第八讲三角形的重心.docx
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第八讲三角形的重心
第八讲三角形的重
心
-CAL-FENGHAL-（YICAI）-CompanyOnel
初中阶段我们S经学习了关于三角形的边和角的许多性质，也涉及三角形边上中线、高线、垂直平分线以及内角平分线的一些性质。
例如，线段（如三角形的一边）的垂直平分线上的点和这条线段两站点的距离相等。
反之，和一条线段两个端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上；角（如三角形的一个内角）的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
反之，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，诸如此类。
涉及一个三角形的三条中线、三条高线、三条边的垂直平分线以及三个内角平分线的性质及相互关系是中学平面儿何的重要内容。
在高中学习中，会涉及三角形三条中线交点、三条高线交点、三条边的垂直平分线交点以及三个内角平分线交点，即三角形的儿个“巧合点”。
本节将对这些知识作较系统的阐述。
一.三角形的巫心
如图8・：
L在△ABC中，AD、BD是两条中线，记它们的交点为G,连接
DE、DE是三角形的中位线。
•••DE//AB,且DE=-AB.
AZGAB=ZGDErZ6BA=ZGED.
AAAGB^ADGEr且相似比为2：
1.
AAG=2GD,BG=2GE.于是得到关于三角形中线的一个重要性质：
三角形的两条中线的交点把这两条中线都分成2：
1的两段。
现在再研究第三条中线与其他两条中线交点有什么特殊性质。
图8-2
如图8・2,设△ABC的两条中线AD、BE交于G,中线CF、BE交于G'•山
S知的三角形中线的性质，则有BG=2GEr且BG'=2G'E,CG’=2G'F.
•••G，与G重合，则三角形的三条中线相交于一点，且该点把三角形的各中线分成长度比为2：
1的两段，这个交点称为三角形的重心。
三角形的重心必在三角形的内部。
今后我们也常说：
三角形的重心把中线分成2：
1的两段。
例1如图8・3,已知E、F分别是平行四边形ABCD边AD、CD的中点，BE和BF分别交对角线AC于M、N,求证：
AM=MN=NCo
分析四边形问题常转化为三解形问题，连接BD,则BE、BF分别为△
ABD、△CBD的中线，再利用中线、重心的性质问题，则问题迎刃而解。
证明连接BD,BD'jAC交于6根据平行四边形性质，0为BD的中点。
TE为AD的中点，•••（\/1是^ABD的重心，AAM=2MOo
同理，CN=2N0,贝l」MO=_A（ZNO=_CO,山于AOCO,/.3-
22
MN=-AO=-CO=AM=CN.
33
例2求证：
两条中线相等的三角形是等腰三角形。
已知：
△ABC中，中线BE二CD
求证：
△ABC是等腰三角形
证明—如图8・4,设中线BE、CD交于G,则G为ZiABC的重心。
•••
22
GB=-BE.CG=-CO・tbe二cd,/.gb=cg
33
/.AEBC^ADCBrAZABC=ZACB,AAB=AC
故△ABC是等腰三角形。
一般地，涉及三角形中两条或三条中线关系的问题，应考虑图8-5重心及其性质来解。
二、三角形的垂心
下面来研究三角形三条高所在直线的关系。
如图8・5,锐角三角形ABC中，BC、AC上的高AD、BE交于H。
试问：
AB上的高是否也过点H
回答是肯定的。
连接CH并延长交ABrF,现在来证明CF就是AB上的
7ZCEH=ZCDH=90",「•以CH为直径作圆，D、E在这圆上，AZBCFZ
同理，D、E也在以AB为直径的圆上，ZDEB=ZDAB,AZBCF=ZDAB
乂在△BCF、△bad中，ZB为共公角，AZCFB=ZADB=90",即CF丄
读者可以证明，钝角三角形的三条髙在直线也相交于一点，这交点在三角
形外部。
我们把三角形三条高或其延长线的交点称为三角形的垂心。
锐角三角形垂
心在三角形形内；直角三角形垂心为这三角形的直角顶点：
钝角三角形的垂心
在三角形形外（如图8・7所示）。
例3如图8・8,△ABC中，ZABC=40",ZACB=62",H为ZiZABC的垂
ZBHC=ZDHE=360"—ZADB-ZAEC—ZA=102"
三、三角形的内心
在初中阶段已经学习了三角表外心的知识。
三角形三条边的垂直平分线相
交于一点，这一点称为三角形的外心，即三角形外接圆圆心。
如图8・9所示,
我们还知道，锐角三角形外心在三角形形内：
直角三角形外心为直角三角形斜
边中点：
钝角三角形外心在三角形形外。
在RtAABD中,
AB=JaD?
