北师大版初中中考数学压轴题及答案.docx

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北师大版初中中考数学压轴题及答案

中考数学专题复习（压轴题）

1•已知：

如图抛物线y=-x12+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1,0）、B（0,3）两点，其顶点为D.

（1）

（2）

（3）

求该抛物线的解析式；若该抛物线与x轴的另一个交点为E.

△AOB与厶BDE是否相似？

如果相似,

求四边形ABDE的面积；

请予以证明；如果不相似，请说明理由

（注：

抛物线y=ax2+bx+c（a工0）的顶点坐标为

b4acb2）

2a4a

2.如图，在Rt△ABC中，A90o,AB

6,AC8,D,E分别是边AB,AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作

QR//BA交AC于

R，当点Q与点C重合时，点P停止运动•设

BQx,QRy.

A

3在厶ABC中，/A=90°AB=4,AC=3,M是AB上的动点（不与A,B重合），过M点作MN//BC交AC于点N.以MN为直径作OO,并在OO内作内接矩形AMPN.令AM=x.

（1）用含x的代数式表示AMNP的面积S;

（2）当x为何值时，OO与直线BC相切？

（3）在动点M的运动过程中，记AMNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

P

图3

M

N

O

C

D

图2

图1

按逆时针方向旋转•使边AO与AB重合.得到△ABD.

（1）求直线AB的解析式;

2）当点P运动到点（3,0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（

3）是否存

在点卩，使4OPD的面积等于

—，若存在，请求出符合条件的点

P的坐标；若不存在，请说明理由

5如图，菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：

△BDE◎△BCF;

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；

（3）设厶BEF的面积为S,求S的取值范围•

8

D

li

2

6如图，抛物线Li:

yx2x3交x轴于A、

（1）求抛物线L2对应的函数表达式；

（2）抛物线Li或L2在x轴上方的部分是否存在点

（3）若点P是抛物线Li上的一个动点（P不与点

B两点，交y轴于M点抛物线Li向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交x轴于C、D两点.

N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形•若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由;

A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由•

7•如图，在梯形ABCD中，AB//CD,AB=7,CD=1,AD=BC=5.点M,N分别在边AD,BC上运动，并保持MN//AB,ME丄AB,NF丄AB,垂足分别为E,F.

（1）求梯形ABCD的面积；

（2）求四边形MEFN面积的最大值.

（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，

求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由.

E

F

k

yk的图象上.

8.如图，点A（m,m+1）,B（m+3,m—1）都在反比例函数

（1）求m,k的值；

（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点,

以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形,试求直线MN的函数表达式.

（3）选做题：

在平面直角坐标系中，点P的坐标

为（5,0），点Q的坐标为（0,3）,把线段PQ向右平移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段PiQi,则点Pi的坐标为，点Qi的坐标为

9•如图16,在平面直角坐标系中，直线

、3xi3与x轴交于点A，与y轴交于点C,抛物线y

ax123込c（a

3

0）经过AB,C—点.

10.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形

ABOC的边BO在X轴的负半轴上，边0C在y轴的正半轴上，且

AB1，0B.3，矩形ABOC绕点0按顺时针方向旋转

2

axbxc过点A,E,D.

60°后得到矩形EFOD.点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y

（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；

（2）求抛物线的函数表达式；

（3）在x轴的上方是否存在点P,点Q，使以点O,B,P,Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

x

压轴题答案

1.解：

（1）由已知得:

c=3,b=2

•••抛物线的线的解析式为y

x2

解得

bc0

2x3

1,4）

（2）由顶点坐标公式得顶点坐标为

所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E（3,0）设对称轴与x轴的交点为F

所以四边形ABDE的面积=SaboS梯形bofdSDfe

111

=AOBO（BODF）OFEFDF亠22

11

（34）124

22

2

=1132

=9

（3）相似

y

B

G

A

E

O

F

如图，BD=BG2DG212122

BE-.BO2OE2、323232

所以BD2BE220

DE220即:

BD2BE2DE2,所以

所以

AOB

DBE

90

且A。

BO

BD

BE

2

所以

AOB:

DBE.

