高中数学异面直线夹角自编.docx
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高中数学异面直线夹角自编
浅谈异面直线所成的
异面直线所成角的求法
求异面直线夹角主要有三种主要方法，一是几何法，二是矢量法，三是公式法。
一、几何法：
几何法求异面直线所成角的思路是：
通过平移把空间两异面直线转化为同
一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。
基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。
常见三种平移方法：
直接平移：
中位线平移（尤其是图中出现了中点）：
补形平移法：
“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
例：
长方体ABCD—AiBiCiDi中，若AB=BC=3，AAi=4，求异面直线BiD与BCi所成角的大小。
直接平移：
常见的利用其中一个直线a和另一个直线b上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a的平行线。
解法一：
如图④，过B点作BE//BG交CB的延长线于E点。
则/DBE就是异面直线DB与BC所成角，连结DE交AB于MDE=2DM=35,
cos/DBEr7^4
i70
/.ZDBE二arccos7-34
i70
解法二：
如图⑤，在平面DDBB中过B点作BE//DB交DB的延长线于E,
则ZCiBE就是异面直线DB与BG所成的角，连结6£,在4BGE中,
ZGBE=i35,CiE=35,
cosZGBE=^34,/ZCBEwrccos7^34。
i70i70
课堂思考:
1•如图，PA矩形ABCD，已知PA=AB=8,BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。
2.在长方体ABCDAiBiCiDi中，若棱BBi=BC=1AB=/3，求DB和AC所成角的余弦值•
【例2】如图所示，长方体AiBiCiDi-ABCD中，/ABAi=45。
，/AiADi=60°，求异面直线AiB与ADi所成的角的度数•
中位线平移法
分析：
构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。
解法一：
如图①连结BiC交BCi于0,过0点作OE//DBi,贝卩/BOE为所求的异面直线DBi与BCi所成的角。
连结EB，由已知有BiD=、34，BCi=5,
，…cos/BOE=
2I70
/•ZBOE^arccos—
I70
图①
解法二：
如图②，连DBAC交于O点，过O点作OE//DB，过E点作EF
//CB,则/OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过0点作OM/DC连结
MFOF。
贝SOF&73,cos/OEF二迺，二异面直线BD与BG所成的角为
2170
A/34
arccos—
解法三：
如图③，连结DB交DB于0,连结DA,则四边形ABGD为平行四边形。
在平行四边形ABGD中过点0作EF//BG交ABDG于E、F,则/DOF或其补角就是异面直线DB与BG所成的角。
在△ADF中DF=3迈,cos/
2
DOfZ^4，二/DOF=arccos乙岂。
170170
课堂练习
1•在正四面体ABG［中，已知E是棱BC的中点，求异面直线AE和BD所成角的余弦值。
补形法
分析：
在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。
解法一：
如图⑥，以四边形ABCD为上底补接个高为4的长方体
ABCD-ABGD，连结DB,贝卩DB//DB,「./GBD或其补角就是异面直线DB与
•••异面直线DB与BG所成的角是arccos7i734
课堂练习：
求异面直线A1C1与BD1所成的角
在长方体ABCD-A1B1C1啲面BC1上补上一个同样大小的长方体，将AC平移到BE,则/D1BE
或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在厶BD1E中,BD1=3
二、矢量法。
利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法
之一。
常有向量几何法和向量代数法两种。
解法一：
如图⑦，连结DBDC，设异面直线DB与BC所成的角为
=|DB」|BBjcos〈DB，BB>+|DBj|B1Cjcos〈DB1，B1C1>
BB//DD
〈DB1，BB1>=〈DD1，DB1>=ZDDB
4
cos/DDB=—
V34
〈DB1,BQ>=180°—/DBG
cos/DBG二
3
/.cos〈DBj,
B1G1>
=一cos/DBG=—
3
DBiBGi=7
7「34