+BD2=J（R+a）2=rU=后2+鸟血■••△ABC的腰长为J2R2+2aR,底边长为2旅-/。
例5求证：
连接三角形三边中点所得三角形的重心是原三角形的外心。
已知：
△ABC各边中点D、E、F,连接ED、EF、FD。
求证：
△EDF的垂心是△ABC的外心。
证明如图8-llr设△DEF的垂心为6连接
0D、0E、OF,则0D丄EF,0E丄DF,OF丄ED。
TEF是△ABC的中位线，•••EF〃BGAODlBC
同理，OE丄AC,OF±AB
C
VD>E、F分别为BC、CA、AB的中点,
直线OD、OE、OF分别为BC、CA、AB的垂直平分线,
则O是△ABC的
外心。
四、三角形的内心
初中阶段也已经学习了三角形的内心知识。
三角形
的内心指的是三角形三个内角平分线的交点，它具有到
三角形三条边距离相等的性质，它就是三角形内切圆圆
C
心。
因此称之为内心，如图8・12所示。
不论是锐角三角形，还是直角三角形、钝角三角形，它的内心都在三角形
的内部。
如图8-12,设△ABC内切圆©I与边BC、CA、AB分别切于M、N、S,根据
圆的切线性质，知AS二AN,BS=BM,CM=CNr
/.AS=AN=-{AB+AC-CN}=-{AB+AC-BM-MC}=-{AB+AC-BC}
222
同理，BM=BC=-（BC+BA-AO,CM=CN=-（CB+CA-AB）.
22
记BC=a»AC=b»AB=c»p=—（a+b+c）,则有
AS=AN=—（b+c—a）=p—a；BM=BS=—（a+c-h）=p—h；2
CM=CN=—（a+b-c）=p—c
上述结果在涉及三角形内心或内切圆问题时
常用到。
例6已知RtAABC中，两直角边BC、AC分
别为5、12,求△ABC内切圆半径。
D
解如图8-13r△ABC内心I,内切圆与三角形各
边相切于D、E、Fr连接ID、IE、IF,
7ZC=90",易知DIEC为正方形,
化内切圆半径r=CD=CE=p-c,其中C为三角表斜边=13,
D
〃=—（a+Z?
+c）=—（5+12+13）=15.二r=2o
例7求证：
内心与外心为同一点的三角形一定是正三角形。
已知：
△ABC的内心与外心同为0。
求证：
△ABC是正直角三角形。
证明：
如图8-14,TO为△ABC的外心,
/.OB=OC=OA,AZOAB=ZOBA,ZOAC=ZOCA
乂0是△ABC的内心，•••ZOAB=ZOAC,
AZOBA=ZOCAr/.ZAOB=AOC=180"-2Z0AB
ZAAOB^AAOCrAAB=AC,同理AB=BC
C
「•△ABC是正三角形。
本题有多种证法，同学们自己可试一试。
一般地还可以得到多个真命题：
“若三角形内心和重心为同一点，则这个
三角形是正三角形”；“若三角形外心和重心为同一点，则这个三角形为正三
角形”……同学们可自行探究。
当我们研究三角形的一个内角平分线与其他两个角的外角平分线的关系
时，我们会发现这样的三条直线也会相交于一点，且这点到三角形各边或它的
延长线等距离，如图8・25。
△ABC中，ZA平分线、ZB、ZC的外角Z
CBB'、ZBCC'的平分线（或其延长线）相交于一点
11，11到BC、AB，、AC'的距离相等（图中110=liE=
I1F）.那么以h为圆心，以到三角形各边（或其延长
线）的距离为半径的圆与三角形的三边（或其延长）
B'
均相切。
但这圆的圆心在三角形形外，有别于三角形的内切圆圆心，俗称旁心。
三角形有三个旁心。
如图,
△ABC的重心为G,直线1过顶点A,B、C到I的距离分别为
nTT、
如图，△ABC的三条中线为AD、BE、CF,在中线BE、CF上分别取点
3.如图，△ABC的外心为6若ZAB840°,ZACB=72",求ZBOCo
CIA、ZAlBo
6.已知△ABC中，BC=3,AB=4,AU5,求△ABC内切圆周长与面积。
P=—（«+/?
