第八讲三角形的重心.docx

1、第八讲三角形的重心第八讲三角形的重心-CAL-FENGHAL-(YICAI)-Company Onel初中阶段我们S经学习了关于三角形的边和角的许多性质，也涉及三角形 边上中线、高线、垂直平分线以及内角平分线的一些性质。例如，线段（如三 角形的一边）的垂直平分线上的点和这条线段两站点的距离相等。反之，和一 条线段两个端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上；角（如三角形的一个 内角）的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。反之，到一个角的两边距 离相等的点在这个角的平分线上，诸如此类。涉及一个三角形的三条中线、三条高线、三条边的垂直平分线以及三个内 角平分线的性质及相互关系是中学平面儿何的重要内

2、容。在高中学习中，会涉 及三角形三条中线交点、三条高线交点、三条边的垂直平分线交点以及三个内 角平分线交点，即三角形的儿个“巧合点”。本节将对这些知识作较系统的阐 述。一.三角形的巫心如图8：L在ABC中，AD、BD是两条中线，记它们的交点为G,连接DE、DE是三角形的中位线。DE/AB,且DE = -AB.AZGAB=ZGDEr Z6BA=ZGED.A AAGBADGEr且相似比为2： 1.AAG=2GD, BG=2GE.于是得到关于三角形中线的一个重要性质：三角形的 两条中线的交点把这两条中线都分成2： 1的两段。现在再研究第三条中线与其他两条中线交点有什么特殊性质。图8-2如图82,设A

3、BC的两条中线AD、BE交于G,中线CF、BE交于G 山S知的三角形中线的性质，则有BG=2GEr且BG =2G E, CG =2G F.G，与G重合，则三角形的三条中线相交于一点，且该点把三角形的各 中线分成长度比为2： 1的两段，这个交点称为三角形的重心。三角形的重心必 在三角形的内部。今后我们也常说：三角形的重心把中线分成2： 1的两段。例1如图83,已知E、F分别是平行四边形ABCD边AD、CD的中点，BE 和BF分别交对角线AC于M、N,求证：AM=MN=NCo分析四边形问题常转化为三解形问题，连接BD,则BE、BF分别为ABD、CBD的中线，再利用中线、重心的性质问题，则问题迎刃而

4、解。证明连接BD, BD j AC交于6 根据平行四边形性质，0为BD的中点。TE 为 AD 的中点，（/1是ABD 的重心，AAM=2MOo同理，CN=2N0,贝lMO = _A(ZNO = _CO,山于 AOCO, /. 3 -2 2MN = -AO = -CO = AM = CN.3 3例2求证：两条中线相等的三角形是等腰三角形。已知：ABC中，中线BE二CD求证：ABC是等腰三角形证明如图84,设中线BE、CD交于G,则G为ZiABC的重心。2 2GB = -BE.CG = -CO t be二cd, /.gb=cg3 3/. AEBCADCBr AZABC=ZACB, AAB=AC故A

5、BC是等腰三角形。一般地，涉及三角形中两条或三条中线关系的问题，应考虑 图8-5 重 心及其性质来解。二、三角形的垂心下面来研究三角形三条高所在直线的关系。如图85,锐角三角形ABC中，BC、AC上的高AD、BE交于H。试问：AB 上的高是否也过点H回答是肯定的。连接CH并延长交AB r F,现在来证明CF就是AB上的7ZCEH=ZCDH=90 ,以CH为直径作圆，D、E在这圆上，AZBCFZ同理，D、E也在以AB为直径的圆上，ZDEB=ZDAB, AZBCF=ZDAB乂在BCF、bad 中，ZB 为共公角，AZCFB=ZADB=90,即 CF丄读者可以证明，钝角三角形的三条髙在直线也相交于一

6、点，这交点在三角形外部。我们把三角形三条高或其延长线的交点称为三角形的垂心。锐角三角形垂心在三角形形内；直角三角形垂心为这三角形的直角顶点：钝角三角形的垂心在三角形形外（如图87所示）。例 3 如图 88, ABC 中，ZABC=40 , ZACB=62 , H 为ZiZABC 的垂ZBHC=ZDHE=360 ZADB- ZAEC ZA=102三、三角形的内心在初中阶段已经学习了三角表外心的知识。三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点称为三角形的外心，即三角形外接圆圆心。如图89所示,我们还知道，锐角三角形外心在三角形形内：直角三角形外心为直角三角形斜边中点：钝角三角形外心在三角形形外。在

