完整版概率论与数理统计习题及答案选择题.docx
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完整版概率论与数理统计习题及答案选择题
《概率论与数理统计》习题及答案
选择题
单项选择题
1.以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件入为().
(A)“甲种产品滞销,乙种产品畅销”;
(B)“甲、乙两种产品均畅销”;
(C)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”:
(D)“甲种产品滞销”•
解:
设B'甲种产品畅销',C'乙种产品滞销',ABC
ABCBUC'甲种产品滞销或乙种产品畅销'.选C.
2.设A,B,C是三个事件,在下列各式中,不成立的是()•
(A)(AB)UB
AUB;
(B)(AUB)B
A;
(C)(AUB)ABABUAB;
(D)(AUB)C
(AC)U(BC).
解:
(AB)UB
ABUB(AUB)I®UB)AUB
A对.
(AUB)B
(AUB)BABUBBABABA
B不对
(AUB)AB
(AB)U(BA)ABUAB.C对
选B
同理D也对.
3.若当事件A,B同时发生时,事件C必发生,则().
(A)P(C)P(A)P(B)1;
(B)P(C)P(A)P(B)1;
(C)P(C)P(AB);
(D)P(C)P(AUB).
解:
ABCP(C)P(AB)P(A)P(B)P(AUB)P(A)P(B)1
选B.
4•设P(A)a,P(B)b,P(AUB)c,贝忡(廳)等于().
(A)ab;(B)cb;(C)a(lb);(D)ba.
解:
P(AB)P(AB)P(A)P(AB)aP(A)P(B)P(AUB)cb
选B.
5.设A,B是两个事件,若P(AB)0,则(
(A)A,B互不相容;
(B)AB是不可能事件;
(C)P(A)0或P(B)0;解:
QP(AB)0AB
(D)AB未必是不可能事件.
选D.
6.设事件A,B满足AB
(A)A,B互不相容;
则下列结论屮肯定正确的是(
(B)A,B相容;
(C)P(AB)
P(A)P(B);
(D)P(AB)
P(A).
解:
B
A
A,B相容
AB
P(AB)
B,B
A,AB
B错.
P(AB)
P(A)
而P(A)P(B)不一定为
P(AB)
P(A).
C错.
选D.
7•设0P(B)1,P(AlB)
(A)A,B互不相容;
P(AlB)
(B)
A,B互为对立;
(C)A,B不独立;
P(AB)P(AB^川牛・P(B)P(B)
P(AB)(1P(B))
A,B相互独立.
(D)
P(AB)P(AUB)P(AB)
P(B)1P(B)P(B)
P(B)(1P(A)P(B)P(AB))
P(B)(1P(B))
P(B)P2(B)P(AB)P(B)P(A)P(B)P2(B)选D.
P(AB)P(A)P(B)
8.下列命题中,正确的是(
1P(AUB)
P(B)
(A)若P(A)0,
则A是不可能事件;
(B)若P(AUB)
P(A)P(B),则A,B互不相容;
(C)若P(AUB)
P(AB)1
,则P(A)P(B)1;
(D)P(AB)解:
P(AUB)
P(A)P(B).
P(A)P(B)
P(AB)
P(AUB)P(AB)P(A)
P(B)1
由P(A)
B错.
只有当A
B时P(AB)P(A)
P(B),否则不对.
选C.
(A)P(AUB)P(A);
(B)P(AB)
P(A);
(C)P(B1A)P(B);
(D)P(BA)
P(B)P(A).
解:
BAAUBA
P(AUB)P(A)
选A.
10.设A,B是两个事件,且
P(A)P(AlB);
(A)P(A)P(AlB);
(B)P(B)0,
则有(
)
9.设A,B为两个事件,且B
A,则下列各式中正确的是(
).
(C)P(A)P(AlB);(D)前三者都不一定成立.
P(AB)
解:
P(AIB)要与P(A)比较,需加条件.选D.
P(B)
11・设0P(B)1,P(Ai)P(A2)0且P(AiUA2IB)P(A[IB)P(A2IB),
则下列等式成立的是()•
(A)P(AiUA2IB)P(AiIB)P(A2IB);
(B)P(AiBUA2B)P(AiB)P(A2B);
(C)P(AiUA2)P(AiIB)P(A2IB);
(D)P(B)P(Ai)P(BIAi)P(A2)P(BIA2).
