完整版概率论与数理统计习题及答案选择题.docx
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完整版概率论与数理统计习题及答案选择题
《概率论与数理统计》习题及答案
选择题
单项选择题
1.以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件入为（）.
（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；
（B）“甲、乙两种产品均畅销”；
（C）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”:
（D）“甲种产品滞销”•
解：
设B'甲种产品畅销'，C'乙种产品滞销'，ABC
ABCBUC'甲种产品滞销或乙种产品畅销'.选C.
2.设A,B,C是三个事件，在下列各式中，不成立的是（）•
（A）（AB）UB
AUB;
（B）（AUB）B
A;
（C）（AUB）ABABUAB;
（D）（AUB）C
（AC）U（BC）.
解：
（AB）UB
ABUB（AUB）I®UB）AUB
A对.
（AUB）B
（AUB）BABUBBABABA
B不对
（AUB）AB
（AB）U（BA）ABUAB.C对
选B
同理D也对.
3.若当事件A,B同时发生时，事件C必发生，则（）.
（A）P（C）P（A）P（B）1；
（B）P（C）P（A）P（B）1；
（C）P（C）P（AB）；
（D）P（C）P（AUB）.
解：
ABCP（C）P（AB）P（A）P（B）P（AUB）P（A）P（B）1
选B.
4•设P（A）a,P（B）b,P（AUB）c,贝忡（廳）等于（）.
（A）ab；（B）cb；（C）a（lb）；（D）ba.
解：
P（AB）P（AB）P（A）P（AB）aP（A）P（B）P（AUB）cb
选B.
5.设A,B是两个事件，若P（AB）0,则（
（A）A,B互不相容;
（B）AB是不可能事件;
（C）P（A）0或P（B）0；解：
QP（AB）0AB
（D）AB未必是不可能事件.
选D.
6.设事件A,B满足AB
（A）A,B互不相容;
则下列结论屮肯定正确的是（
（B）A,B相容；
（C）P（AB）
P（A）P（B）；
（D）P（AB）
P（A）.
解:
B
A
A,B相容
AB
P（AB）
B,B
A,AB
B错.
P（AB）
P（A）
而P（A）P（B）不一定为
P（AB）
P（A）.
C错.
选D.
7•设0P（B）1,P（AlB）
（A）A,B互不相容；
P（AlB）
（B）
A,B互为对立;
（C）A,B不独立；
P（AB）P（AB^川牛・P（B）P（B）
P（AB）（1P（B））
A,B相互独立.
（D）
P（AB）P（AUB）P（AB）
P（B）1P（B）P（B）
P（B）（1P（A）P（B）P（AB））
P（B）（1P（B））
P（B）P2（B）P（AB）P（B）P（A）P（B）P2（B）选D.
P（AB）P（A）P（B）
8.下列命题中，正确的是（
1P（AUB）
P（B）
（A）若P（A）0,
则A是不可能事件;
（B）若P（AUB）
P（A）P（B）,则A,B互不相容;
（C）若P（AUB）
P（AB）1
，则P（A）P（B）1；
（D）P（AB）解：
P（AUB）
P（A）P（B）.
P（A）P（B）
P（AB）
P（AUB）P（AB）P（A）
P（B）1
由P（A）
B错.
只有当A
B时P（AB）P（A）
P（B）,否则不对.
选C.
（A）P（AUB）P（A）；
（B）P（AB）
P（A）；
（C）P（B1A）P（B）；
（D）P（BA）
P（B）P（A）.
解：
BAAUBA
P（AUB）P（A）
选A.
10.设A,B是两个事件，且
P（A）P（AlB）；
（A）P（A）P（AlB）；
（B）P（B）0,
则有（
）
9.设A,B为两个事件，且B
A,则下列各式中正确的是（
）.
（C）P（A）P（AlB）；（D）前三者都不一定成立.
P（AB）
解：
P（AIB）要与P（A）比较，需加条件.选D.
P（B）
11・设0P（B）1,P（Ai）P（A2）0且P（AiUA2IB）P（A[IB）P（A2IB）,
则下列等式成立的是（）•
（A）P（AiUA2IB）P（AiIB）P（A2IB）；
（B）P（AiBUA2B）P（AiB）P（A2B）；
（C）P（AiUA2）P（AiIB）P（A2IB）；
（D）P（B）P（Ai）P（BIAi）P（A2）P（BIA2）.
