中国石油大学高数22历年期末试题参考答案docx.docx

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2007—2008学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷（A）参考答案

一、填空题：

1~6小题，每小题4分，共24分.请将答案写在指定位置上.

1.平面ni：

y—z=o与平面n2：

x+y=o的夹角为y.

2.函数z=子+站在点（1,2）处沿从点（1,2）到点（2,2+V3）的方向的方向导数为1+2后.

3.设•/'（x，y）是有界闭区域Dix2+y2

—0时，

耽土0心她=睥。

）

4.区域Q由圆锥面亍+>2=Z2及平面Z=1围成，则将三重积分Jj]f$+V）dv在柱面坐标系下

p2勿p1p1

化为三次积分为Jod0jodrjf（r）rdz.

5.设「为由曲线x=t,y=t2,z=t3相应于，从0至U1的有向曲线弧，P，Q，R是定义在「上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：

rf（/?

+/2》。

+3yR讪

^Pdx+Qdy+Rdz=Jr++9y2^/1+4^2+9v2++9y-

6.将函数/（x）=x+l（0

x+l=——1（cosx+—cos3x+—cos5x-\—）（0

27T3252

二、单项选择题：

7~12小题，每小题3分，共18分。

下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.

7.若z=/（x,v）有连续的二阶偏导数，且K（x,y）=K（常数），则/；（x,v）=（D）

（A）:

（B）Ky:

（C）Ky+9（x）；（D）Kx+（p（y）.

8.设/'（x）是连续的奇函数，g（x）是连续的偶函数，区域D={（x,j）|0

（A）jjy（y）g（x）d&fy=0；（B）jjy（x）g（y）d&fy=0；

DD

（C）jj[f（x）+g（y）]dxdy=0；（D）jj[f（y）+g（x）]dxdy=0.

DD

9,已知空间三角形三顶点A（—1,2,3）,3（1,1,1）,C（0,0,5）,则AABC的面积为（A）

（A）

7

（B）g;

23

（C）6；（D）-.

10.曲面积分jjz2dxdy在数值上等于（C）.

n—►2

（A）流速场v=zz穿过曲面£指定侧的流量；（B）密度为P=z的曲面片£的质量；

（C）向量场F=z2k穿过曲面E指定侧的通量；（D）向量场F=z2k沿2：

边界所做的功.

11.若级数Zc"（x+2）"在x=-4处是收敛的，则此级数在x-1处（D）n=l

（A）发散；（B）条件收敛；

12.级数y^-4—的敛散性为（a）

„=in

（A）当p〉?

时，绝对收敛；

（C）当0时，绝对收敛；

（C）绝对收敛；（D）收敛性不能确定.

（B）当p〉?

时，条件收敛；

（D）当0时，发散.

三、解答题：

13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

13.（本题满分6分）设x+y+z=e~（x+y+z）确定z=z（x,y）,求全微分Hz.

解：

两边同取微分dx+dy+dz=e~（x+y+z）•（-1）•（dx+dy+di）,整理得dz=-dx-dy.

\2v2z2—Qy=n

14.（本题满分8分）求曲线｛—在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.

9一4-

--

1）O

1^-3-

z（\1^云也一公<」

2x-3y+5z-4=0

c人dy人dzc

2x+2yF2z.——3

dxz/y

解：

两边同时关于X求导axax，解得＜

2—3空+5臣=0

、dxdx

—Q1x—1v—1z—1

所以切向量为：

T={1,—,——},切线方程为：

一=」=—；

1616169-1

法平面方程为：

16（x-l）+9（v-l）-（z-l）=0,即16x+9y—z—24=0.

15.（本题满分8分）求蓦级数£（2”+1）x”的和函数.

n=0

解：

求得此幕级数的收敛域为（—1,1）,£（2”+1）x"=£2mc"+£x",

n=0n=0n=0

£2nxn=2尤£nxn~x,设A（x）=£nxn~x,贝!

J

n=0n=ln=\

cx00rx00yAJ-V1

JA（x）火=双”I火==,（—1〈尤＜1）；..・A（x）==~-7,

n=ln=l1—x\l-xj（1—x）-

002Y

即V2nxn=2xA（x）=

2x11+x

T~l=r（1-x）21-x（1-x）2

8（1-4

£（2»+l）x"=£2nxn+£x”n=0n=0n=0

16.（本题满分6分）计算/=JJ（x+y+z）dS,其中£为曲面y+z=5被柱面x2+v2=25所截下£

的有限部分.

解：

/=JJ（x+y+z）dS=jj（x+5）t/5

££

=^xdS（£关于yoz平面对称，被积函数工是x的奇函数）+5打心££

=O+5jjjS=5^2jjdxdy=5皿.25兀=125皿兀.