7、 RtAABD 中,AB = JaD? +BD2 = J(R + a)2 =rU =后 2 + 鸟血 ABC的腰长为J2R2 +2aR ,底边长为2旅 -/。例5求证：连接三角形三边中点所得三角形的重心是原三角形的外心。已知：ABC各边中点D、E、F,连接ED、EF、FD。求证：EDF的垂心是ABC的外心。证明 如图8-llr设DEF的垂心为6 连接0D、0E、OF,则 0D丄EF, 0E丄DF, OF丄ED。TEF 是ABC 的中位线，EFBG AODlBC同理，OE丄AC, OFABCVD E、F分别为BC、CA、AB的中点,直线OD、OE、OF分别为BC、CA、AB的垂直平分线,则O是A

8、BC的外心。四、三角形的内心初中阶段也已经学习了三角形的内心知识。三角形的内心指的是三角形三个内角平分线的交点，它具有到三角形三条边距离相等的性质，它就是三角形内切圆圆C心。因此称之为内心，如图812所示。不论是锐角三角形，还是直角三角形、钝角三角形，它的内心都在三角形的内部。如图8-12,设ABC内切圆I与边BC、CA、AB分别切于M、N、S,根据圆的切线性质，知AS二AN, BS=BM, CM=CNr/. AS = AN = -AB+AC-CN=-AB+AC-BM-MC = -AB+AC-BC2 2 2同理，BM = BC = -(BC+BA-AO,CM =CN = -(CB + CA-A

9、B).2 2记 BC=a AC=b AB=c p = (a+ b + c),则有AS = AN = (b + c a) = p a ； BM = BS = (a + c-h) = ph ； 2CM = CN = (a + b-c) = p c上述结果在涉及三角形内心或内切圆问题时常用到。例6已知RtAABC中，两直角边BC、AC分别为5、12,求ABC内切圆半径。D解 如图8-13r ABC内心I,内切圆与三角形各边相切于D、E、Fr连接ID、IE、IF,7ZC=90,易知DIEC为正方形,化内切圆半径r=CD=CE=p-c, 其中C为三角表斜边=13,D =(a + Z? + c) = (5

10、 + 12 +13) = 15.二 r=2o例7求证：内心与外心为同一点的三角形一定是正三角形。已知：ABC的内心与外心同为0。求证：ABC是正直角三角形。证明：如图8-14, TO为ABC的外心,/.OB=OC=OA, AZOAB=ZOBA, ZOAC= ZOCA乂 0 是ABC 的内心，ZOAB=ZOAC,AZOBA=ZOCAr /.ZAOB=AOC=180 -2Z0ABZAAOBAAOCr AAB=AC,同理 AB=BCCABC是正三角形。本题有多种证法，同学们自己可试一试。一般地还可以得到多个真命题：“若三角形内心和重心为同一点，则这个三角形是正三角形”；“若三角形外心和重心为同一点，

11、则这个三角形为正三角形”同学们可自行探究。当我们研究三角形的一个内角平分线与其他两个角的外角平分线的关系时，我们会发现这样的三条直线也会相交于一点，且这点到三角形各边或它的延长线等距离，如图825。ABC中，ZA平分线、ZB、ZC的外角ZCBB、ZBCC的平分线（或其延长线）相交于一点11，11到BC、AB，、AC的距离相等（图中110= liE=I1F）.那么以h为圆心，以到三角形各边（或其延长线）的距离为半径的圆与三角形的三边（或其延长）B均相切。但这圆的圆心在三角形形外，有别于三角形的内切圆圆心，俗称旁 心。三角形有三个旁心。如图,ABC的重心为G,直线1过顶点A, B、C到I的距离分别

12、为n TT、如图，ABC的三条中线为AD、BE、CF,在中线BE、CF上分别取点3.如图，ABC 的外心为 6 若ZAB840 , ZACB=72,求ZBOCoCIA、ZAlBo6.已知ABC中，BC=3, AB=4, AU5,求ABC内切圆周长与面积。P = (+/?+ C)求证:2 (1) ABC 的面积 Shp： (2) F =( )()(卩 , s = jp(p_G)(P-(?) （S知三角形面积公式，读者可考虑该公司如何证明）3.4.求证：直角三角形内切圆直径与外接圆直径的和等于两直角边的和。设ABC的外心为6 垂心为H,求证：AH等于点0到边BC距离的2倍。阅读材料3平面几何有关的

