22第18章屈曲分析李立.docx

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22第18章屈曲分析李立

22第18章-屈曲分析-李立

第18章屈曲分析

18.1概述

结构失稳（屈曲）是指在外力作用下结构的平衡状态开始丧失,稍有扰动则变形迅速增大,最后使结构破坏。

稳定问题一般分为两类,第一类是理想化的情况,即达到某种荷载时,除结构原来的平衡状态存在外,可能出现第二个平衡状态,所以又称平衡分岔失稳或分支点失稳,而数学处理上是求解特征值问题,故又称特征值屈曲。

此类结构失稳时相应的荷载称为屈曲荷载。

第二类是结构失稳时,变形将迅速增大,而不会出现新的变形形式,即平衡状态不发生质变,也称极值点失稳。

结构失稳时相应的荷载称为极限荷载。

此外，还有一种跳跃失稳，当荷载达到某值时,结构平衡状态发生一明显的跳跃,突然过渡到非邻近的另一具有较大位移的平衡状态。

由于在跳跃时结构已经破坏,其后的状态不能被利用,所以可归入第二类失稳。

SAP2000的屈曲分析工况（Buckling）是解决线性屈曲问题，属于第一类失稳，在分析过程中不考虑结构的非线性属性。

对于非线性屈曲分析，在SAP2000中，可以通过定义非线性静力分析工况来模拟。

18.2线性屈曲

18.2.1技术背景

结构的第一类稳定问题，在数学上归结为广义特征值问题。

SAP2000也是通过对特征方程的求解，来确定结构屈曲时的极限荷载和破坏形态。

程序的屈曲特征方程为：

（18.1）

式中K为刚度矩阵，G（r）为荷载向量r作用下的几何（P-Δ）刚度，λ为特征值对角矩阵，Ψ为对应的特征向量矩阵。

求解特征方程，得到特征值和对应的特征向量，用以确定屈曲荷载和对应的变形形态。

每一组“特征值－特征向量”称为结构的一个屈曲模式，程序按照找到这些模式的顺序从数字1到n为各模式命名。

特征值λ称为屈曲因子。

在给定模式中，它必须乘以r中的荷载才能引起屈曲。

即屈曲荷载为屈曲因子与给定荷载的乘积。

有时，也可以将λ视为安全系数：

如果屈曲因子大于1，给定的荷载必须增大以引起屈曲；如果它小于1，给定荷载必须减小以防止屈曲。

当然，屈曲因子也可以为负值，这说明当荷载反向时会发生屈曲。

SAP2000可以生成任意数量且对应不同荷载形式的屈曲分析工况，每个工况可以定义需要的屈曲模式数量，工程师可以对自己所关心的荷载清楚地计算屈曲，从而了解基于荷载的屈曲模式。

18.2.2定义屈曲分析工况

SAP2000中进行屈曲分析的基本步骤是：

定义用于屈曲分析的荷载工况；在分析模型中建立荷载作用；定义屈曲分析工况；运行分析；查看结果，得到各个屈曲模态的解。

首先定义用于屈曲分析的荷载工况，然后点击命令定义>分析工况，在弹出的对话框中点击添加新工况按钮，弹出分析工况数据对话框。

在分析工况类型中选择Buckling，出现关于屈曲分析工况数据的对话框（图18-1）。

图18-1屈曲分析工况数据对话框

“使用的刚度”一栏，用于定义屈曲分析开始时的初始状态。

默认情况下程序会采用整个结构在无应力状态下的刚度矩阵。

也可以选择采用某个非线性分析工况结束时的结构刚度。

“施加的荷载”一栏，用于定义形成特征方程中荷载向量r的荷载形式。

这里的荷载可以是一个荷载工况或加速度，也可以是几个荷载工况和/或加速度的线性组合。

“其他参数”一栏，用于定义计算需要的屈曲模态数量和收敛容差。

因为前几个屈曲模态可能有非常小的屈曲因子，所以一般需要寻找超过一个的屈曲模态，建议最少找到六个。

图18-2显示屈曲变形对话框

完成上述参数的设置后，点击确定，即完成一个屈曲分析工况的设定。

重复这些操作，可以生成任意数量的屈曲分析工况，从而可以对多种荷载作用形式下的结构的屈曲模式分别进行分析。

18.2.3屈曲分析结果显示

屈曲分析的结果输出主要有两种方式：

图形显示和表格显示。

运行分析后，点击命令显示>显示变形形状，在弹出的对话框（图18-2）中选择需要查看的屈曲工况名称，输入屈曲模态数，点击确定，视窗中即显示相应的屈曲变形，并且在视窗标题栏中显示相应的屈曲因子大小。