£x2+y2<25

17.（本题满分8分）计算积分/=£（2x2+4^）Jx+（2x2-y2）Jy,其中L为曲线

3,5。

5

（x一；）+（V—；）=；上从点A（l,l）到3（2,4）沿逆时针方向的一段有向弧•

303P—►—►

解：

・..孝=4尤=丁，.・.积分与路径无关，选折线AC+CB为积分路径，Oxdy

l,——-[x=x,l

其中C（2,l）,AC-.\,CB:

\

y=l,dy=o=l

「・/=L（2x2+4xy）dx+（2x2-y2）dy

=j_（2x2+4xy）rfx+（2x2-y2）dy+j_（2x2+4xy）rfx+（2x2-y2）dy

=L（2尤2+4x）火+J]（8-y2）dy=?

18.（本题满分8分）计算/=yzdydz+y（x2+z2）dzdx+xydxdy,£是由曲面4-y=x2+z2

与平面y=0围成的有界闭区域Q的表面外侧.

解：

P=yz,Q=y（x2+z2）,R=xy,芈+华+半+z?

，由高斯公式,dxdydz

/=Eyzdydz+y（x2+z2）dzdx+xydxdy-jjj（x2+z2）dxdydz

£。

z=cos3

（利用柱面坐标变换

，贝！

JQ:

0<0<2ti.0

=「汕「"费=也.

JoJoJo3

222

19.（本题满分8分）在第I卦限内作椭球面二+仁+二=1的切平面，使切平面与三个坐标面所围

abc

成的四面体体积最小，求切点坐标.

解：

设切点坐标为3o，无，Zo），则切平面的法向量为｛学，奈，号｝，

切平面方程为*xf+片（r°）+m（z—z°）=o,即昔+晋+芳=1，

1a-b-c2

则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为¥=-■-—

6Xo.&Zo

令L（x0,y0,z0,2）=Inx0+Iny0+Inz0+2（-^-+-+——1）a~b~c~

故切点坐标为（彳,g,戛）.

V3'V3V3

20.（本题满分6分）设/（x）,g（x）均在[a,b]±.连续，试证明柯西不等式:

[「r（x）dx][，g2（x）dx]2[，/'（x）g（x）dx]2.

JaJaJa

证：

设D\a

[J：

r（x）dx][j：

g2（x）必;]=jjy2（x）g2（y）而D关于v=x对称）=jjf2（y）g2（x）6/xt/y

DD

=；[jj产（X）妒（y）dxd;y+jj产（y）g2（x）dxdW=；jj[/'2（x）g2（y）+y2（y）g2（xWxdy

ZDDLD

2；jj[2y（x）g（x）•f（y）g（y）]dxdy=jj[f（x）g（x）-f（y）g（y）]dxdy

LDD

=「/（x）g（x）<7xffe/（v）g（v）t/v=[「y（x）g（x）dx]2.

JaJaJa

2008—2009学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷（A）参考答案

1.选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.

1.设三向量a.b.c满足关系式axb=axc,贝!

j（D）.

（A）必有白=6;（B）必有方-c=6;

（C）当时，必有b=c;（D）必有。

=40—。

）（人为常数）.

2.直线号=〉等=；与平面4x-2y-2z=3的关系是（A）.

（A）平行，但直线不在平面上；（B）直线在平面上；

（C）垂直相交；（D）相交但不垂直.

^xy

3.二兀函数y）=<+''）在点（0,0）处（A）

0,（号）=（0,0）

（A）不连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在

（C）连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在

4.已知攵旦业孚尖为某二元函数的全微分，则。

=（D）.

（x+j）2

（A）-1;（B）0；（C）1;（D）2.

5.设/（«）是连续函数，平面区域D:

-l

（A）+y2）dy;（B）f（x2+y2）dx;

（C）J。

d0^/（r2）rt/r;（D）J。

f（r2）dr.

3（1

6.设。

为常数，则级数£（一1）"（1—cos—）（B）.

,=i"

（A）发散；（B）绝对收敛；（C）条件收敛；（D）收敛性与。

的值有关.

2.填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.

222

1.设函数"（尤,y,z）=1+++盘■,向量〃={1,1,1},点*）（1,2,3）,

m3"V3

则P=—・

dnP3

q

2.若函数/（x,v）=lx1+ax+xy-+2y在点（1,一1）处取得极值，则常数。

=-5.

3.Z为圆x2+y2=l的一周，则血"2—/）*=o,

/700/q

4.设lim&=2,级数Yanx2'-'的收敛半径为—.

—an«=i二—

5.设f（x）=J】e~y2dy,则^xf（x）dx=.

2,—1

6.设f（x）是以2为周期的周期函数，它在区间（-1,1]±的定义为/Xx）=[j,0<%<1

3

则f（x）的以2为周期的傅里叶级数在x=l处收敛于-.

