高考数学试题分类汇编概率doc.docx
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高考数学试题分类汇编概率doc
八、概率
一、选择题
1.(浙江理9)有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率
1
2
3
4
A.5
B
.5
C.5
D5
【答案】B
2.(四川理1)有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:
[11
.5,15.5)2[15
.5,19
.5)4[19
.5,23.5)9[23
.5,27.5)18
[27
.5,31.5)1l[31
.5,35.5)12
[35.5.39.5)7[39
.5,43.5)3
根据样本的频率分布估计,数据落在
[31.5,43.5)的概率约是
1
1
1
2
A.6
B.3
C.2
D.3
【答案】B
P
22
1
【解析】从
31.5到43.5共有22,所以
66
3。
3.(陕西理
10)甲乙两人一起去游“2020西安世园会”,他们约定,各自独立地从
1到6号
景点中任选
4个进行游览,每个景点参观
1小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是
1
1
5
1
A.36
B.9
C.36
D.6
【答案】D
4.(全国新课标理4)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
1
1
2
3
(A)3
(B)2
(C)3
(D)4
【答案】A
5.(辽宁理5)从1,2,3,4,5中任取2各不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,
事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B︱A)=
1
1
2
1
(A)8
(B)4
(C)5
(D)2
【答案】B
6.(湖北理
5)已知随机变量
服从正态分布N2,a2
,且P(
<4)=0.8,则P(0<
<2)=
A.0.6
B.0.4
C.0.3D.0.2
【答案】C
7.(湖北理
7)如图,用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统。
当
K正常工作且A1、
A2至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知K、A1、A2正常工作的概率依次为
0.9、0.8、
0.8,则系统正常工作的概率为
A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576
【答案】B
8.(广东理6)甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为
1
3
2
3
A.2
B.5
C.3
D.4
【答案】D
9.(福建理4)如图,矩形ABCD中,点E为边CD的中点,若在矩形ABCD内部随机取一个点
Q,则点Q取自△ABE内部的概率等于
11
A.4B.3
12
C.2D.3
【答案】C
二、填空题
10.(湖北理12)在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期。
从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少
取到一瓶已过保质期饮料的概率为。
(结果用最简分数表示)
28
【答案】145
11.(福建理13)盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个。
若
从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。
3
【答案】5
12.(浙江理15)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假
2
定该毕业生得到甲公司面试的概率为
3,得到乙丙公司面试的概率为
p,且三个公司是否让
P(X
1
0)
其面试是相互独立的。
记X为该毕业生得到面试得公司个数。
若12,则随机变量
X的数学期望E(X)
5
【答案】3
13.(湖南理15)如图4,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形。
将一颗豆子随
机地扔到该图内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事
件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则
(1)P(A)=_____________;
(2)P(B|A)=.
2,
(2)
1
【答案】
(1)
4
14.(上海理9)马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表
请小牛同学计算的数学期望,尽管“!
”处无法完全看清,且两个“?
”处字迹模糊,但能
肯定这两个“?
”处的数值相同。
据此,小牛给出了正确答案
E
。
【答案】2
x
1
2
3
15.(重庆理13)将一枚均匀的硬币投掷6次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率
P(ε=x)
?
!
?
__________
11
【答案】32
16.(上海理12)随机抽取9个同学中,至少有2个同学在同一月出生的概率是(默
认每月天数相同,结果精确到0.001)。
【答案】0.985
17.(江西理12)小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若
1
1
此点到圆心的距离大于
2
,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于
4
,则去打篮球;否
则,在家看书,则小波周末不在家看书的概率为
13
【答案】16
18.(江苏5)5.从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率为______
1
【答案】3
三、解答题
19.(湖南理18)某商店试销某种商品20天,获得如下数据:
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)
,设某天开始营业时有该商品
3件,当
天营业结束后检查存货,若发现存货少于
2件,则当天进货补充至3
件,否则不进货,将频
率视为概率。
(Ⅰ)求当天商品不进货的概率;
(Ⅱ)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求
X的分布列和数学期型。
解(I)P(“当天商品不进货”)
P(“当天商品销售量为
0件”)
P(“当天商品销售量
1
5
3
为1件”)20
20
.