+C）•求证:
2
（1）△ABC的面积Shp：
（2）F=[（""）（""）（卩◎,s=jp（p_G）（P--（?
）（S知三角形面积公式，读者可考虑该公司如何证明）
3.
4.
求证：
直角三角形内切圆直径与外接圆直径的和等于两直角边的和。
设△ABC的外心为6垂心为H,求证：
AH等于点0到边BC距离的2
倍。
阅读材料3平面几何有关的定理与性质
在高中向量、解析儿何与立体儿何学习中需要用到平行线分线段成比例定理、直角三角形的射影定理以及圆中的垂径定理、直线与圆的位置关系、两圆的位置关系等知识，因此有必要对这些知识进行归纳、整理。
本讲分两部分，第一部分从同学们熟悉的相似三角形知识入手，介绍平行线分线段成比例定理、三角形内角与外角平分线性质定理、直角三角形中的射影定理：
第二部分介绍与圆有关的定理：
垂径定理、相交弦定理.切割弦定理，同时探讨直线与圆、圆与圆的位置关系。
一.与比例线段有关的定理
r平行线分线段成比例定理
如图：
b在AlABC中，若DE〃BC,DE交AB于D,交AC于E,则△ADEs△ABC。
因此，务令喘’利用比例的性质可以得到
AnAFAHDR
DB
等罟=笋将此结论推广’可以得到平行线分线段成比例定理。
平行线分段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
GH=EFoTBG〃CH,/.—=—=—.即也
BCGHEFBCEF
利用平行线分线段比例定理，可以将一条直线上的比例线段“移”到另一条直线上，它是解决有关比例线段问题的常用方法。
如，山平行线分线段成比例定理可推出三角形内角与外角平分线性质定理。
例1如图3,在△ABC中，若DE〃AB〃FG,且FG到DE、AB的距离之比
为1：
2,若△ABC的面积为32,ACDE的面积为2,则△CFG的面积S等于
分析由DE〃AB〃FG知，△CDEs^CFGs^CAB,要求△CFG的面积S只
需求出它们的相似比。
AD3
CD
AACFG的面积S等于8,选Bo
例2如图4,AABC中，D、E分别在边BC、AB±,且Z1=Z2=Z3r设^
分析利用相似三角形的性质建立与巴匸竺与三角形之间的联系，再利用
in
二次函数的性质求最大值。
解设AB二C,BC=a,CA=b
|||Z2=Z3,矢aDE〃AC
in
仅当2=丄，即BU2A时，=2
a2in4
••巴a的最大值为2.
4
2.三角形内外与外角平分线性质定理
（1）三角形内角平分线性质定理三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
如图5,在△ABC中，AD是ZA的平分线，点D在线段BC上，则DBAB
DCAC
证明如图6,过点C作CEZZAD交BA的延长线于E,则鴛=器
TCE〃AD,AZDAC=ZACErZBAD=ZAEC
TAD平分ZBAC,ZBAD二ZDAC,AZACE=ZAEC,AE=AC
•DBABAB士人+r
•=—结论成立。
DCAEAC
（2）三角形外角平分线性质定理三角形的外角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
图7
如图7,在△ABC中，AD是ZA的外角ZFAC的平分线，点D在线段BC的延长线上,则屠令成本定理的证明。
3.直角三角形中的射影定理
如图8,在RtAABC中，CD是斜边AB边上的高，则CD?
二AD•BD,
AC2=AD•AB,BC2二BD•BA.
证明在△ABC中，ZACB=90",CD丄AB,
AZCAD=ZDCBrZCDA=ZCDB=90",ACAD^ABCD.
图8
.ADDC,
…=,CD—AD*BD.
DCDB
同理，△ACDs^aBC,△BCDs^baC,.AC_ADBC_BD
…而"7?