3.解答下列各题（本题共7小题，满分44分）.

1.（本小题6分）

解题过程是：

令"=处，则^

XOX

0.

2.（本小题6分）计算二重积分J"]'。

%#,,其中D=（x,j）|x2+j2<1,x>0}.

解题过程是：

Q关于x轴对称，被积函数一关于>是奇函数，.•」[—dxdy=Q,l+x2+v2l+x2+r-

故=h—=o+j：

"「牛=孔2.

l+x2+V2-JJl+x2+y2-l+x2+y2J-fJ«l+r22

3.（本小题6分）设曲面z=z（x,y）是由方程x3y+xz=l所确定，求该曲面在点M0（l,2,-l）处的切平面方程及全微分dz|（“）.

解题过程是：

令F（x,y,z）=x3y+xz-1,F'=3x2y+z,F'-x3,£'=x,则所求切平面的法向量为：

云={球球月圳气={5,1,1},切平面方程为：

5x+y+z-6=0.dzF'3x2y+zdzF；,,,dz,dz,-,,

二=一~=>-^―=—-=—x>•■-dz\=—dx+—dy=-5dx-dy.

*乩xdyEdyMo

4.（本小题6分）计算三重积分jjj』亍+,2dxdydz,其中Q是由柱面y=Vl-x2及J=0,z=0,

Q

x+y+z=4所围成的空间区域.

PPP/~o厂「兀r1or4一r（cos6+sin0）

解题过程是：

利用柱面坐标变换，jjj+ydxdydz=r^rJ0dzQ

=J；j0[4,之一,3（cos0+sin=J：

—：

（cos0+sin0}]dO=寻一:

.

5.（本小题6分）求jj（2x+z）dydz+zdxdy,其中£为曲面z=x2+（0

£

解题过程是：

补汁：

z=l,（x,y）eD={x2+y2

£与Ej所围立体为Q：

0V6<2〃，0

由高斯公式，得皿（2x+z）dydz+zdxdy

£下+习上

jjj（2+0+l）dxdydz=3J。

J。

rdr^2dz=—

q°°'2

ff（2x+z）dydz+zdxdy=—-（J（2x+z）dydz+ztZxtfy=—-0-jj1dxdy=—-^=—.z2g*2o22

6.（本小题7分）求慕级数的收敛域及和函数.

”1n

解题过程是：

因为R=lim4=lim"*"+?

=1,故收敛区间为（—1,1）；

〃T8an+1〃T8n（〃+1）+]

n2+1

x=±l时，极限lim。

0,级数均是发散的；于是收敛域为（-1,1）,

Q/X孑"2+1

S（x）=>x

n=in

x

1-x

X

=-ln（l-x）,xe（-l,l）.

（1-x）2

7.（本小题7分）例1

计算/=jj（x2+）72）rfs,£为立体「尤2+,2

£

解题过程是:

设£=£]+乙，其中£|为锥面z=7x2+v2,O

£i，d在叫X面的投影为力:

X2+y2<1.dS1=

raz?

dxdy=yfldxdy,dS2=dxdy,

.../=jj（x2+y2）dS=j]（x2+v2）dS+JJ（x2+v2）dS=jj（x2+y2）^2dxdy

+Jj+y2）dxdy

££]£2。

£）

_（扼+1）〃

=（V2+1）jj（x2+y2）dxdy=（V2+1）丁。

廿可。

r3drD

四.证明题（8分）.

设函数/（X,V）在（-8,+8）内具有一阶连续导数，％是上半平面（y>Q）内的有向分段光滑曲线，其

l+y—（xy）人,x[y2f（xy）-l]/

cue\cry,

起点为（a,b）,终点为（c,d）,记/=J

L

（1）证明曲线积分/与路径£无关；

（2）当。

b=cd时，求/的值.

证明:

⑴记=03）=**,

yy

迎=[2质⑴+舟'（叫「]11+3（加]=/（%y）_J_+加⑴；

dyy-y

孚="⑴—I顼v=f（功+oxyy

...空=义成立，积分/与路径£无关.

dydx

（2）由于积分与路径无关，选取折线路径，由点（。

力）起至点（c,b）,再至终点（c,d）,则

[=J：

：

P（x,y）dx+JQ（.X,y）dy=J；g+bf（bx^dx+J：

[cf（cy）-

=S+Jg）妇J

v2

V2

cdcCl

f（t）dtab=cd）=.

abdb

cd~iccca

fQ）dt+=+

沥dbdb

2009—2010学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷（A）参考答案

一、填空题（6x5分=30分）

1.若向量a,b,c两两互相垂直，且同=5,时=12,甘=13,贝版+片+*13扼.