解.：
P（AUAIB）P（AIB）P（AIB）P（AAIB）p（亦B）P（A?
IB）
P（AiA2IB）0P（AiA2B）0
P（AiBUA2B）P（AiB）P（A2B）P（AiA2B）P（AiB）P（A2B）选B.
解2：
由P{AiUA2IB}P（AiIB）P（A2IB）得
P（AiBUA2B）P（AiB）P（A2B）
P（B）P（B）
可见P（AiBUA2B）P（AiB）P（A2B）选B.
12.假设事件A,B满足P（BIA）1,贝ij（）.
（A、＞
•B是必然事件；
（B）P（B）1；
（C）
P（AB）
0；
（D）AB.
解：
P（B1A）
P（AB）]
P（A）
P（AB）P（A）P（A）P（AB）0
P（A
B）0
选C.
13.
设A,B是两个事件，且
AB,P（B）0,则下列选项必然成立的是
）.
（A）P（A）
P（AlB）；（B）P（A）
P（AlB）；
（C）P（A）
P（AlB）；（D）P（A）
P（AlB）.
解：
P（AIB）
P（AB）ABP（A）-
7P（A）
P（B）P（B）
AB
P（A）P（B）0P（B）1
选B
（或者：
AB,
P（A）P（AB）P（B）P（AlB）
P（AlB））
14.设P（B）
0,Ai,A2互不相容，则下列各式中不一定正确的是（
）.
（A）P（AiA2IB）0；
（B）P（AiUA2IB）P（AiIB）P（A2IB）；
（C）P（AiA2IB）1；
（D）P（AiUA2IB）1.
解：
P（AiA2）0QAiA2
A对.
B对.
C错.
1D对.
P（AiA2B）
P（AiA2IB）P（B）0
P（AiUA2IB）P（AiIB）P（A2IB）P（AiA2IB）
P（AiIB）P（A2IB）
P（AiA2IB）P（AiUA2IB）1P（AiUA2IB）
1P（AiIB）P（A2IB）1
P（AiUA2IB）P（AiA2IB）1P（AiA2IB）10
・・・选C.
15.设A,B,C是三个相互独立的事件，且0P（C）1,则在下列给定的
四对事件中不相互独立的是（）.__
（A）AUB与C；（B）AC与C；
（C）AB与C；（D）AB与C.
解：
P[（AUB）C]P（ABC）P（A）P（B）P（C）（1P（A））（lP（B））P（C）
[1（P（A）P（B）P（A）P（B））]P（C）P（AUB）P（C）A对.
P（ACC）P[（AUC）C]P（ACUCC）P（AC）P（C）P（AC）
11"111
P（C）P（AC）P（C）AC与C不独立选B.
16.设A,B,C三个事件两两独立，则A,B,C相互独立的充分必要条件是
（）.
（A）A与BC独立；（B）AB与AUC独立；
（C）AB与AC独立；（D）AUB与AUC独立.
解：
QA,B,C两两独立，
P（ABC）P（A）P（B）P（C）P（A）P（BC）
若A,B,C相互独立则必有
A与BC独立.
反之，如IA与BC独立则P（ABC）P（A）P（BC）P（A）P（B）P（C）选A.
P（AB）P（BC）P（ABC）P（AUC）P（B）
P[（AC）A]P（ACA）P（AC）P（A）P（C）P（A）P（AC）
・・・C对・・・选D（也可举反例）.
pi,第二道
18.—种零件的加工由两道工序组成.第一道工序的废品率为
・・・选B.
20・设随机变量X的概率分布为P（Xk）b4k1,2,L,b0,则
（C）
亠；
（D）-J—.
1b
b1
解：
P（X
K）
bkbkb
—b-
1
k1
k1k11
1
（A）为任意正实数;
（B）b1；
——选C•
1b
21.设连续型随机变量X的概率密度和分布函数分别为f（x）和F（x）,则
下列各式正确的是（）•
22.下列函数可作为概率密度的是（
）.
（A）f（X）
elxl,
xR；
（B）f（X）
1
2,xR；
（1
x）
1
2x_
（C）f（X）
VT
e2,x0,
0
x0;
1,
1xl1,
（D）f（X）
0,
1xl1・
23.下列函数屮，可作为某个随机变量的分布函数的是（）
1
（A）F（x）
1-；
（B）F（x）
丄—arctanx；
1X2
2
一（1eX）,
x0
（C）F（x）
2
0,
x0;
（D）F（x）
f（t）dt,其中
f（t）dt1.