10
(Ⅱ)由题意知,
X的可能取值为2,3.
5
1
P(X
2)
P(“当天商品销售量为
1件”)
20
;
4
P(X
3)
P(“当天商品销售量为
0件”)
P(“当天商品销售量为
2件”)
P(“当
1
9
5
3
20
20
20
.
天商品销售量为
3件”)
4
故X的分布列为
X
2
3
P
1
3
4
4
EX
2
1
3
3
11.
X的数学期望为
4
4
4
20.(安徽理20)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个人进
去,且每个人只派一次,工作时间不超过
10分钟,如果有一个人
10分钟内不能完成任务则
撤出,再派下一个人。
现在一共只有甲、乙、丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率分
别p,p,p,假设p,p,p互不相等,且假定各人能否完成任务的事件相互独立
.
(Ⅰ)如果按甲最先,乙次之,丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率。
若改变三个人被派出的先后顺序,任务能被完成的概率是否发生变化?
(Ⅱ)若按某指定顺序派人,
这三个人各自能完成任务的概率依次为q,q,q
,其中q,q,q
是p,p,p的一个排列,求所需派出人员数目
X的分布列和均值(数字期望)
EX;
(Ⅲ)假定
ppp
,试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数目
的均值(数字期望)达到最小。
解:
本题考查相互独立事件的概率计算,考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识,考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理,分类读者论论思想,应用意识与创新意识.
解:
(I)无论以怎样的顺序派出人员,任务不能被完成的概率都是
(1p1)(1p2)(1p3),所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关,并等于
1
(1p1)(1
p2)(1
p3)
p1
p2
p3p1p2
p2p3
p3p1
p1p2p3.
(II)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为
q1,q2,q3时,随机变量X的分布列
为
X
1
2
3
P
q1
(1q1)q2
(1
q1)(1q2)
所需派出的人员数目的均值(数学期望)
EX是
EX
q1
2(1
q1)q2
3(1
q1)(1q2)3
2q1
q2
q1q2.
(III)(方法一)由(II)的结论知,当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时,
EX32p1
p2
p1p2.
根据常理,优先派出完成任务概率大的人,可减少所需派出的人员数目的均值
.
下面证明:
对于
p1,p2,p3的任意排列q1,q2,q3,都有
3
2q1
q2q1q2
3
2p1p2
p1p2,(*)
事实上,
(32q1
q2
q1q2)(32p1
p2
p1p2)
2(p1
q1)(p2
q2)p1p2
q1q2
2(p1
q1)(p2
q2)(p1q1)p2
q1(p2
q2)
(2p2)(p1
q1)
(1q1)((p2
q2)
(1q1)[(p1
p2)
(q1q2)]
0.
即(*)成立.
(方法二)(i)可将(II
)中所求的EX改写为3
(q1
q2)
q1q2q1,若交换前两人的
派出顺序,则变为3
(q1
q2)
q1q2
q1,.由此可见,当
q2
q1时,交换前两人的派出顺
序可减小均值.
(ii
)也可将(II)中所求的EX改写为32q1
q2
q1q2,或交换后两人的派出顺序,
则变为32q1q3
q1q3.由此可见,若保持第一个派出的人选不变,当
q3
q2时,交换后
两人的派出顺序也可减小均值.
序综合(i)(ii
)可知,当(q1,q2,q3)
(p1,p2,p3)时,EX达到最小.
即完成任务概率
大的人优先派出,可减小所需派出人员数目的均值,这一结论是合乎常理的.
21.(北京理17)以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。
乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示。
(Ⅰ)如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差;
(Ⅱ)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。
s2
1
2
2
2
x1
x
x2
x
K
xn
x
,其中x为x1,x2,xn的
(注:
方差
n
平均数)
解:
(1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:
8,8,9,10,
所以平均数为
x
8
8
9
10
35;
4
4
方差为
s2
1
[(8
35
)2
(8
35
)2
(9
35
)2
(10
35
)2]
11
.
