最新方阵最小多项式的求法与应用.docx
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最新方阵最小多项式的求法与应用
方阵最小多项式的求法与应用
方阵最小多项式的求法与应用
[摘要]:
本文首先介绍了方阵
的最小多项式，进而给出了最小多项式的四种求法，最后讨论了最小多项式的两个应用.
[关键词]:
方阵；最小多项式；不变因子
Minimalpolynomialofasquarematrixanditsapplications
FENGYu-xiang
（Class1,Grade2001,CollegeofMathematicsandInformationScience）
Advisor:
AssociateProf.LIZhi-hui
[Abstract]:
Theminimalpolynomialofsquarematrix
isdiscussed,andfourmethodsofsolutionfortheminimalpolynomialarepresented.Furthermore,theapplicationsoftheminimalpolynomialarestudied.
[Keywords]:
squarematrix;minimalpolynomial;invariantoperation
一、引言
文献[1]中研究了方阵最小多项式的若干性质，并给出最小多项式的三种求法.本文试图通过对文献[1]中的结果进一步研究，给出它相应的改进算法，并提出一种新的求法.与此同时，讨论了最小多项式在矩阵的相关计算和证明中的应用，为最小多项式的应用提供了新的思想.
本文所讨论的矩阵和多项式均为复数域
上n阶方阵和多项式.
二、最小多项式的性质及求法
由哈密尔顿定理可知，对于一n阶矩阵
，
是
的特征多项式，则
即就是任给数域
上的一个
级矩阵
，总可以找到数域
上的多项式
，使得
.如果多项式
使得
，我们就称
为矩阵
的零化多项式.当然
的零化多项式很多的，于是我们有
定义1设
，次数最低的首项为1的
的零化多项式称为
的最小多项式，记为
.
最小多项式有以下一些基本性质：
定理1[1]设
，则
（1）
的任一零化多项式都能被
整除；
（2）
的最小多项式
是唯一的；
（3）相似矩阵最小多项式相同.
2．1由特征多项式求最小多项式
定理2[1]
是
的特征多项式零点的充分条件是
为
的最小多项式
的零点.
证明：
见参考文献[1].
推论1若
阶方阵
的特征多项式被分解为不同的一次因式方幂的乘积：
，
其中
是
的相异的特征值，
是特征值
的重数，且
则
的最小多项式具有如下形式：
，
其中
为正整数.
推论1实际上给出了由方阵
的特征多项式，求最小多项式的方法.
例1求矩阵
的最小多项式.
解：
因为
的特征多项式为
，根据推论1便可知，
的最小多项式有以下两种可能：
（
）（
），
由于
因此，
的最小多项式为
.
有时
在分解时比较困难，但由推论1可知，
的最小多项式实质包含A的特征多项式中的所有不同的一次因式之积，故可先求出
例2求矩阵
的最小多项式.
解：
=
由辗转相除法求得
于是
=
=
于是
的最小多项式有以下三种可能：
而
，
因此
的最小多项式为
.
2．2按最小多项式的定义及存在性求最小多项式
定理3[1]任意
阶矩阵
都存在最小多项式
.
证明：
参见文献[1].
这个定理告诉我们一种求最小多项式的方法，这种方法的步骤是：
第一步试解
若能解出
，则
的最小多项式为
；
若
关于
无解，则做
第二步试解
若能解出
与
，则
的最小多项式为
若不能解出
与
，则做
第三步试解
若能解出
，
与
，则
的最小多项式为
若不能解出
，
与
，则再做
第四步试解
等等，直到求出
（
使矩阵方程成立为止（由哈密尔顿---凯莱定理，这样的过程最多只有
步即可终止），这时用
代替
，便得到所求最小多项式
.
例2求矩阵
的最小多项式.
解：
（1）试解
，显然关于
无解.
（2）试解
写出方程两边的矩阵，并选择某行（某列）来求解代数方程组，以此求
和
，例如，比较第一行（3，2，0，-1）；
的第一行为（
），从而的方程组
此方程组显然无解.