13、定理与性质在高中向量、解析儿何与立体儿何学习中需要用到平行线分线段成比例定 理、直角三角形的射影定理以及圆中的垂径定理、直线与圆的位置关系、两圆 的位置关系等知识，因此有必要对这些知识进行归纳、整理。本讲分两部分，第一部分从同学们熟悉的相似三角形知识入手，介绍平行 线分线段成比例定理、三角形内角与外角平分线性质定理、直角三角形中的射 影定理：第二部分介绍与圆有关的定理：垂径定理、相交弦定理.切割弦定 理，同时探讨直线与圆、圆与圆的位置关系。一.与比例线段有关的定理r平行线分线段成比例定理如图：b在AlABC中，若DEBC, DE交AB于D,交AC于E,则ADEs ABC。因此，务令喘利用比例的

14、性质可以得到A n A F AH DRDB等罟=笋将此结论推广可以得到平行线分线段成比例定理。平行线分段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。GH=EFo TBGCH, /.=.即也BC GH EF BC EF利用平行线分线段比例定理，可以将一条直线上的比例线段“移”到另一 条直线上，它是解决有关比例线段问题的常用方法。如，山平行线分线段成比 例定理可推出三角形内角与外角平分线性质定理。例1如图3,在ABC中，若DEABFG,且FG到DE、AB的距离之比为1： 2,若ABC的面积为32, ACDE的面积为2,则CFG的面积S等于分析 由DEABFG知，CDEsCFGsCAB,要

15、求CFG的面积S只需求出它们的相似比。AD 3CDA A CFG的面积S等于8,选Bo例2如图4, AABC中，D、E分别在边BC、AB ,且Z1=Z2=Z3r设分析利用相似三角形的性质建立与巴匸竺与三角形之间的联系，再利用in二次函数的性质求最大值。解 设 AB二C, BC=a, CA=b|Z2=Z3,矢aDEACin仅当2 =丄，即BU2A时，=2a 2 in 4巴a的最大值为2.42.三角形内外与外角平分线性质定理（1）三角形内角平分线性质定理三角形的内角平分线分对边所得的两条 线段和这个角的两边对应成比例。如图5,在ABC中，AD是ZA的平分线，点D在线段BC上，则 DB ABDC A

16、C证明如图6,过点C作CEZZAD交BA的延长线于E,则鴛=器TCEAD, AZDAC=ZACEr ZBAD=ZAECTAD 平分ZBAC, ZBAD二ZDAC, A ZACE=ZAEC, AE=ACDB AB AB 士人+ r =结论成立。DC AE AC（2）三角形外角平分线性质定理三角形的外角平分线分对边所得的两条 线段和这个角的两边对应成比例。图7如图7,在ABC中，AD是ZA的外角ZFAC的平分线，点D在线段BC的 延长线上,则屠令 成本定理的证明。3.直角三角形中的射影定理如图8,在RtAABC中，CD是斜边AB边上的高，则CD?二AD BD,AC2=AD AB, BC2二BD B

17、A.证明在ABC 中，ZACB=90 , CD丄AB,AZCAD=ZDCBr ZCDA=ZCDB=90 , ACADABCD.图8.AD DC , = ,CDAD * BD.DC DB同理，ACDsaBC, BCDsbaC, .AC _ AD BC _BD而7?丽无/.AC2=AD AB, BC2二BD BA.在处理与直角三角形有关问题时，还常常用到关系式CAXCB = CDXAB, 即直角三角形两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。上述提到的四个式子，是处理与直角三角形有关问题时，经常使用的关系式。例3如图9,在RtAABC中，CD为斜边AB 1；的高，DE为RtACDB斜边40=60.乂

18、 CD为RtAABC斜边AB上的高,二.与圆有关的定理1-垂径定理弦AB所对的劣弧和优弧分别为C、D,则AM=BM, AC=CB. AD=DB.2.相交弦定理与切割线定理相交弦定理圆内的两条相交弦，每条弦上被交噗分成的两条线段长的积相等。如图：LL, AB、CD是圆的两条相交弦，交点为P,则PA PB=PC PD。切割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的两个交点的两条线段长的积相等，且都等于这点到圆所作切线长的平方。图12图11如图12, PAB、PCD是圆的两条割线，PT是圆的切线，则PA PB=PC PD=PT2.这两个定理的证明都不准，只要连接AC、BD和TC、TD后

19、结合圆周角与弦 切角的性质，应用相似三角形性质即可，请同学们给出证明。例4如图13,过圆0外一点P作圆0的两条切线PA、PB,连接0P与圆P D=5+2r.TPA为圆0的切线，PCD为圆0的割线,-山切割线定理，知 PA2二PCXPD,即 10=5X (2r+5) 解得 r = . / OA = cm. PO = cm.2 2 2CF p 04 V P70A丄PA, CE丄PA, ACE/7OA, 兰=二 CE = =肋OA PO P03.直线与圆的位置关系已知圆0的半径为n圆心0到直线I的距离为d,则可以通过比较d ljr 的大小关系得直线I与圆0的位置关系；当d时，直线I与圆0相离；当 d