'丽"无
/.AC2=AD•AB,BC2二BD•BA.
在处理与直角三角形有关问题时，还常常用到关系式CAXCB=CDXAB,即直角三角形两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
上述提到的四个式子，是处理与直角三角形有关问题时，经常使用的关系
式。
例3如图9,在RtAABC中，CD为斜边AB1；的高，DE为RtACDB斜边
40=60.
乂CD为RtAABC斜边AB上的高,
二.与圆有关的定理
1-垂径定理
弦AB所对的劣弧和优弧分别为C、D,则AM=BM,AC=CB.AD=DB.
2.相交弦定理与切割线定理
相交弦定理圆内的两条相交弦，每条弦上被交噗分成的两条线段长的积相
等。
如图：
LL,AB、CD是圆的两条相交弦，交点为P,则PA•PB=PC•PD。
切割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的两个交
点的两条线段长的积相等，且都等于这点到圆所作切线长的平方。
图12
图11
如图12,PAB、PCD是圆的两条割线，PT是圆的切线，则
PA•PB=PC•PD=PT2.
这两个定理的证明都不准，只要连接AC、BD和TC、TD后结合圆周角与弦切角的性质，应用相似三角形性质即可，请同学们给出证明。
例4如图13,过圆0外一点P作圆0的两条切线PA、PB,连接0P与圆
PD=5+2r.
TPA为圆0的切线，PCD为圆0的割线,
-山切割线定理，知PA2二PCXPD,即10^=5X（2r+5）•
解得r=—./•OA=—cm.PO=—cm.
222
CFp「04VP「
70A丄PA,CE丄PA,ACE/7OA,兰=二CE=〜=§肋
OAPOP0
3.直线与圆的位置关系
已知圆0的半径为n圆心0到直线I的距离为d,则可以通过比较dljr的大小关系得直线I与圆0的位置关系；当d>「时，直线I与圆0相离；当d=r时，直线I与圆0相切；当dVr时，直线i与圆0相交。
反这也成立，即右直线I与圆0相离，则d>r：
若直线I与圆0相切，则d=r；若直线i与圆0相交，则d（1）、
（2）、（3）
©④0'
（2）
（3）
的直径：
若I不过圆心6连接圆心0与弦AB的中点M,则0M丄AB（如图16）O在RtAOMA中，IIIOA为圆的半径OM为圆心0到直线i的距离d,
MA为弦AB长的一半，根据勾股定理，得弦长计算公式AB=2VP二
图17
图16
例5如图17,已知圆0的半径0B=5cm,弦AB=6cm,D是弧AB的中点.
求弦BD的长和△OBD的面积。
解连接0D,交AB于点E
VBD=AD,O为圆心,
•••OD丄AB,B£=A£=-A^=3cz..
T在RtABOErOB=5cmrBE=3cm,
/.OE=Job'-BE?
=4cm.
T在RtABDE中，BE=3cm,DE=lcm,
/.BD=JbE，-DE》=皿m
T等腰三角形OBD的底边，腰0B=0D=5cm,
△OBD的面积S=—BDX//=—XVioX込=仝讪1
2222
4•两圆的位置关系
设圆6与圆02的半径分别为R、r（RMr）,两圆的圆心距OiO2=d»则当d>R灯时，两圆相离：
当d=R+r时，两圆相外切；当R-rVdVR+r时，两圆相交；当d=R-r时，两圆相内切；当dVR-r时，两圆内含。
反之也成立，即
当两圆相离时，d>R+r；
公共弦被两圆的连心线垂直平分。
例6半径为13和半径为5的两圆相交，圆心距为12,求两圆的公共弦
解如图19,设AB为0102的公共弦，半径01A=13,O2A-5.
解得x=5,AB=10,即两圆的公共弦长为10.
