计算结果用标准正态分布函数值表示 )

23、九、(10 分) 设二维随机变量 (X ,Y) 的联合密度函数为求：（1）P(0 X 1,0 Y 2) ；（2）求 X ,Y 的边缘密度 ;（3）判断 X 与Y 是否相互独立十、(8 分) 设随机变量（ X ,Y ）的联合密度函数为求E(X ), E(Y), E( XY) , 进一步判别 X 与Y 是否不相关。十一、(7 分) .设X1 , X , , X 是来自总体 X 的一个简单随机样本， 总体 X 的密度函数为2 n求 的矩估计量。_十二、 （5 分）总体 X N( ,1) 测得样本容量为 100 的样本均值 X 5，求 X 的数学期望 的置信度等于 0.95 的置信区间。（ t0.05

24、(100) 1.99 ,(1 .96) 0.975)一、单项选择题：（ 15 分）1、D2、D3、B4、A5、C二、填空题：（ 12 分）1、t, 9;2、-13、2 更4、XS / nS S，(X / 2 ( 1) , / 2 ( 1) );t n X t nn n三、（7 分）解：四、（9 分）解：（1）由1 F ( ) A B .1 分2得1 1A , B .3 分2（2）1P( X ) F (1 ) F( 1) .6 分21（3） ( )f .9 分(x) F (x) 2 x(1 x )五、（6 分）六、（8 分）解：设用 X 表示乙箱中次品件数，则 X 的分布律为X 的分布函数 F (x) 为七、（7 分）解:八、（6 分）解:九、（10 分）解：1 2 (3x 4 y)（1）P(0 X 1,0 Y 2) = dx e dy 12 .2 分0 03 e 8= (1 e )(1 ) .