最新方阵最小多项式的求法与应用.docx

1、最新方阵最小多项式的求法与应用方阵最小多项式的求法与应用方阵最小多项式的求法与应用 摘要:本文首先介绍了方阵的最小多项式，进而给出了最小多项式的四种求法，最后讨论了最小多项式的两个应用.关键词:方阵；最小多项式；不变因子Minimal polynomial of a square matrix and its applicationsFENG Yu-xiang(Class 1, Grade 2001, College of Mathematics and Information Science)Advisor: Associate Prof. LI Zhi-huiAbstract:The mi

2、nimal polynomial of square matrix is discussed, and four methods of solution for the minimal polynomial are presented. Further more ,the applications of the minimal polynomial are studied.Keywords: square matrix; minimal polynomial; invariant operation 一、引言文献1中研究了方阵最小多项式的若干性质，并给出最小多项式的三种求法.本文试图通过对文献

3、1中的结果进一步研究，给出它相应的改进算法，并提出一种新的求法.与此同时，讨论了最小多项式在矩阵的相关计算和证明中的应用，为最小多项式的应用提供了新的思想.本文所讨论的矩阵和多项式均为复数域上n阶方阵和多项式.二 、最小多项式的性质及求法由哈密尔顿定理可知，对于一n阶矩阵 ，是的特征多项式，则 即就是任给数域上的一个级矩阵，总可以找到数域上的多项式，使得.如果多项式使得，我们就称为矩阵的零化多项式.当然的零化多项式很多的，于是我们有定义1 设，次数最低的首项为1的的零化多项式称为的最小多项式，记为.最小多项式有以下一些基本性质：定理11 设，则（1）的任一零化多项式都能被整除；（2）的最小多项

4、式是唯一的；（3）相似矩阵最小多项式相同.21 由特征多项式求最小多项式定理21 是的特征多项式零点的充分条件是为的最小多项式的零点.证明：见参考文献1.推论1 若阶方阵的特征多项式被分解为不同的一次因式方幂的乘积： ，其中是的相异的特征值，是特征值的重数，且则的最小多项式具有如下形式：，其中为正整数.推论1实际上给出了由方阵的特征多项式，求最小多项式的方法.例1 求矩阵 的最小多项式.解：因为的特征多项式为，根据推论1便可知，的最小多项式有以下两种可能： （）（）， 由于 因此，的最小多项式为.有时在分解时比较困难，但由推论1可知，的最小多项式实质包含A的特征多项式中的所有不同的一次因式之积

5、，故可先求出例2 求矩阵 的最小多项式.解：= 由辗转相除法求得于是 =于是 的最小多项式有以下三种可能： 而 ，因此的最小多项式为.22 按最小多项式的定义及存在性求最小多项式定理31 任意 阶矩阵都存在最小多项式.证明：参见文献1.这个定理告诉我们一种求最小多项式的方法，这种方法的步骤是：第一步 试解 若能解出，则的最小多项式为；若关于无解，则做第二步 试解 若能解出与，则的最小多项式为 若不能解出与，则做第三步 试解 若能解出，与，则的最小多项式为 若不能解出，与，则再做第四步 试解 等等，直到求出（使矩阵方程成立为止（由哈密尔顿-凯莱定理，这样的过程最多只有步即可终止），这时用代替，便

6、得到所求最小多项式.例2求矩阵 的最小多项式.解：（1）试解 ，显然关于无解. （2）试解 写出方程两边的矩阵，并选择某行（某列）来求解代数方程组，以此求和，例如，比较第一行（3，2，0，-1）；的第一行为（），从而的方程组此方程组显然无解.（3）试解 写出防城两边的矩阵，并选择第一列来求解，和，这可由此比较方程两边第一列：；的第一列:,得关于，和的方程组:解此方程组得 , , 因为对于上面解出的，和,矩阵方程 成立.所以的最小多项式为 2.3 利用标准型求最小多项式定理41 设矩阵,则的最小多项式可以由 给出,其中是的相异的特征根,是在的型中包含的各分块的最大阶数.证明:参见文献1.推论2

7、当的所有特征值都相异时,的最小多项式就是A的特征多项式.由定理4,在一般情况下,A的最小多项式可以通过求出它的Jordan标准型J获得. 例3求矩阵 的最小多项式.解：由的特征多项式 知有两个不同的特征值：（均为三重的）.容易求得 ，所以对于的特征向量仅有一个，这表示对应的块的数目是1.又由于对应于的特征向量有2个，因此对应于的块共有2块.故的标准型为： 可见中包含的块的阶数，包含的块的最大阶数，因此的最小多项式为：2.4 利用不变因子求最小多项式引理14 的最小多项式是的初等因子的最小公倍式.证明：相似矩阵有相同的最小多项式和初等因子.因此只要对的若当标准型矩阵证明即可.设 ，其中，并且我们

8、已知的最小多项式是，现在对任一多项式有因此当且仅当.这就是说，是的化零多项式是的化零多项式，进一步，是的最小多项式必须是的化零多项式，因此是的最小多项式的公倍式；另一方面，这些的最小多项式的任一公倍式必须是的化零多项式，因而被整除.故的最小多项式必须是的最小多项式，即的初等因子的最小公倍式.定理54 的最小多项式恰为的最后一个不变因子.证明 由于的最后一个不变因子具有性质，所以 中 包含了的初等因子所有互异的指数最高一次因式的幂，它恰是 的全部初等因子的最小公倍式，于是命题得到证明.例5 证明 的不变因子是，其中. 证明： 因为的左下角的阶子式为，所以，于是 将的第二，第三，第行，第行分别各乘

9、以都加至第一行上，依第一行展开即得：因此，的不变因子是，. 由定理5可知，的最小多项式实质为的最后一个不变因子，而，其中为的阶行列式因子，故可得求的最小多项式的方法.例6 求矩阵的最小多项式.解：右上角有一个三级子式所以 所以的不变因子是1，1，1，它的最小多项式为 三 、最小多项式的应用 这一节我们将讨论最小多项式的一些应用31 求矩阵的高次幂例7 已知 ，求 解：，由，而，知的最小多项式，所以不能对角化.但我们有 用待定系数法 令，对上式求导后再令 ，解得因此，3.2 判断矩阵是否可逆例8 设是矩阵的最小多项式.是任意多项式，证明：可逆的充要条件是证：若，则存在，使 于是，故，从而可逆.反之，当可逆时，设，于是 ， 从而有 ，（*）因为 ，所以，即可逆，这就有等式（*）推出，并进一步得到 且. 本文在文献1的基础上对最小多项式的求法做了总结和改进，并提出一些新的求法.同时，将最小多项式的求法应用到了求矩阵的高次幂和判断方阵可逆上，以此达到理论与实践的良好结合.参考文献1. 夏必腊，方阵最小多项式的性质与求法J，高等数学研究，2003，3：3439.2. 杨子胥，高等代数习题解M,山东:山东科学技术出版社,2001.3. 北京大学数学力学系，高等代数M,北京：高等教育出版社，1988.4. 刘玉森，苏仲阳主编，高等代数应试训练M，北京：地质出版社，1995.