解.:
P(AUAIB)P(AIB)P(AIB)P(AAIB)p(亦B)P(A?
IB)
P(AiA2IB)0P(AiA2B)0
P(AiBUA2B)P(AiB)P(A2B)P(AiA2B)P(AiB)P(A2B)选B.
解2:
由P{AiUA2IB}P(AiIB)P(A2IB)得
P(AiBUA2B)P(AiB)P(A2B)
P(B)P(B)
可见P(AiBUA2B)P(AiB)P(A2B)选B.
12.假设事件A,B满足P(BIA)1,贝ij().
(A、>
•B是必然事件;
(B)P(B)1;
(C)
P(AB)
0;
(D)AB.
解:
P(B1A)
P(AB)]
P(A)
P(AB)P(A)P(A)P(AB)0
P(A
B)0
选C.
13.
设A,B是两个事件,且
AB,P(B)0,则下列选项必然成立的是
).
(A)P(A)
P(AlB);(B)P(A)
P(AlB);
(C)P(A)
P(AlB);(D)P(A)
P(AlB).
解:
P(AIB)
P(AB)ABP(A)-
7P(A)
P(B)P(B)
AB
P(A)P(B)0P(B)1
选B
(或者:
AB,
P(A)P(AB)P(B)P(AlB)
P(AlB))
14.设P(B)
0,Ai,A2互不相容,则下列各式中不一定正确的是(
).
(A)P(AiA2IB)0;
(B)P(AiUA2IB)P(AiIB)P(A2IB);
(C)P(AiA2IB)1;
(D)P(AiUA2IB)1.
解:
P(AiA2)0QAiA2
A对.
B对.
C错.
1D对.
P(AiA2B)
P(AiA2IB)P(B)0
P(AiUA2IB)P(AiIB)P(A2IB)P(AiA2IB)
P(AiIB)P(A2IB)
P(AiA2IB)P(AiUA2IB)1P(AiUA2IB)
1P(AiIB)P(A2IB)1
P(AiUA2IB)P(AiA2IB)1P(AiA2IB)10
・・・选C.
15.设A,B,C是三个相互独立的事件,且0P(C)1,则在下列给定的
四对事件中不相互独立的是().__
(A)AUB与C;(B)AC与C;
(C)AB与C;(D)AB与C.
解:
P[(AUB)C]P(ABC)P(A)P(B)P(C)(1P(A))(lP(B))P(C)
[1(P(A)P(B)P(A)P(B))]P(C)P(AUB)P(C)A对.
P(ACC)P[(AUC)C]P(ACUCC)P(AC)P(C)P(AC)
11"111
P(C)P(AC)P(C)AC与C不独立选B.
16.设A,B,C三个事件两两独立,则A,B,C相互独立的充分必要条件是
().
(A)A与BC独立;(B)AB与AUC独立;
(C)AB与AC独立;(D)AUB与AUC独立.
解:
QA,B,C两两独立,
P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(BC)
若A,B,C相互独立则必有
A与BC独立.
反之,如IA与BC独立则P(ABC)P(A)P(BC)P(A)P(B)P(C)选A.
P(AB)P(BC)P(ABC)P(AUC)P(B)
P[(AC)A]P(ACA)P(AC)P(A)P(C)P(A)P(AC)
・・・C对・・・选D(也可举反例).
pi,第二道
18.—种零件的加工由两道工序组成.第一道工序的废品率为
・・・选B.
20・设随机变量X的概率分布为P(Xk)b4k1,2,L,b0,则
(C)
亠;
(D)-J—.
1b
b1
解:
P(X
K)
bkbkb
—b-
1
k1
k1k11
1
(A)为任意正实数;
(B)b1;
——选C•
1b
21.设连续型随机变量X的概率密度和分布函数分别为f(x)和F(x),则
下列各式正确的是()•
22.下列函数可作为概率密度的是(
).
(A)f(X)
elxl,
xR;
(B)f(X)
1
2,xR;
(1
x)
1
2x_
(C)f(X)
VT
e2,x0,
0
x0;
1,
1xl1,
(D)f(X)
0,
1xl1・
23.下列函数屮,可作为某个随机变量的分布函数的是()
1
(A)F(x)
1-;
(B)F(x)
丄—arctanx;
1X2
2
一(1eX),
x0
(C)F(x)
2
0,
x0;
(D)F(x)
f(t)dt,其中
f(t)dt1.