解：
对A:
0
F（x）1,但F（x）不具有单调非减性且F（）
0/.A不是.
对B:
一arctanx一
・\0F（x）
1.
22
由arctanx是单调非减的
・・・F（x）是单调非减的.
F（）
丄1—（-）0
F（
）
J-1
1.
22
22
F（x）具有右连续性.
・・・选B.
24・设Xi,X2
是随机变量，其分布函数分别为Fi（x）,F2
（X）,为使
F（x）aFi（x）
bF2（x）是某一随机变量的分布函数,
在下列给定的各组数值
中应取（）•
3
2
（A）a—,
b2:
（B）a—,
b
2；
5
5
3
1
（C）a_
b3；
（D）a_,
b
3.
2
2
2
2
解：
F（）
aFi（）bF2（
）0,F（
）
ab1,
只有A满足
/.选A
25.设随机变量X的概率密度为
f（x）,且f（
x）
f（x）,F（x）是X的分
则对任意实数
布函数,
a有（）•
（）f（X）dx；
（c）
F（1
x）1F（1
X）;
1X
1X
（D）
F
1F
■
2
2
解：
QX
-N（l,22）
f（x）
以X1为对称轴对称.
P（X1x）
P（X
1x）
SI
JF（1x）1
P（X
1x）1
F（1x）
选
C.
27.
设
X〜N（,4
2）,Y~
N（,52）
设P（X
4）
pi,
5）
p2,则（
）.
（A:
•对任
:
意实数有pi
P2；
（B）
PlP2；
（C）
Pl
P2；
（D）
只对的个别值才有pl
P2•
解：
P（X4）
4
（1）
Pl
（1）1
4
玖Y5）
5）
5
（1）
P2
1P（Y
1
5
1
•
••
Pl
P2・•・
选A
（or利用对称性）
28.
设X
〜N（,2）,
则随着
的增大，概率P（|X
1）的值
（）
（B）
P（Y
（A）
F（x）1F（x）；f（x）f（x）；
・・・选C.
1）P（Y1）P（X1）P（Yi）————一
31.设随机变量X与Y相互独立，其概率分布分别为
X
i
1
Y
1
1
p
i
1
P
1
1
2
2
2
2
则下列式子正确的是（
）.
（A）XY；
（B）P（XY）0；
（C）P（XY）
1
—■
（D）P（XY）1.
2
解：
A显然不对.
P（X
Y）P（X1,Y1）P（X
1,Y
P（X
・・・选C.
32.设X〜N（0,1）,Y〜N（l,l）,且X与Y相互独立，则（
（A）P（XY
1
0）-；
2
（B）P（X
1
Y1）
2
（C）P（XY
0）丄；
（D）
P（XY
1）丄.
2
2
解：
X〜N（0,
1）Y〜N（l,l）且独立
•
••
X
Y〜N（l,2）
P（XY
1）P（XY
1）
（0）
2
・・・选B.
33.设随机变量
1
01
Xi〜_1
-1」
i
1,2
4
24
且满足P（XiX2
0）1,则P（Xi
X2）
（
）
•
解：
f（X）
EX
0
X
i
x1
4
5dx4
X
dx
4
1X
13
4
（一）x
3
4
13
・•・选C.
36.已知X〜B（
n,p）,EX
2.4,DX1.44,
则二项分布的参数为（
）
（A）n4,p
0.6；
（B）
n6,p
0.4:
（C）n
8,p
0.3；
（D）
n24,p
0.1.
EX
解：
np
2.4
q
1.44
2.40.6
P
0.4n
6
DX
npq
1.44
・•・选B.
37・已知离散型随机变量
X的可能值为xi
1,
X2
0,X3
1
且
0.1,DX0.89,则对应于
xi,X2
X3的概率
Pl，P2
，P3
为（
）.
（A）pi
0.4,
P20・l,p3
0.5；
（B）pi
0.1,
P2
0.1,
P3
0.5；
（C）pi
0.5,
P20.1,p3
0.4；
（D）pi
0.4,
P2
0.5,
P3
0.5
解：
EX
0.1
PlP3
DX
EX2
（EX）2
EX2
0.89（0.1）20.9
Pl
P3
Pi
0.4
P2
0.1・•・
选A.