4
4
4
4
4
16
(Ⅱ)当
X=9时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:
9,9,11,11;乙组同学的植树
棵数是:
9,8,9,10。
分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有
4×4=16种可能的结果,
这两名同学植树总棵数
Y的可能取值为
17,18,19,20,21事件“Y=17”等价于“甲组选出
的同学植树
9棵,乙组选出的同学植树
8棵”所以该事件有
2种可能的结果,因此P(Y=17)
2
1
=16
.
8
P(Y
18)
1;P(Y
19)
1;P(Y
20)
1;P(Y
21)
1.
同理可得
4
4
4
8
所以随机变量
Y的分布列为:
Y
17
18
19
20
21
P
1
1
1
1
1
8
4
4
4
8
EY=17×P(Y=17)+18×P(Y=18)+19×P(Y=19)+20×P(Y=20)+21×P(Y=21)
1
1
1
1
1
=17×8+18×4+19×4+20×4+21×8
=19
22.(福建理
19)某产品按行业生产标准分成8
个等级,等级系数
X依次为1,2,,8,
其中X≥5
为标准A,X≥为标准B,已知甲厂执行标准A生产该产品,产品的零售价为
6元/
件;乙厂执行标准
B生产该产品,产品的零售价为
4元/件,假定甲、乙两厂得产品都符合相
应的执行标准
(I)已知甲厂产品的等级系数
X1的概率分布列如下所示:
x1
5
6
7
8
P
0.4
a
b
0.1
且X1的数字期望EX1=6,求a,b的值;
(II)为分析乙厂产品的等级系数
X2,从该厂生产的产品中随机抽取
30件,相应的等级系数
组成一个样本,数据如下:
3
5
3
3
8
5
5
6
3
4
6
3
4
7
5
3
4
8
5
3
8343447567
用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数X2的数学期望.
(III)在(I)、(II)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?
说明理由.
注:
(1)产品的“性价比”
产品的等级系数的数学=产品的零售价
期望
;
(2)“性价比”大的产品更具可购买性.
解:
本小题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,
考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想,满分
13分。
解:
(I)因为EX16,所以50.46a7b80.16,即6a
7b3.2.
又由X1的概率分布列得
0.4
ab0.1
1,即ab
0.5.
6a
7b
3.2,解得a
0.3,
由a
b
0.5.
b
0.2.
(II)由已知得,样本的频率分布表如下:
X2
3
4
5
6
7
8
f
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数X2的概率分布列如下:
X2
3
4
5
6
7
8
P
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
所以
EX2
3P(X23)
4P(X2
4)5P(X2
5)
6P(X26)7P(X27)8P(X28)
3
0.3
4
0.2
5
0.2
6
0.1
7
0.1
8
0.1
4.8.
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.
(III)乙厂的产品更具可购买性,理由如下:
6
1.
因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于
6,价格为
6元/件,所以其性价比为
6
4.8
1.2.
因为乙厂产吕的等级系数的期望等于
4.8,价格为4
元/件,所以其性价比为
4
据此,乙厂的产品更具可购买性。
23.(广东理17)为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产
品中分别抽出取
14件和5件,测量产品中的微量元素
x,y的含量(单位:
毫克).下表是乙
厂的5件产品的测量数据:
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
70
81
(1)已知甲厂生产的产品共有
98件,求乙厂生产的产品数量;
(2)当产品中的微量元素x,y满足x≥175,且y≥75时,该产品为优等品。
用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;
(3)从乙厂抽出的上述
5件产品中,随机抽取
2件,求抽取的
2件产品中优等品数
的分布
列极其均值(即数学期望)。
98
7
35
解:
(1)
7,5
35件。
14
,即乙厂生产的产品数量为
2,
(2)易见只有编号为
2,5的产品为优等品,所以乙厂生产的产品中的优等品
5
35
2
14
5
故乙厂生产有大约
(件)优等品,
(3)
的取值为
0,1,2。
P(
C32
3
P(
C31C21
3
C32
1
0)
10
1)
P(
2)
10
C52
C52
5
C52
所以
的分布列为
0
1
2
P
3
6
1
10
10
10
的均值为E
3
3
1
4
0
12
10
.
故
10
5
5
24.(辽宁理19)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种家
和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成n