（3）试解
写出防城两边的矩阵，并选择第一列来求解
，
和
，这可由此比较方程两边第一列：
；
的第一列:
得关于
，
和
的方程组:
解此方程组得
因为对于上面解出的
，
和
矩阵方程
成立.所以
的最小多项式为
2.3利用
标准型求最小多项式
定理4[1]设矩阵
则
的最小多项式可以由
给出,其中
是
的相异的特征根,
是在
的
型
中包含
的各分块的最大阶数.
证明:
参见文献[1].
推论2当
的所有特征值都相异时,
的最小多项式
就是A的特征多项式
.
由定理4,在一般情况下,A的最小多项式可以通过求出它的Jordan标准型J获得.
例3求矩阵
的最小多项式.
解：
由
的特征多项式
知
有两个不同的特征值：
（均为三重的）.容易求得
，所以对于
的特征向量仅有一个，这表示对应的
块的数目是1.又由于
对应于
的特征向量有2个，因此对应于
的
块共有2块.故
的
标准型为：
可见
中包含
的块的阶数
，包含
的
块的最大阶数
，因此
的最小多项式为：
2.4利用不变因子求最小多项式
引理1[4]
的最小多项式是
的初等因子的最小公倍式.
证明：
相似矩阵有相同的最小多项式和初等因子.因此只要对
的若当标准型矩阵
证明即可.设
，其中
，
并且
我们已知
的最小多项式是
，现在对任一多项式
有
因此
当且仅当
.这就是说，
是
的化零多项式
是
的化零多项式，进一步，
是
的最小多项式必须
是
的化零多项式，因此是的最小多项式的公倍式；另一方面，这些
的最小多项式的任一公倍式必须是
的化零多项式，因而被
整除.故
的最小多项式必须是
的最小多项式，即
的初等因子
的最小公倍式.
定理5[4]
的最小多项式恰为
的最后一个不变因子.
证明由于
的最后一个不变因子
具有性质
，
所以
中包含了
的初等因子所有互异的指数最高一次因式的幂，它恰是
的全部初等因子的最小公倍式，于是命题得到证明.
例5证明
的不变因子是
，
，其中
.
证明：
因为
的左下角的
阶子式为
，所以
，于是
将
的第二，第三，…，第
行，第
行分别各乘以
都加至第一行上，依第一行展开即得：
因此，
的不变因子是
，
.
由定理5可知，
的最小多项式实质为
的最后一个不变因子
，而
，其中
为
的
阶行列式因子，故可得求
的最小多项式的方法.
例6求矩阵
的最小多项式.
解：
右上角有一个三级子式
所以
所以
的不变因子是1，1，1，
，它的最小多项式为
三、最小多项式的应用
这一节我们将讨论最小多项式的一些应用
3．1求矩阵的高次幂
例7已知
，求
解：
，由
，而
，知
的最小多项式
，所以
不能对角化.但我们有
用待定系数法令
，
，对上式求导后再令
，解得
因此，
3.2判断矩阵是否可逆
例8设
是矩阵
的最小多项式.
是任意多项式，证明：
可逆的充要条件是
证：
若
，则存在
，使
于是
，故
，从而
可逆.
反之，当
可逆时，设
，
于是
，
从而有
，
（*）
因为
，所以
，即
可逆，这就有等式（*）推出
，并进一步得到
且
.
本文在文献[1]的基础上对最小多项式的求法做了总结和改进，并提出一些新的求法.同时，将最小多项式的求法应用到了求矩阵的高次幂和判断方阵可逆上，以此达到理论与实践的良好结合.
[参考文献]
1.夏必腊，方阵最小多项式的性质与求法[J]，高等数学研究，2003，3：
34—39.
2.杨子胥，高等代数习题解[M],山东:
山东科学技术出版社,2001.
3.北京大学数学力学系，高等代数[M],北京：
高等教育出版社，1988.
4.刘玉森，苏仲阳主编，高等代数应试训练[M]，北京：
地质出版社，1995.
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