另外，也可以以表格的形式输出屈曲分析结果。

点击命令显示>显示表格，在弹出的对话框（图18-3）中勾选结构输出>OtherOutputItems>BucklingFactors，点击确定，即生成包含所有屈曲因子的表格（图18-4）。

图18-3定义屈曲分析结果表格输出

图18-4表格输出屈曲分析结果

18.2.4例题

下面以两个例子来简要说明SAP2000的屈曲分析工况的运用。

前面已详细介绍了实现方法，这里不再赘述，尽量用图片来阐明。

【例题18.1】如图10-20所示，求解H型钢柱在轴力作用下的屈曲模式及屈曲荷载的大小。

1）为了更清晰地观察钢柱的屈曲变形，采用壳单元来模拟H型钢（图18-5左）。

2）定义施加轴力（屈曲荷载）的荷载工况（命名为AXIAL）。

采用表面压力来施加钢柱的轴向荷载，本例中是在柱顶壳面的面3位置施加均布的表面压力，大小为1N/mm2（图18-5右）。

3）定义静力非线性工况DEAD，添加自重作用并考虑P-△效应。

然后，定义屈曲分析工况Buck1（图18-6），初始刚度来自DEAD工况。

运行分析。

图18-5H型钢柱模型

图18-6定义屈曲工况

4）查看结果。

从显示的屈曲变形（图18-7）可以看出，第一屈曲模式（图18-7左上）是弱轴方向侧移的整体失稳，第二屈曲模式是由柱顶转动引起的扭转（图18-7右上），第三屈曲模式是强轴方向侧移的整体失稳（图18-7左上），第四屈曲模式是柱顶几个角点的局部失稳而引起的变形（图18-7左下）。

从表格输出的结果（图18-8）可以知道，最小屈曲因子约为241，即柱顶均布压力的屈曲荷载为1×241＝241N/mm2。

图18-7第1～第4屈曲模式

图18-8屈曲因子表

【例题18.2】平面钢架的屈曲分析。

如图18-9所示结构，其反对称失稳和对称失稳的理论屈曲荷载为

，

。

对比SAP2000的计算结果。

1）SAP2000模型中钢架的物理参数为E＝2.0×105N/mm2，I＝4.9×106mm4，L＝6m。

其理论屈曲荷载为：

图18-9平面钢架结构简图

2）SAP2000模型（图18-10左）中P＝1kN，计算结果如图18-10右边所示。

第一屈曲模式为反对称失稳（图18-10右上），屈曲因子为57.6376，第二屈曲模式为对称失稳（图18-10右下），屈曲因子为401.9922。

因此，P1＝57.6376kN，P2＝401.9922kN。

SAP2000的计算结果与理论解十分接近，第二屈曲模式的结果误差稍大一些，但也不超过1％。

在建模过程中，钢架单元的细分程度对计算结果影响较大，当然分得越细越真实，但计算耗时也越长，对于复杂模型需要综合两个因素合理选择单元细分程度。

图18-10平面钢架模型及其屈曲模式

18.3非线性屈曲

18.3.1技术背景

第二类稳定问题，在数学上归结为一个非线性方程的求解。

通常是把结构的临界荷载分成若干级荷载增量。

就某一级加载而言，荷载－变形曲线中的相应部分可近似地认为是直线。

于是一个总体表现为非线性的过程可以按若干个小的线性过程的迭加来处理，并且在每个增量步对应的线性过程中计入该过程开始时的全部轴向力影响和应力－应变关系，这种线性化处理的结果也能很好地逼近原来的非线性过程。

实际上，工程结构的稳定问题多数属于第二类，因为实际工程中的构件不可避免地存在“初始缺陷”，结构的几何非线性和材料非线性对稳定分析的影响也是客观存在的。

第一类稳定问题不考虑这些因素对临界荷载的影响，只是将给定荷载放大λ倍，然后将其形成的结构几何刚度“一步到位”地迭加到结构总刚中，去检查它的“随遇平衡”状态，因而不可能考虑加载过程中的非线性效应。