2解:

:

（1）Q

A1

Rt,

AB6,

AC

8,BC10•

Q点D为AB中点，

BD

1

AB3

DE-DF2EF2一22422.5

2

BDE是直角三角形

QDHBA90°

△BHDBAC,唸器DH

BDgAC

BC

3

10

12

（2）QQR//AB,

QRCA90°•

C,△RQCABC,

RQ

AB

QCy10x

BC，610

即y关于x的函数关系式为:

3x6•

5

（3）存在，分三种情况:

①当PQ

PR时，过点P作PM

QR于M，贝UQM

290°,C

290°,

C

H

cos1

cose®4,

105

QM4

QP5

12

x

5

312

②当PQRQ时,3x612,

55

x6.

③当PRQR时，则R为PQ中垂线上的点,

CR

-CE

2

-AC

4

tanC

QR

BA

CR

CA

于是点R为EC的中点,

2•

6

Q

3x

x

15

2

综上所述，当

3解：

（1）

AMAN

即

AN

ABAC

4

3

3

AN=3x.

2分

4

1

3

32

S=SMNP

SAMN

xx

x.（0

2

4

8

2

•••/AMN=/B,ZANM=ZC.

x为18或6或15时，△PQR为等腰三角形.

5

•/MN//BC,

△AMNs△ABC.

图1

1连结AO,OD，贝UAO=OD=-MN.

2

•••△BMQBCA.

...BM

BC

QM

AC

55x

8

3

2：

x,ABbm

MA

25一x

24

在Rt△ABC

中，BC

=

.AB2

AC2=5.

A

A

由

（1）知

△AMN

s

△ABC

...AM

MN即

x

MN

z

AB

BC

4

5

B

QDC

•MN

5x,

图2

4

•OD

5

x.

5分

8

（2）如图2,设直线BC与OO相切于点D,

5过M点作MQ丄BC于Q,则MQODX.

8

在Rt△BMQ与Rt△BCA中，/B是公共角，

_96

--x=

49

（3）随点M

96时，

49

的运动，当P点落在直线

BC上时,

BC相切

•/MN//BC,./AMN=ZB，/AOM

•△AMOs△ABP.

•••AM1.AM=MB=2.

ABAP2

故以下分两种情况讨论：

①当OVxW2时，yS羊mn3x2.

8

AP，贝UO点为AP的中点.

连结

图3

又厶PEFs△ACB.

PF

2

SPEF

AB

SABC

3

SPEF_x2

2

ySMNP

SPEF=

32

3

2

92

-x

-x

2

-x

8

2

8

2

9

8

6x6

x

2.

8

3

•当x

综上所述，当

11分

1分

当x=2时，y最大

②当2Vxv4时，设PM,PN分别交BC于E,F.

•••四边形AMPN是矩形，

•••PN//AM,PN=AM=x.

又•••MN/BC,

•四边形MBFN是平行四边形.

•FN=BM=4—x.

•-PFx4x2x4.

92

当2VxV4时，yx2

8

8

一时，满足2vxv4,y最大2.

3

x8时，y值最大，最大值是2.

3

4解：

（1）作BE丄OA,•△AOB是等边三角形•BE=OB•sin60°=2、3,•B（2、3,2）

•••A（0,4）,设AB的解析式为ykx4,所以2.3k42,解得k

以直线AB的解析式为y

（2）由旋转知，AP=AD,

/PAD=60,

•••△APD是等边三角形,

PD=PA=\.AO2OP2Jl9

如图，作BE丄AO,DHLOA,GBLDH,显然△GBD中/GBD=30°

•••GD=!

bD=—,DH=GH+GD=3+2T3=^3

222

J333

•GB=BD』,OH=OE+HE=OE+BG=

222

•D（I

22

⑶设OP=x则由

（2）可得D（23x,2

x）若厶OPD的面积为:

1、3

2Xg（22X）

.3

4

解得：

x

2、.3-21

3

所以P（

23.21

3

0）

5

（"证明：

T菱阳ABCD的边长为和矗BCD那为正三角形」

让ED£>ZBCF=60?

