二次函数图像和性质习题精选含答案可编辑修改word版.docx
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二次函数图像和性质习题精选含答案可编辑修改word版
二次函数图像和性质习题精选（含答案）
一．选择题（共30小题）
1．（2014•宁夏）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）
A．B．C．D．
2．（2014•北海）函数y=ax2+1与y=
（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）
A．B．C．D．
3．（2014•遵义）已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）
A．B．C．D．
4．（2014•南昌）已知反比例函数y=
的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）
A．B．C．D．
5．（2014•泰安）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
X
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
下列结论：
（1）ac＜0；
（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．（2014•广东）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）
A．函数有最小值B．对称轴是直线x=
C．当x＜
，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0
7．（2014•盘锦）如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=
x2+bx+c
的顶点，则方程
x2+bx+c=1的解的个数是（）
A．0或2B．0或1C．1或2D．0，1或2
8．（2014•淄博）已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
A．6B．5C．4D．39．（2013•徐州）二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：
则该函数图象的顶点坐标为（）
A．B．C．D．
（﹣3，﹣3）（﹣2，﹣2）（﹣1，﹣3）（0，﹣6）
10．（2013•南宁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）
A.图象关于直线x=1对称
B.函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4
C.﹣1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根
D.当x＜1时，y随x的增大而增大
11．（2012•济南）如图，二次函数的图象经过（﹣2，﹣1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）
A．y的最大值小于0B．当x=0时，y的值大于1
C．D．
当x=﹣1时，y的值大于1当x=﹣3时，y的值小于0
12．（2012•德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（）
A．c=3B．c≥3C．1≤c≤3D．c≤3
13．（2009•新疆）如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）
A．h=mB．k=nC．k＞nD．h＞0，k＞0
14．（2009•丽水）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：
①a＞0；②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）
A．3B．2C．1D．0
15．（2009•南昌）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）
A.ac＜0
B.当x=1时，y＞0
C.方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于1的实数根
D.存在一个大于1的实数x0，使得当x＜x0时，y随x的增大而减小；当x＞x0时，y随x的增大而增大
16．（2008•仙桃）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为（）
A．0B．﹣1C．1D．217．（2007•烟台）下列图中阴影部分的面积相等的是（）
A．①②B．②③C．③④D．①④
18．（2007•达州）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）
A．﹣2＜x＜2B．﹣4＜x＜2C．x＜﹣2或x＞2D．x＜﹣4或x＞2
19．（2007•泰州）已知：
二次函数y=x2﹣4x﹣a，下列说法错误的是（）
A.当x＜1时，y随x的增大而减小
B.若图象与x轴有交点，则a≤4
C.当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集是1＜x＜3D．
若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，﹣2），则a=3
20．（2009•塘沽区一模）下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的几组对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个近似解可以是（）
x
3.3
3.4
3.5
3.6
y
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
A．3.25B．3.35C．3.45D．3.55
21．（2010•徐汇区一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
则下列判断中正确的是（）
A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当x=3时，y＜0D．方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根
22．（2013•沙湾区模拟）已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B
（8，2）（如图所示），则能使y1＜y2成立的x的取值范围是（）
A．x＞2B．C．x＞0D．
x＜﹣2﹣2＜x＜8
23．（2012•北辰区一模）在﹣3≤x≤0范围内，二次函数
（a≠0）的图象如图所示．在这个范围内，有结论：
①y1有最大值1、没有最小值；
②y1有最大值1、最小值﹣3；
③函数值y1随x的增大而增大；
④方程ax2+bx+c=2无解；
⑤若y2=2x+4，则y1≤y2．其中正确的个数是（）
A．2B．3C．4D．524．（2011•苏州模拟）抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
1
3
4
…
y
…
0
4
6
4
0
…
根据上表判断下列四种说法：
①抛物线的对称轴是x=1；②x＞1时，y的值随着x的增大而减小：
③抛物线有最高点：
④抛物线的顶点、与x轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为36．其中正确说法的个数有（）
A．1B．2C．3D．4
25．（2010•河北）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）
A．（2，3）B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3）
26．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：
①ab＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③a+b+c
＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（）
A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤27．已知二次函数y=x2+2（a﹣1）x+2．如果x≤4时，y随x增大而减小，则常数a的取值范围是（）
A．B．C．D．a≥﹣5a≤﹣5a≥﹣3a≤﹣3
28.