解:
对A:
0
F(x)1,但F(x)不具有单调非减性且F()
0/.A不是.
对B:
一arctanx一
・\0F(x)
1.
22
由arctanx是单调非减的
・・・F(x)是单调非减的.
F()
丄1—(-)0
F(
)
J-1
1.
22
22
F(x)具有右连续性.
・・・选B.
24・设Xi,X2
是随机变量,其分布函数分别为Fi(x),F2
(X),为使
F(x)aFi(x)
bF2(x)是某一随机变量的分布函数,
在下列给定的各组数值
中应取()•
3
2
(A)a—,
b2:
(B)a—,
b
2;
5
5
3
1
(C)a_
b3;
(D)a_,
b
3.
2
2
2
2
解:
F()
aFi()bF2(
)0,F(
)
ab1,
只有A满足
/.选A
25.设随机变量X的概率密度为
f(x),且f(
x)
f(x),F(x)是X的分
则对任意实数
布函数,
a有()•
()f(X)dx;
(c)
F(1
x)1F(1
X);
1X
1X
(D)
F
1F
■
2
2
解:
QX
-N(l,22)
f(x)
以X1为对称轴对称.
P(X1x)
P(X
1x)
SI
JF(1x)1
P(X
1x)1
F(1x)
选
C.
27.
设
X〜N(,4
2),Y~
N(,52)
设P(X
4)
pi,
5)
p2,则(
).
(A:
•对任
:
意实数有pi
P2;
(B)
PlP2;
(C)
Pl
P2;
(D)
只对的个别值才有pl
P2•
解:
P(X4)
4
(1)
Pl
(1)1
4
玖Y5)
5)
5
(1)
P2
1P(Y
1
5
1
•
••
Pl
P2・•・
选A
(or利用对称性)
28.
设X
〜N(,2),
则随着
的增大,概率P(|X
1)的值
()
(B)
P(Y
(A)
F(x)1F(x);f(x)f(x);
・・・选C.
1)P(Y1)P(X1)P(Yi)————一
31.设随机变量X与Y相互独立,其概率分布分别为
X
i
1
Y
1
1
p
i
1
P
1
1
2
2
2
2
则下列式子正确的是(
).
(A)XY;
(B)P(XY)0;
(C)P(XY)
1
—■
(D)P(XY)1.
2
解:
A显然不对.
P(X
Y)P(X1,Y1)P(X
1,Y
P(X
・・・选C.
32.设X〜N(0,1),Y〜N(l,l),且X与Y相互独立,则(
(A)P(XY
1
0)-;
2
(B)P(X
1
Y1)
2
(C)P(XY
0)丄;
(D)
P(XY
1)丄.
2
2
解:
X〜N(0,
1)Y〜N(l,l)且独立
•
••
X
Y〜N(l,2)
P(XY
1)P(XY
1)
(0)
2
・・・选B.
33.设随机变量
1
01
Xi〜_1
-1」
i
1,2
4
24
且满足P(XiX2
0)1,则P(Xi
X2)
(
)
•
解:
f(X)
EX
0
X
i
x1
4
5dx4
X
dx
4
1X
13
4
(一)x
3
4
13
・•・选C.
36.已知X〜B(
n,p),EX
2.4,DX1.44,
则二项分布的参数为(
)
(A)n4,p
0.6;
(B)
n6,p
0.4:
(C)n
8,p
0.3;
(D)
n24,p
0.1.
EX
解:
np
2.4
q
1.44
2.40.6
P
0.4n
6
DX
npq
1.44
・•・选B.
37・已知离散型随机变量
X的可能值为xi
1,
X2
0,X3
1
且
0.1,DX0.89,则对应于
xi,X2
X3的概率
Pl,P2
,P3
为(
).
(A)pi
0.4,
P20・l,p3
0.5;
(B)pi
0.1,
P2
0.1,
P3
0.5;
(C)pi
0.5,
P20.1,p3
0.4;
(D)pi
0.4,
P2
0.5,
P3
0.5
解:
EX
0.1
PlP3
DX
EX2
(EX)2
EX2
0.89(0.1)20.9
Pl
P3
Pi
0.4
P2
0.1・•・
选A.