2.设函数z=A^sinJ,求尤y——=2z.

xdxdy

3.设函数f（x,y）为连续函数，改变下列二次积分的积分顺序：

p1「』2-矿pipV%pV2pV2-X2

Jo—Jk了（x,y）dx=J（）dxJof（x,y）dy+Jif（x,y）dy.

r（1,2）c7

4.计算/=J（00）（"+尤）赤+（尤"一2y）dy=e2.

5.慕级数£4J”的收敛域为：

（-V3,V3）.

n=l°

6.设函数f（x）=7rx+x2（-7T

—+^（<7ncosnx+bnsinnx）,

2n=l

则其系数打=—.

33

二、选择题（4x5分=20分）

1.直线号=土=亍与平面3x+4y-z=2的位置关系是（A）

（A）直线在平面内；（B）垂直；（C）平行；（D）相交但不垂直.

2.设函数/（x,y）=4（x-y）-x2-y2,则f（x,j）（C）

（A）在原点有极小值；（B）在原点有极大值；

（0在（2,-2）点有极大值；（D）无极值.

3.设％是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，％的方向为逆时针方向,

贝岫竺言=（C）

yx+y

（A）0；（B）m；（C）271；（D）-2ti.

4.设。

为常数，则级数Z判竺一一r（B）

n=lI〃yJn）

（A）绝对收敛；（B）发散；（C）条件收敛；（D）敛散性与。

值有关.

三、计算题（7+7+7+7+6+8=42分）

1.设y（x,y）=

、0,（x,v）=（0,0）.

偏导数无（0,0）和尤（0,0）.（7分）

如4k

解：

令x=^y2,iimy（^,y）=lim_=-—,随*的取值不同，其极限值不同，k'y^+y4k'+l

:

.lim/（x,v）不存在，故/（x,y）在原点不连续；x-0y—0

/；（0,0）=limf（0+M0K0,0）=lim宜=0,

/；（0,0）=lim川，0+颂）一川，0）=lim宜=。

.

'颂—0△》—（）

2.计算I—jjjyjx2+y2+z2dh/ydz其中。

是由上半球面z=yj2-x2-y2和锥面

Q

z=^x2+y2所围成的立体.（7分）

解：

作球面坐标变换：

x=psin^cos0.y=psin^sin6.z=pcoscp.贝!

！

dxdydz=p2sin（pdOd（pdp,Q:

0<^<2^,0<-,0

I=jjjJ/+,2+z2dxdydz=jd。

jjsin（pd（p^p3dp=Q-）兀.

2尤所割下部分的曲面面积.（7分）心5.4.'<

Q

3.求锥面Z=J/+y2被柱面X2+y2=

y_'2|2x+y

解：

锥面£：

z=yjx2+y2,（x,y）eD}

•••S=JJdS=JI』l+z'\-+Zy2dxdy=V2jjdxdy-V271.

£D》y2y

4.计算曲面积分/=l^j*y2zdxdy+z^xdydz+j^ydzdx,其中£是由z=x2+y2,x2+y2=1,£

x=O,y=O,z=0围在第一卦限的立体的外侧表面.（7分）

解：

设。

为£所围立体，P=z2x,Q=x2y,R=y2z,++=x2++z2,由Gauss公式,

oxoyoz

/=Uy2zdxdy+z2xdydz+x2ydzdx=jjj（x2+y2+z2）dxdydz

£Q

作柱面坐标变换：

x=rcos0,y=rsin0.z=z.贝!

J

7A,c

dxdydz=rdOdrdz,Q:

0<^<—,0

25

:

.l=\d0\rdr\（r2+z2）dz=——71.

J0J0Jo48

001

5.讨论级数Z晔的敛散性.（6分）

"Tn2

y「7Inn「Inn八InnA,

解：

vlimn4-—=lim—=0,5——收敛.

±〃一>8A—

O471=1o

8

6,把级数习一亍，，-1的和函数展成x—1的幕级数.的分）

勺（2h-1）!

22"-'

解：

设级数的和函数为S（x）,则

S3）空节"计=£号混|j"=沥闵

xe（—8,+00）.

即S3）=sin

sm

x-11

~ir+2

.x-11x-1.1

=sincos—+cossin—

2222

=‘启2上吠

2念（2«）!

x-1

2n

1<（一1）"

+cos—〉

2e（2"+l）!

x-1

2n+l

•1/（T）"/W"1—（一1）",]、％+1,、

=sin—■>（x-1）-+cos—•〉（x-1）-,xe（_8,+8）.

2R（2»）!

-22f,2幺（2»+l）!

-22f,+1

四、设曲线Z是逆时针方向圆周（x-tz）2+（j-a）2=l,仞（x）是连续的正函数，

证明：

[flx"—Y（p（x）dx22几.（8分）

）dxdy—ff（^?

（x）H^dxdy（而。

关于y=x对称）3y（p（y）

]dxdy=2\