20、=r时，直线I与圆0相切；当dVr时，直线i与圆0相交。反这也成立，即 右直线I与圆0相离，则dr：若直线I与圆0相切，则d=r；若直线i与圆 0相交，则dR灯时，两圆相离：当d=R+r时，两圆相外切；当R-rVdVR + r时，两圆 相交；当d=R-r时，两圆相内切；当dVR-r时，两圆内含。反之也成立，即当两圆相离时，dR+r；公共弦被两圆的连心线垂直平分。例6半径为13和半径为5的两圆相交，圆心距为12,求两圆的公共弦解如图19,设AB为0102的公共弦，半径01A=13, O2A-5.解得x=5, AB=10,即两圆的公共弦长为10.1.在直角三角形中，若三条高之积等于三边乘积的一半，

21、则该三角形的最当两圆相外切时，d=R+r：当两圆相交时，R-rdBG, CD=16,作 AE丄CD于点已BF丄CD于点F,则AE-BF=2-如图，A为半圆0上一个三等分点，B是弧AM的中点，P为直径MN 上一动点，圆0的半径为则AP + BP的最小值是3.如图，四边形ABCD中，ZB=ZC=60 , BC=1,以CD 第2题 与aB4.相切于M,且交BC边于E点，则BE二0与ZC的两边相切，且圆心在AH上，求圆0的半径。5.利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水，S知每个喷水器的喷水区域是半径为10米的圆，问：如何设讣（求出两喷水器 之间的距离和矩形的长、宽），才能使矩形

22、花坛的面积最大第八讲 三角形的重心、垂心、外心和内心1. 8cm.提示：作中线AM,先求出M到I的距离为12cm,再求G到i的距离5.提示：去证明同一边上的中线和高线重合，从而得出为等腰三角形，再说明各边都相等6.周长为2JI （长度单位），面积为n （面积单位）4如图，作0到BC距离0M,连接B0并延长交外接圆于N,山BN是直行四边形，则AH=NC,再证NU2QM,则有AH=2QM.G,从而有AG： GD=2： 1,则G为重心，从而外心（0）,重心（G）,垂心（H）三点在同一直线上。阅读材料3平面几何有关的定理与性质2. 30 提示：利用 OC2二AC BC=AB CN=2OC CD6.提示

23、：过点D作DEAC交BA的延长线于点E1. AC = sVMoja BD = sVMcw .提示：取 AB 的中点 M,连接 CM、MD, 则CM丄AB, DM丄AB,且C、0、M、D共线.& 作AE丄BD于E, TPQRS是ABC的内接矩形，/ =2 ,AE BABC ABSR AS A上竺=_人 sp = 4；USR = 6（1-；1）AB Sq呢PQRs = SPSR = 24A（I 一 A）. T S炉形p?苗=Sbc = x 12 = 1 兄，24A（I A） = 3 囱军得 A = 21. 12.捉示：弦心距OH = Jio-* =6, OHAEBF,/.AE-BF=12.2. 7

24、5.提示：作B关于直径MN的对称点Bl，则PB=PBv OBi=OB=l, 且aP+BP=AP+PBiABi，当且仅当a. P、Bl三点共线时AP+BP取最小值AB.34-275.如图，连接0M、OE,过C作CN丄AB于N,延长BA、CD相交于S.山条件知SBC、OCE均为等 边三角形.T圆0切AB于点M, A0M丄SB, 0MCN, r = 2 屁 3. 17 = 4-275-吩竽冲.山AH丄BC知，AAHC. 都是直角三角形.山勾股定理得 A C = JhC，+ =： S/.ahc=Saaoc+Saohc,込AZCpcyH近HCOH （点。到AC边的距离等于OH）.a/6 a/3AH HC = OH(AC+HC).：OH = AHHC=M=3-0圆。的半径为3d苗AC + HC65.如图，01、02是两个相同的喷水器所在的位置，ABCD是设计的矩形花 坛-设 AD=x.在 RtAQiE 中，xVQE = 4q,Q-QE- = -J= -j400_xS2/.圆心距O|O2 = 2OE = j400_F(0% 20). $2 =心2 (400-F(400-F) = -4C?-200)2+ 160000,/. = 200, B|Jx = 1072 时 S2 取最大值 160000, S 取最大 0,0, =102米，矩形两边长AD = 102米,