P3
0.5
38.设X,
~N(2,1),Y〜N(
1,1),
且X,Y独立,记
z
3X
2Y
6,
(A)2;
(B)
4x5
0;
(C)4/3;
(D)8/3.
1
X
EX
(D)N(1,5).
(C)N(2,13);
解:
X〜N(2,l)Y〜N(1,1)且独立
EZE(3X2Y6)2.
DZ9DX4DY9413.
又独立正态变量的线性组合仍为正态变量,・・・Z〜N(2,13)
・・・选C.
39.设X〜N(2,9),Y〜N(2,l),E(XY)6,则D(XY)之值为(
E(XiX2X3)D(XiX2X3)3
1
D[tXi
3
x2x3)]
1
-D(XiX2
9
EY2(EY)2
x3)-
3
EY22
・・・EY2
2—
・••选C.
3
(A)14;
(B)
6;
(C)12;(D)4
解:
D(X
Y)
DX
DY2cov(X,Y),
cov(X,Y)
EXY
EXEY642
D(X
Y)
91
226.
•••选B・
42.设X,Y的方差存在,且EXYEXEY,则().
(A)D(XY)DXDY;(B)D(XY)DXDY;
(C)X与Y独立;(D)X与Y不独立.
解:
D(XY)DXDY2cov(X,Y)
DXDY2(EXYEXEY)DXDY・••选B.
43.若随机变量X,Y满足D(XY)D(XY),且DXDY0,则必有
).
・・・选B.
44.设X,Y的方差存在,且不等于0,则D(XY)DXDY是X,Y
(A)不相关的充分条件,但不是必要条件;
(B)独立的必要条件,但不是充分条件;
以槪率1
解:
cov(X,Y)cov(X,aXb)acov(X,X)aDX
0
1
2
0
0.1
0.05
0.25
1
0
0.1
0.2
2
0.2
0.1
0
・•・选C.
47.设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为
解:
P(X
o,Y
0)
0.1
P(X
0)P(Y
0)
(0.1
0.05
0.25)(0.10.2)
0.4
0.3
0.12
P(X
0,Y
0)
P(X
0)P(Y
0)
X与Y不独立.・・・选A.
48.设X为连续型随机变量,方差存在,则对任意常数C和0,必有
(B)
P(lXC1
)
E1X
(C)
P(lXC1
)
E1X
(D)
P(lXC1)
DX/2.
解:
P(lXC1
)
IXCl
ci/:
ci/:
(A)P(lXCl)EIXCl/;
IXCI
f(x)dxf(x)dx
IXCI
1f(x)dx」EIXCI
i12,则()•
Xin
(A)limP-j-tx(x)
nn
(B)当n充分大时,
Xi近似服从标准正态分布;
i1
(C)当n充分大时,
Xi近似服从N(n,n);
iI
(D)当n充分大时,P(Xi
i1
X)
(X).
解:
由独立同分布中心极限定理
Xi近似服从N(n
n)
51.
设X1,X2,为独立随机变量序列,
且均服从参数为
的指数分布,
(C)
(D)
解:
limP
n
limP
n
limP
n
HmP
n
EXi
由中心极限定理
(X);
2
1/
n
Xi
i1
DXj
limP
n
1_
n
Xi
(x).
DXj
1
limP
x(x).
・・・选B.
52.设X1,X2,X3,X4是总体N(,
2)的样本,
已知,
2未知,则不
是统计量的是(
(A)Xj5X4;(B)Xi;
i1
4
(C)X1;(D)Xi2.
i1
统计量是不依赖于任何未知参数的连续函数.
・・・选C.
53.设总体X〜B(l,p),X1,X2,,Xn为来自X的样本,则P壬-
n
().
(A)p;
(B)1p;
(C)Cnkpk(lp)nk;
(D)Cnk(lp)kpnk.
解:
XlX2X“相互独立且均服从
n
B(l,p)故Xi~B(n,p)
i1
即n乂〜B(n,p)则P(文’
k)P(nXk)Cnkpk(lp)nk
n
・・・选c.
54•设Xi,X2,,xn是总体N(0,1)的样本,X和S分别为样本的均值和
样本标准差,则()•
(A)X/S~t(n
1);
(B)壬〜N(0,1);
J——
(C)
(n1)S2〜
2(n1)
■
(D)UnX〜