7AE4-DE=AD=2,而AE-CF=Z.DE^CF.

（2）解:

为正三角形.

理由：

AZDBE=ZCBF.BE=BK

・・・ZDBC・ZDBF卡ZCRF=6$,

化上DBF斗ZDEE=60"・&PZ£BF=60s.AABKF为正三角形.

（3）解：

设BE=BF=EF=jr,

则S-y・x

文•sin600;z=

当BELAD时心基*=2X§iii6O"=J^

r”■务赋5户=竽・

■

当BE与AB車合时，工”=乙

二$册夭=次2=—a/T.

4

解MI】令^―0t得一jr'—2j4-3=0,

「・工1・—3.巧=】.・；4<—3,0）»B（1丫拋物线S向右平笹2个単位褂抛物线L.

A<7（—1«0）,DC3♦<））ta——1-

.•・詰物线为$■-（工+1）2-3片

却>=—云+2艾十3*

⑵存住.

丁抛物纨厶足b向右半暮2个甲也得刑的*二点N（2t3）*H上’且MN=2.MNj7AC.

JIVAC-2tAMjM=AC

「•四边晤ACNM为平行四边璀■

同理』」上的点N"（-2J）満足NrM//ACtNfM=AQ人四边勝ACM"址平軒的边形・

AN（2,3>py（-2.3}Rfl为所求，

（?

）设巩軌，少）是Lj上性慮一点（吳工0〉，则点F关手原点的对称点Q（—釘*-$"・且曲=一工』—2功+3*烙点Q的橫坐标RAL,t

得刊口一眄上―2上1+3■"孙y»

器点Q不在抛物鏡h上.

7解：

（1）分别过D,C两点作DG丄AB于点G,CH丄AB于点H.

•/AB//CD,

•••DG=CH,DG//CH.

四边形DGHC为矩形，GH=CD=1.

DG=CH,AD=BC,ZAGD=ZBHC=90°,△AGD◎△BHC（HL）.

AG=BH=ABGH・=3.2分

EGHF

22

DG=4.

S弟形ABCD

在Rt△AGD中，AG=3,AD=5,

174

16.

2

DC

（2）TMN//AB,ME丄AB,NF丄AB,

•••ME=NF,ME//NF.

•••四边形MEFN为矩形.

•/AB/CD,AD=BC,

•/A=ZB.

•/ME=NF，/MEA=ZNFB=90°,

•△MEA也厶NFB（AAS）.

•AE=BF.4分

设AE=x,贝yEF=7-2x.5分

/A=ZA,/MEA=ZDGA=90°,

•△MEADGA.

AEME

AGDG.

4

•ME=—x.6分

3

2

48749Qzy

S矩形MEFNMEEF_x（72x）—x——.8分

3346

436

（3）能.10分

当x=-时，ME=7V4，•四边形MEFN面积的最大值为49.9分

由

（2）可知，设AE=x,贝UEF=7-2x,ME=4x.

3

若四边形

MEFN

为正方形，

则ME=EF.

4x

即空

7—2x.

解，得x

21

AAZk

.

II分

3

10

•EF=

21

14

72x

72—

V4.

10

5

四边形MEFN能为正方形，其面积为S正方形MEFN

14

"5

196

25

8解：

（1）由题意可知，mm1m3m1

解，得m=3.3分

•••A（3,4），B（6,2）;

k=4X3=12.4分

（2）存在两种情况，如图：

①当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴上时，设M1点坐标为（X1,0）,N1点坐标为（0,y1）

•••四边形AN1M1B为平行四边形，

•线段N1M1可看作由线段AB向左平移3个单位,

再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）

由

（1）知A点坐标为（3,4）,B点坐标为（6,2）,

N1点坐标为（0,4—2）,即卩N1（0,2）;5分

M1点坐标为（6—3,0）,即卩M1（3,0）.6分

2直线M1N1的函数表达式为ykjx2，把x=3,y=0代入，解得峋

3

2直线M1N1的函数表达式为yx2.8分

3

②当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，设M2点坐标为（X2,0）,N2点坐标为（0,y2）

•••AB//N1M1,AB//M2N2,AB=N1M1,AB=M2N2,

•-N1M1/M2N2,N1M1=M2N2.