如图，平行于y轴的直线l被抛物线y=0.5x2+1，y=0.5x2﹣1所截，当直线l向右平移3个单位时，直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为（）平方单位．
A.3B．4C．6D．无法可求
29.
已知直线经过点A（0，2），B（2，0），点C在抛物线y=x2的图象上，则使得S△ABC=2的点有（）个．
A．4B．3C．2D．1
30.如图，已知抛物线
，直线y2=3x+3，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，
取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：
①当x＞0时，y1＞y2；②使得M大于3的x值不存在；③当x＜0时，x值越大，M值越小；④使得M=1的x
值是
或
．
其中正确的是（）
A．①③B．②④C．①④D．②③
二次函数图像和性质习题精选（含答案）
参考答案与试题解析
一．选择题（共30小题）
1．（2014•宁夏）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）
A．B．C．D．
考点：
二次函数的图象；正比例函数的图象．专题：
数形结合．
分析：
本题可先由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致．（也可以先固定二次函数y=ax2图象中a的正负，再与一次函数比较．）
解答：
解：
A、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；B、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＜0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；
D、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＜0，故D错误．故选：
C．
点评：
函数中数形结合思想就是：
由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状．
2．（2014•北海）函数y=ax2+1与y=
（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）
A．B．C．D．
考点：
二次函数的图象；反比例函数的图象．
分析：
分a＞0和a＜0两种情况讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限，然后选择答案即可．解答：
解：
a＞0时，y=ax2+1开口向上，顶点坐标为（0，1），
y=
位于第一、三象限，没有选项图象符合，
a＜0时，y=ax2+1开口向下，顶点坐标为（0，1），
y=
位于第二、四象限，B选项图象符合．故选：
B．
点评：
本题考查了二次函数图象与反比例函数图象，熟练掌握系数与函数图象的关系是解题的关键．
3．（2014•遵义）已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）
A．B．C．D．
考点：
二次函数的图象；一次函数的图象．
分析：
本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除．
解答：
解：
A、由二次函数的图象可知a＜0，此时直线y=ax+b经过二、四象限，故A可排除；
B、二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b经过一、二、四象限，故B可排除；
C、二次函数的图象可知a＞0，此时直线y=ax+b经过一、三，故C可排除；正确的只有D．
故选：
D．
点评：
此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：
开口方向、对称轴、顶点坐标等．
4．（2014•南昌）已知反比例函数y=
的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）
A．B．C．D．
考点：
二次函数的图象；反比例函数的图象．分析：
本题可先由反比例函数的图象得到字母系数k＜﹣1，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较
看是否一致，最终得到答案．
解答：
解：
∵函数y=
的图象经过二、四象限，∴k＜0，由图知当x=﹣1时，y=﹣k＞1，∴k＜﹣1，
∴抛物线y=2kx2﹣4x+k2开口向下，对称为x=﹣
=
，﹣1＜
＜0，
∴对称轴在﹣1与0之间，
故选：
D．
点评：
此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，正确判断抛物线开口方向和对称轴位置是解题关键．属于基础题．
5．（2014•泰安）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
X
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
下列结论：
（1）ac＜0；
（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）
A.4个B．3个C．2个D．1个
考点：
二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．专题：
图表型．
分析：
根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．解答：
解：
（1）由图表中数据可得出：
x=1时，y=5，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x=0时，y=3，
所以c=3＞0，所以ac＜0，故
（1）正确；
（2）∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x=
=1.5，∴当x＞1.5时，y的值随x值的增大而减小，故
（2）错误；
（3）∵x=3时，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，故（3）正确；
（4）∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3时，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函数有最大值，∴
当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．故选：
B．
点评：
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有
一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
6．（2014•广东）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）
A．函数有最小值B．对称轴是直线x=
C．当x＜
，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0
考点：
二次函数的性质．专题：
数形结合．
分析：
根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；
根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；
根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．
解答：
解：
A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=
，正确，故B选项不符合题意；