1.在直角三角形中，若三条高之积等于三边乘积的一半，则该三角形的最
当两圆相外切时，d=R+r：
当两圆相交时，R-r2.如图，以线段AB为直线作一个半圆，圆心为6C是半圆周上一点,
过C作CD丄AB于点D,若0C2二AB•BC,则ZCOD=
第6题
第8题
（提示：
连接
中线，且BD丄CE,若BD=4,CE=6,则△ABC的面积等于
DE,对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线积的一半）。
4.已知圆0内两弦AB、CD交于点P,且AP=4,BP=3rCD=10r则CP二
5.在△ABC中，已知AC丄BC,AC=12cm,BC=5cm,ZC的内角平分线交
AB于点T,则BT的长为
6-如图，在△ABC中，AD是ZA的外角ZFAC的平
1.如图，圆0的半径为17cm,弦AB=30cmrAB所对的劣弧和优弧的中点分别为D、C,求弦AC和BD的长.
8-如图，锐角三角形ABC中，BC=6,BC边上的高线长为4,PQRS是^
ABC的内接矩形，记且记—=求入的值.
4
1.圆0的直径AB=20,弦CD交AB于点G,AG>BG,CD=16,作AE丄CD
于点已BF丄CD于点F,则AE-BF=
2-如图，A为半圆0上一个三等分点，B是弧AM的中点，P为直径MN上一动点，圆0的半径为「则AP+BP的最小值是
3.如图，四边形ABCD中，ZB=ZC=60",BC=1,以CD第2题与aB
4.
相切于M,且交BC边于E点，则BE二
0与ZC的两边相切，且圆心在AH上，求圆0的半径。
5.利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水，
S知每个喷水器的喷水区域是半径为10米的圆，问：
如何设讣（求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽），才能使矩形花坛的面积最大
第八讲三角形的重心、垂心、外心和内心
1.8cm.提示：
作中线AM,先求出M到I的距离为12cm,再求G到i
的距离•
5.提示：
去证明同一边上的中线和高线重合，从而得出为等腰三角形，再
说明各边都相等・
6.周长为2JI（长度单位），面积为n（面积单位）•
4・如图，作0到BC距离0M,连接B0并延长交外接圆于N,山BN是直
行四边形，则AH=NC,再证NU2QM,则有AH=2QM.
G,从而有AG：
GD=2：
1,则G为重心，从而外心（0）,重心（G）,垂心
（H）三点在同一直线上。
阅读材料3平面几何有关的定理与性质
2.30°•提示：
利用OC2二AC•BC=AB•CN=2OC•CD
6.提示：
过点D作DE〃AC交BA的延长线于点E・
1.AC=sVMojaBD=sVMcw.提示：
取AB的中点M,连接CM、MD,则CM丄AB,DM丄AB,且C、0、M、D共线.
&作AE丄BD于E,TPQRS是△ABC的内接矩形，/——=2,
AEBA
BCAB
SRASA上竺=]_人sp=4；USR=6（1-；1）・
AB
••Sq呢PQRs=SPSR=24A（I一A）.TS炉形p?
苗=—S^bc=—x12=1—兄，
24A（I—A）=3»囱军得A=2
1.12.捉示：
•••弦心距OH=Jio'-*=6,OH〃AE〃BF,
/.AE-BF=12.
2.75.提示：
作B关于直径MN的对称点Bl，则PB=PBvOBi=OB=l,且aP+BP=AP+PBi^ABi，当且仅当a.P、Bl三点共线时AP+BP取最小值AB.
3・4-275.如图，连接0M、OE,过C作CN丄AB于
N,延长BA、CD相交于S.山条件知△SBC、△OCE均为等边三角形.T圆0切AB于点M,A0M丄SB,0M〃CN,r=2屁3.—17=4-275-
吩竽冲.山AH丄BC知，AAHC.都是直角三角形.山勾股定
理得AC=JhC，+=]・：
•S/.ahc=Saaoc+Saohc,
込AZCpcyH近HC・OH（点。
到AC边的距离等于OH）.
a/6a/3
AH•HC=OH（AC+HC）.
：
・OH=AH・HC=M^=3^-0圆。
的半径为3d苗
AC+HC
6
5.如图，01、02是两个相同的喷水器所在的位置，ABCD是设计的矩形花坛-设AD=x.在RtAQiE中，
xV
Q\E=4q,Q--QE-=-J
=-j400_xS
2
/.圆心距O|O2=2O\E=j400_F（0<%<20）.
•••$2=心2（400-F（400-F）=-4C?
-200）2+160000,
/.=200,B|Jx=1072时S2取最大值160000,S取最大0,0,=10^2米，矩形两边长AD=10^2米,
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