高考数学试题分类汇编概率doc.docx
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高考数学试题分类汇编概率doc
八、概率
一、选择题
1.（浙江理9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率
1
2
3
4
A．5
B
．5
C．5
D5
【答案】B
2.（四川理1）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11
．5，15．5）2[15
．5,19
．5）4[19
．5，23．5）9[23
．5,27．5）18
[27
．5，31．5）1l[31
．5，35．5）12
[35．5．39．5）7[39
．5,43．5）3
根据样本的频率分布估计，数据落在
[31．5，43．5）的概率约是
1
1
1
2
A．6
B．3
C．2
D．3
【答案】B
P
22
1
【解析】从
31.5到43.5共有22，所以
66
3。
3.（陕西理
10）甲乙两人一起去游“2020西安世园会”，他们约定，各自独立地从
1到6号
景点中任选
4个进行游览，每个景点参观
1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是
1
1
5
1
A．36
B．9
C．36
D．6
【答案】D
4.（全国新课标理4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
1
1
2
3
（A）3
（B）2
（C）3
（D）4
【答案】A
5.（辽宁理5）从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，
事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B︱A）=
1
1
2
1
（A）8
（B）4
（C）5
（D）2
【答案】B
6.（湖北理
5）已知随机变量
服从正态分布N2，a2
，且Ｐ（
＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜
＜2）＝
Ａ．0．6
B．0．4
C．0．3D．0．2
【答案】C
7.（湖北理
7）如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统。
当
K正常工作且A1、
A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次为
0．9、0．8、
0．8，则系统正常工作的概率为
A．0．960B．0．864C．0．720D．0．576
【答案】B
8.（广东理6）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
1
3
2
3
A．2
B．5
C．3
D．4
【答案】D
9.（福建理4）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点
Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于
11
A．4B．3
12
C．2D．3
【答案】C
二、填空题
10.（湖北理12）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。
从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少
取到一瓶已过保质期饮料的概率为。
（结果用最简分数表示）
28
【答案】145
11.（福建理13）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。
若
从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。
3
【答案】5
12.（浙江理15）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假
2
定该毕业生得到甲公司面试的概率为
3，得到乙丙公司面试的概率为
p，且三个公司是否让
P（X
1
0）
其面试是相互独立的。
记X为该毕业生得到面试得公司个数。
若12，则随机变量
X的数学期望E（X）
5
【答案】3
13.（湖南理15）如图4，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形。
将一颗豆子随
机地扔到该图内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事
件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则
（1）P（A）=_____________;
（2）P（B|A）=．
2,
（2）
1
【答案】
（1）
4
14.（上海理9）马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表
请小牛同学计算的数学期望，尽管“！
”处无法完全看清，且两个“？
”处字迹模糊，但能
肯定这两个“？
”处的数值相同。
据此，小牛给出了正确答案
E
。
【答案】2
x
1
2
3
15.（重庆理13）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率
P（ε=x）
?
!
?
__________
11
【答案】32
16.（上海理12）随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是（默
认每月天数相同，结果精确到0.001）。
【答案】0.985
17.（江西理12）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若
1
1
此点到圆心的距离大于
2
，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于
4
，则去打篮球；否
则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为
13
【答案】16
18.（江苏5）5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为______
1
【答案】3
三、解答题
19.（湖南理18）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量（件）
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变）
，设某天开始营业时有该商品
3件，当
天营业结束后检查存货，若发现存货少于
2件，则当天进货补充至3
件，否则不进货，将频
率视为概率。
（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；
（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求
X的分布列和数学期型。
解（I）P（“当天商品不进货”）
P（“当天商品销售量为
0件”）
P（“当天商品销售量
1
5
3
为1件”）20
20
.
10
（Ⅱ）由题意知，
X的可能取值为2,3.
5
1
P（X
2）
P（“当天商品销售量为
1件”）
20
;
4
P（X
3）
P（“当天商品销售量为
0件”）
P（“当天商品销售量为
2件”）
P（“当
1
9
5
3
20
20
20
.
天商品销售量为
3件”）
4
故X的分布列为
X
2
3
P
1
3
4
4
EX
2
1
3
3
11.
X的数学期望为
4
4
4
20.（安徽理20）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进
去，且每个人只派一次，工作时间不超过
10分钟，如果有一个人
10分钟内不能完成任务则
撤出，再派下一个人。
现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分
别p,p,p，假设p,p,p互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立
.
（Ⅰ）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。
若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
（Ⅱ）若按某指定顺序派人，
这三个人各自能完成任务的概率依次为q,q,q
，其中q,q,q
是p,p,p的一个排列，求所需派出人员数目
X的分布列和均值（数字期望）
EX；
（Ⅲ）假定
ppp
，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目
的均值（数字期望）达到最小。
解：
本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识.
解：
（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是
（1p1）（1p2）（1p3），所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于
1
（1p1）（1
p2）（1
p3）
p1
p2
p3p1p2
p2p3
p3p1
p1p2p3.
（II）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为
q1,q2,q3时，随机变量X的分布列
为
X
1
2
3
P
q1
（1q1）q2
（1
q1）（1q2）
所需派出的人员数目的均值（数学期望）
EX是
EX
q1
2（1
q1）q2
3（1
q1）（1q2）3
2q1
q2
q1q2.