C、因为a＞0，所以，当x＜
时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；
D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．故选：
D．
点评：
本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．
7．（2014•盘锦）如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=
x2+bx+c
的顶点，则方程
x2+bx+c=1的解的个数是（）
A．0或2B．0或1C．1或2D．0，1或2
考点：
二次函数的性质．
专题：
数形结合；分类讨论；方程思想．
分析：
分三种情况：
点M的纵坐标小于1；点M的纵坐标等于1；点M的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程x2+bx+c=1的解的个数．
解答：
解：
分三种情况：
点M的纵坐标小于1，方程
x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根；点M的纵坐标等于1，方程
x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根；点M的纵坐标大于1，方程
x2+bx+c=1的解的个数是0．
故方程x2+bx+c=1的解的个数是0或1或2．
故选：
D．
点评：
考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用．
8．（2014•淄博）已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）
A．6B．5C．4D．3
考点：
二次函数的性质．专题：
计算题．
分析：
根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B到对称轴的距离可得到h＜4．
解答：
解：
∵抛物线的对称轴为直线x=h，
∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，
∴x=h＜4．故选：
D．
点评：
本题考查了二次函数的性质：
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣
，
），对称轴直线x=
，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口
向上，x＜﹣
时，y随x的增大而减小；x＞﹣
时，y随x的增大而增大；x=﹣
时，y取得最小值
，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣
时，y随x的增
大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
9．（2013•徐州）二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
则该函数图象的顶点坐标为（）
A．B．C．D．
（﹣3，﹣3）（﹣2，﹣2）（﹣1，﹣3）（0，﹣6）
考点：
二次函数的性质．专题：
压轴题．
分析：
根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．
解答：
解：
∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，
∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）．故选B．
点评：
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关
键．
10．（2013•南宁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）
A.图象关于直线x=1对称
B.函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4
C.﹣1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根
D.当x＜1时，y随x的增大而增大
考点：
二次函数的性质．
分析：
根据对称轴及抛物线与x轴交点情况，结合二次函数的性质，即可对所得结论进行判断．
解答：
解：
A、观察图象，可知抛物线的对称轴为直线x=1，则图象关于直线x=1对称，正确，故本选项不符合题意；
B、观察图象，可知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），又抛物线开口向上，所以函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4，正确，故本选项不符合题意；
C、由图象可知抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），而对称轴为直线x=1，所以抛物线与x轴的另外一个
交点为（3，0），则﹣1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，正确，故本选项不符合题意；D、由抛物线的对称轴为x=1，所以当x＜1时，y随x的增大而减小，错误，故本选项符合题意．故选D．
点评：
此题考查了二次函数的性质和图象，解题的关键是利用数形结合思想解题．
11．（2012•济南）如图，二次函数的图象经过（﹣2，﹣1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）
A．y的最大值小于0B．当x=0时，y的值大于1
C．D．
当x=﹣1时，y的值大于1当x=﹣3时，y的值小于0
考点：
二次函数的图象；二次函数的性质．专题：
压轴题．
分析：
根据图象的对称轴的位置、增减性及开口方向直接回答．
解答：
解：
A、由图象知，点（1，1）在图象的对称轴的左边，所以y的最大值大于1，不小于0；故本选项错误；B、由图象知，当x=0时，y的值就是函数图象与y轴的交点，而图象与y轴的交点在（1，1）点的左边，故y＜1；故本选项错误；
C、对称轴在（1，1）的右边，在对称轴的左边y随x的增大而增大，∵﹣1＜1，∴x=﹣1时，y的值小于x=1时，y
的值1，即当x=﹣1时，y的值小于1；故本选项错误；
D、当x=﹣3时，函数图象上的点在点（﹣2，﹣1）的左边，所以y的值小于0；故本选项正确．故选D．
点评：
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．解答此题时，需熟悉二次函数图象的开口方向、对称轴、
与x轴的交点等知识．
12．（2012•德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（）
A．c=3B．c≥3C．1≤c≤3D．c≤3
考点：
二次函数的性质．专题：
压轴题．
分析：
因为当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，所以函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，由题意可知当x=3时，y=9+3b+c≤0②，所以①②联立即可求出c的取值范围．
解答：
解：
∵当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，
∴函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，
∵当1≤x≤3时，总有y≤0，
∴当x=3时，y=9+3b+c≤0②，
①②联立解得：
c≥3，故选B．
点评：
本题考查了二次函数的增减性，解题的关键是由给出的条件得到抛物线过（1，0
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