•线段M2N2与线段N1M1关于原点O成中心对称.

二M2点坐标为（-3,0）,N2点坐标为（0,-2）.9分

2设直线M2N2的函数表达式为yk2X2，把x=-3,y=0代入，解得k?

3

•直线M2N2的函数表达式为y2x2.

3

所以，直线MN的函数表达式为y

-x2或y-x2.

33

11分

（3）选做题：

（9,2）,（4,5）

9解：

（1）Q直线y-、3x.3与x轴交于点A，与y轴交于点C.

A（1,0）,C（o,、3）

Q点A,C都在抛物线上,

n2巧

0ac

3

.3c

抛物线的解析式为

■-3

3

顶点F1,心

3

（2）存在

P（0,V3）

P2（2,.3）

（3）存在

理由：

解法一：

延长BC到点B

10分

过点B作BH

在Rt△BOC中,

，使BCBC,连接BF交直线AC于点M，则点M就是所求的点.

QB点在抛物线

y

图

9

OBC30°,BC2、、3,

1

在Rt△BBH中，BHBB23,

2

BH、、3BH6,

OH3,B（3,2、3）

12分

设直线BF的解析式为

ykx

2.3

心

3

3kb

解得

13分

、-3x

3

x

6

.3

3-3

2

x

解得

3

7

103

在直线AC上存在点

M，使得

△MBF

的周长最小，此时M

310a/3

77

14分

解法二:

过点F作AC的垂线交

y轴于点H，则点

H为点F关于直线AC的对称点•连接BH交AC于点M，则点M即为所求.

11分

过点F作

FG

y轴于点G，则OB//FG,BC//FH.

BOC

FGH90o,BCOFHG

HFG

CBO

同方法一可求得B（3,0）.

在Rt△BOC中，tanOBC

OBC30o，可求得GH

GC

.3

GF为线段CH的垂直平分线，可证得ACFH为等边三角形,AC垂直平分FH.

即点H为点F关于AC的对称点.

H0,

5\3

3

12分

设直线BH的解析式为y

kxb，由题意得

03kb

b5G

3

k5C3

9

解得9

b〈3

3

13分

y5-x；3

y3x3

x

解得

y

7

103

7

310x/3

77

在直线AC上存在点

M，使得△MBF的周长最小，此时M

31^3

77

10解：

（1）点E在y轴上

1

1分

理由如下：

连接AO，如图所示，在RtAABO中，QAB1,BO-.3,AO2

sinAOB

AOB30o

由题意可知:

AOE

60o

BOE

AOB

AOE30o60o90o

Q点B在x轴上,

点E在y轴上.

（2）过点D作DM

x轴于点M

QOD1，DOM

o

30

在RtADOM中,

DM

Q点D在第一象限，

22

点D的坐标为

由

（1）知EO

AO2，

点E在y轴的正半轴上

点E的坐标为

（0,2）

点A的坐标为

（.3,1）

Q抛物线yax2bxc经过点E，

由题意，将A（.3,1），D—3，代入yax2bx2中得

22

3a

..3b21

a

8

9

5.3

3

a

31

b2-

解得

b

4

22

9

所求抛物线表达式为：

y

82x

5.3

x

9

9

（3）存在符合条件的点

p,

点Q.

29分

理由如下：

Q矩形ABOC的面积ABgBO

10分

以O,B,P,Q为顶点的平行四边形面积为2,3.

由题意可知0B为此平行四边形一边，

又QOB,3

0B边上的高为211分

依题意设点P的坐标为（m,2）

Q点P在抛物线y

825-3

mm

99

解得，mi0,m2

5,3

8

5.3

Q以O,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,

PQ//OB,PQOB,3,

当点Pi的坐标为（0,2）时，

点Q的坐标分别为Q1（,3,2）,Q2C.3,2）；

5掐

当点P2的坐标为一一,2时，

8

点Q的坐标分别为Q3

13、3

8

Q4

3-3,2.

8

（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）

（1）求点D到BC的距离DH的长；

（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；