不过，由于第一类稳定问题的力学情况比较简单明确，在数学上作为矩阵特征值问题也比较容易处理，而且它的临界荷载可近似代表相应的第二类稳定问题的上限，所以第一类稳定问题在理论分析中仍占有重要地位。

SAP2000中通过定义非线性静力分析工况来处理非线性稳定问题。

其中，几何非线性包括考虑P－△效应和大位移，材料非线性需要指定相应的非线性铰行为来模拟，如果模型中还含有其它非线性连接单元，其非线性属性也会被考虑。

当然，限于相关理论和计算方法的发展，目前SAP2000对非线性稳定问题的求解还存在一定的局限性。

其一，目前程序还不能考虑壳的非线性，铰指定仅限于框架单元。

其二，杆件出现塑性铰的位置需提前指定。

因此，建议工程师首先进行一个相同荷载的线性分析，了解结构的内力分布，再根据单元的截面情况进行非线性铰指定。

其三，默认的铰属性都是基于国外规范，我国规范对此还没有明确的规定。

因此如果需要精确分析，必须基于大量的试验数据来判定杆件的力学行为。

在SAP2000的新版本中，将陆续完善上述问题，增加分层非线性壳单元、框架和剪力墙的纤维铰自动生成等功能。

关于材料非线性的详细讨论可参见后续相关章节，本节主要针对考虑几何非线性的屈曲问题进行讨论。

对于几何非线性的屈曲问题，“屈曲因子”的概念不再适用，应通过其它方法来判断是否达到临界荷载。

比如观察结构变形的趋势，或者观察与外荷载相平衡的基底反力的变化规律，还可以通过荷载－位移曲线的形状来判断。

下面，以一个三铰拱的例子来说明如何利用SAP2000来处理几何非线性问题。

图18-11三铰拱模型

18.3.2三铰拱非线性屈曲分析算例

【例题18.3】三铰拱受到集中力的作用，模型如图18-11所示，半径R等于3米，张角2α为120°。

1）利用柱坐标系统建立模型，两端约束设为铰接，并将拱顶的弯矩释放。

定义名为p的荷载工况（图18-12），并将该荷载工况下的单位集中力施加于拱顶（图18-13）。

另外，该算例为一平面模型，所以在运行分析前，应在分析选项中指定相应的有效自由度。

图18-12集中力荷载工况定义

图18-13承受集中力的三铰拱模型

2）定义屈曲分析工况（图18-14）。

运行屈曲分析工况的目的，是了解该三铰拱线性屈曲的临界荷载值的大小，有助于评估非线性屈曲分析的临界荷载值。

计算结果表明，线性屈曲临界荷载约为18300kN（图18-15）。

图18-18给出NLSTAT1工况下的荷载－位移曲线，可以看到随着荷载的增大，拱顶位移增加（注意：

位移值为负代表位移方向与Z轴正向相反），当结构发生屈曲时，其刚度矩阵出现奇异，计算结果不再收敛，此时荷载－位移曲线几乎平行于横轴，即荷载不再增加而位移无限增大。

图中集中荷载的最大值为6245kN。

图18-19给出NLSTAT2工况下的荷载－位移曲线。

在初始阶段荷载值随着拱顶位移的增大而增大，当荷载增大到一定程度时，进一步加大位移，荷载值反而减小并出现反号的情况。

这表明此时结构需要施加反方向的集中荷载才能维持平衡。

整条曲线反映了位移逐步增加时，外荷载的变化规律。

而工程师们所关心的屈曲荷载即曲线中的第一个峰值点，对应的集中荷载大小约为6210kN。

通过上述分析可知，非线性屈曲的临界荷载约6200kN，远小于线性屈曲分析得到的临界荷载18300kN。

图18-17工况NLSTAT1（左）NLSTAT2（右）荷载施加控制

图18-17NLSTAT1工况下集中荷载－拱顶位移图（单位：

kN、m）

图18-18NLSTAT2工况下集中荷载－拱顶位移图（单位：

kN、m）