（III）（方法一）由（II）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，
EX32p1
p2
p1p2.
根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值
.
下面证明：
对于
p1,p2,p3的任意排列q1,q2,q3，都有
3
2q1
q2q1q2
3
2p1p2
p1p2,（*）
事实上，
（32q1
q2
q1q2）（32p1
p2
p1p2）
2（p1
q1）（p2
q2）p1p2
q1q2
2（p1
q1）（p2
q2）（p1q1）p2
q1（p2
q2）
（2p2）（p1
q1）
（1q1）（（p2
q2）
（1q1）[（p1
p2）
（q1q2）]
0.
即（*）成立.
（方法二）（i）可将（II
）中所求的EX改写为3
（q1
q2）
q1q2q1,若交换前两人的
派出顺序，则变为3
（q1
q2）
q1q2
q1,.由此可见，当
q2
q1时，交换前两人的派出顺
序可减小均值.
（ii
）也可将（II）中所求的EX改写为32q1
q2
q1q2，或交换后两人的派出顺序，
则变为32q1q3
q1q3.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当
q3
q2时，交换后
两人的派出顺序也可减小均值.
序综合（i）（ii
）可知，当（q1,q2,q3）
（p1,p2,p3）时，EX达到最小.
即完成任务概率
大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.
21.（北京理17）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。
乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。
（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。
s2
1
2
2
2
x1
x
x2
x
K
xn
x
，其中x为x1，x2，xn的
（注：
方差
n
平均数）
解：
（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：
8，8，9，10，
所以平均数为
x
8
8
9
10
35;
4
4
方差为
s2
1
[（8
35
）2
（8
35
）2
（9
35
）2
（10
35
）2]
11
.
4
4
4
4
4
16
（Ⅱ）当
X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：
9，9，11，11；乙组同学的植树
棵数是：
9，8，9，10。
分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有
4×4=16种可能的结果，
这两名同学植树总棵数
Y的可能取值为
17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出
的同学植树
9棵，乙组选出的同学植树
8棵”所以该事件有
2种可能的结果，因此P（Y=17）
2
1
=16
.
8
P（Y
18）
1;P（Y
19）
1;P（Y
20）
1;P（Y
21）
1.
同理可得
4
4
4
8
所以随机变量
Y的分布列为：
Y
17
18
19
20
21
P
1
1
1
1
1
8
4
4
4
8
EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）
1
1
1
1
1
=17×8+18×4+19×4+20×4+21×8
=19
22.（福建理
19）某产品按行业生产标准分成8
个等级，等级系数
X依次为1,2，，8，
其中X≥5
为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为
6元/
件；乙厂执行标准
B生产该产品，产品的零售价为
4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相
应的执行标准
（I）已知甲厂产品的等级系数
X1的概率分布列如下所示：
x1
5
6
7
8
P
0．4
a
b
0．1
且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；
（II）为分析乙厂产品的等级系数
X2，从该厂生产的产品中随机抽取
30件，相应的等级系数
组成一个样本，数据如下：
3
5
3
3
8
5
5
6
3
4
6
3
4
7
5
3
4
8
5
3
8343447567
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．
（III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？
说明理由．
注：
（1）产品的“性价比”
产品的等级系数的数学=产品的零售价
期望
；
（2）“性价比”大的产品更具可购买性．
解：
本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，
考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，满分
13分。
解：
（I）因为EX16,所以50.46a7b80.16,即6a
7b3.2.
又由X1的概率分布列得
0.4
ab0.1
1,即ab
0.5.
6a
7b
3.2,解得a
0.3,
由a
b
0.5.
b
0.2.
（II）由已知得，样本的频率分布表如下：
X2
3
4
5
6
7
8
f
0．3
0．2
0．2
0．1
0．1
0．1
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：
X2
3
4
5
6
7
8
P
0．3
0．2
0．2
0．1
0．1
0．1
所以
EX2
3P（X23）
4P（X2
4）5P（X2
5）
6P（X26）7P（X27）8P（X28）
3
0.3
4
0.2
5
0.2
6
0.1
7
0.1
8
0.1
4.8.
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.
（III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
6
1.
因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于
6，价格为
6元/件，所以其性价比为
6
4.8
1.2.
因为乙厂产吕的等级系数的期望等于
4.8，价格为4
元/件，所以其性价比为
4
据此，乙厂的产品更具可购买性。
23.（广东理17）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产
品中分别抽出取
14件和5件，测量产品中的微量元素
x,y的含量（单位：
毫克）．下表是乙
厂的5件产品的测量数据：
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
70
81
（1）已知甲厂生产的产品共有
98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。
用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述
5件产品中，随机抽取
2件，求抽取的
2件产品中优等品数
的分布
列极其均值（即数学期望）。
98
7
35
解：
（1）
7,5
35件。
14
，即乙厂生产的产品数量为
2,
（2）易见只有编号为
2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品
5
35
2
14
5
故乙厂生产有大约
（件）优等品，
（3）
的取值为
0，1，2。
P（
C32
3
P（
C31C21
3
C32
1
0）
10
1）
P（
2）
10
C52
C52
5
C52
所以
的分布列为
0
1
2
P
3
6
1
10
10
10
的均值为E
3
3
1
4
0
12
10
.
故
10
5
5
24.（辽宁理19）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家
和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n
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