P3
0.5
38.设X，
~N（2,1）,Y〜N（
1,1），
且X,Y独立，记
z
3X
2Y
6,
（A）2；
（B）
4x5
0；
（C）4/3；
（D）8/3.
1
X
EX
（D）N（1,5）.
（C）N（2,13）；
解：
X〜N（2,l）Y〜N（1,1）且独立
EZE（3X2Y6）2.
DZ9DX4DY9413.
又独立正态变量的线性组合仍为正态变量，・・・Z〜N（2,13）
・・・选C.
39.设X〜N（2,9）,Y〜N（2,l）,E（XY）6,则D（XY）之值为（
E（XiX2X3）D（XiX2X3）3
1
D[tXi
3
x2x3）]
1
-D（XiX2
9
EY2（EY）2
x3）-
3
EY22
・・・EY2
2—
・••选C.
3
（A）14；
（B）
6；
（C）12；（D）4
解：
D（X
Y）
DX
DY2cov（X,Y）,
cov（X,Y）
EXY
EXEY642
D（X
Y）
91
226.
•••选B・
42.设X,Y的方差存在，且EXYEXEY,则（）.
（A）D（XY）DXDY；（B）D（XY）DXDY；
（C）X与Y独立；（D）X与Y不独立.
解：
D（XY）DXDY2cov（X,Y）
DXDY2（EXYEXEY）DXDY・••选B.
43.若随机变量X,Y满足D（XY）D（XY）,且DXDY0,则必有
）.
・・・选B.
44.设X,Y的方差存在，且不等于0,则D（XY）DXDY是X,Y
（A）不相关的充分条件，但不是必要条件;
（B）独立的必要条件，但不是充分条件;
以槪率1
解：
cov（X,Y）cov（X,aXb）acov（X,X）aDX
0
1
2
0
0.1
0.05
0.25
1
0
0.1
0.2
2
0.2
0.1
0
・•・选C.
47.设二维离散型随机变量（X,Y）的分布律为
解：
P（X
o,Y
0）
0.1
P（X
0）P（Y
0）
（0.1
0.05
0.25）（0.10.2）
0.4
0.3
0.12
P（X
0,Y
0）
P（X
0）P（Y
0）
X与Y不独立.・・・选A.
48.设X为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数C和0,必有
（B）
P（lXC1
）
E1X
（C）
P（lXC1
）
E1X
（D）
P（lXC1）
DX/2.
解：
P（lXC1
）
IXCl
ci/:
ci/:
（A）P（lXCl）EIXCl/；
IXCI
f（x）dxf（x）dx
IXCI
1f（x）dx」EIXCI
i12，则（）•
Xin
（A）limP-j-tx（x）
nn
（B）当n充分大时,
Xi近似服从标准正态分布;
i1
（C）当n充分大时,
Xi近似服从N（n,n）；
iI
（D）当n充分大时，P（Xi
i1
X）
（X）.
解:
由独立同分布中心极限定理
Xi近似服从N（n
n）
51.
设X1,X2,为独立随机变量序列,
且均服从参数为
的指数分布,
（C）
（D）
解:
limP
n
limP
n
limP
n
HmP
n
EXi
由中心极限定理
（X）；
2
1/
n
Xi
i1
DXj
limP
n
1_
n
Xi
（x）.
DXj
1
limP
x（x）.
・・・选B.
52.设X1,X2,X3,X4是总体N（,
2）的样本,
已知,
2未知，则不
是统计量的是（
（A）Xj5X4；（B）Xi；
i1
4
（C）X1；（D）Xi2.
i1
统计量是不依赖于任何未知参数的连续函数.
・・・选C.
53.设总体X〜B（l,p）,X1,X2,,Xn为来自X的样本，则P壬-
n
（）.
（A）p；
（B）1p；
（C）Cnkpk（lp）nk；
（D）Cnk（lp）kpnk.
解：
XlX2X“相互独立且均服从
n
B（l,p）故Xi~B（n,p）
i1
即n乂〜B（n,p）则P（文’
k）P（nXk）Cnkpk（lp）nk
n
・・・选c.
54•设Xi,X2,,xn是总体N（0,1）的样本，X和S分别为样本的均值和
样本标准差，则（）•
（A）X/S~t（n
1）；
（B）壬〜N（0,1）；
J——
（C）
（n1）S2〜
2（n1）
■
（D）UnX〜
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