cos=
170
A34
arccos—
170
解法二：
如图⑧，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（3,3,0）,B
（3,3,4），D（0,0,0），G（3,0,4）设DB1和BC1的夹角为，
SfCCng
所以异面直线A1C1与BD1所成的角为'-
向量代数法:
葩・〔-&72）,忑・总厂卩）
以D为坐标原点，DCDADD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0,1,0）、
C（2,0,0）,B（2,1,0）、D1（0,0,2）,
所以异面直线A1C1与BD1所成的角为
二、公式法
公式法实质是矢量几何法的推广:
AB2AC2BC2AD2AC2CD2
AD2BC2AB2CD2
22
2
cADa-PECa-AEa-DCa
cost1-
2AC-BD
所以有:
例：
长方体ABCD-A1B1C1D中，AB=AA仁2cmAD=1crp求异面直线A1C1与BD1所成的角。
解：
连结BC1A1B在四面体为臼，易求得
由定理得:
辭■込竺上心£
2A1C1-BD1
所以
已知平面的斜线a与内一直线b相交成B角，且a与相交成1角，a在上的射影
c与b相交成2角，则有cos1cos2cos
公式2用几何法研究:
在平面的斜线a上取一点P,过点P分别作直线c、b的垂线POPB垂足为OB
异面直线AB与CCi所成的角的余弦值为（D）
讲解习题：
例1在长方体ABCD-ABCD中，AB=BC=3AA=4.求异面直线AB和AD所成的角的余弦.（如图1）
例2在长方体ABC-ABCD中，/CBC=45，/BAB=60.求AB与BC所成角的余弦.（如图2）
例3已知正方体的棱长为a，M为AB的中点，N为BB的中点.求AM与CN所成的
角的余弦.（如图3）（1992年高考题）
作业:
k在长方体ABCD—凫］B&］D］中，AB=27WTEC=5?
E1B=12.求BD】和所成的角的余弦•［需|］
2.在长方体ABCD-中，CD二乎，DD；
6求儿併EIER所成角的大小•阳］
3.在棱长为a的正方体ABCD-ABGD中，0是正方形ABCD勺中心，E,F分别是AB,BC中点.求：
（1）异面直线AD和CD的距离；
（2）异面直线C10和EF的距离.
rJ5
3）呂
4
4.在长方体ABCD-ABCD中，/BAB=/BAQ=30°.求：
（1）AB与AC所成的角的度数；
（2）AiA与CB所成的角的度数；（3）AB与AC所成的角的余弦.
「31
30°；仔！
一
4
5、如图，在三棱锥S-ABC中，E、F分别是SC、AB的中点，且EF5,SA6,BC8，则异
面直线SA与BC的夹角为多少?
将上例中的问题改为求SF与BE所成角的余弦值.
解：
连结CF，Q取CM的中点G,连结EG、BG，贝UEG//SF,二/BEG为异面直线SF、BE
2
所成的角•在ABEG中，利用余弦定理可解得：
COS/BEG=3.
高考题：
例1（2005年全国高考福建卷）如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AAi=AB=2,AD=1,点E、F、G
分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）
解：
连B1G，贝UA1E//B1G，知/B1GF就是异面直线A1E与GF所成的角.在△BQF中，由余弦
定理，得
BG2GF2B1F2
C0SB1GF=———
2BG?
GF
评注：
本题是过异面直线FG上的一点G,作B1G,则A1E//B1G，知/B1GF就是所求的角，从而纳入三角形中解决.
此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,则M、N
故例2（2005年全国高考浙江卷）设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE丄AB于E（如图）.现将厶ADE沿DE折起，使二面角A—DE—B为45
的连线与AE所成角的大小等于
1
ED.
2
解：
取AE中点G,连结GM、BG
1
•/GM//ED,BN//ED,GM=一EDBN=
2，
•••GM//BN，且GM=BN.
•••BNMG为平行四边形，•MN//BG
•/A的射影为B.
•AB丄面BCDE.
/又•••G为中点，•BG丄AE.
B即MN丄AE.
E•-MN与AE所成角的大小等于90度.
A故
填三、平移（或构造）几何体
Z有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程
B例3（2005年全国高考天津卷）如图，PA平面ABC,ACB90且PAACBCa，则异
面直线PB与AC所成角的正切值等于.
E解：
将此多面体补成正方体DBCAD'B'C'P,PB与AC所成的角的大小即此正方体主对角线
PB与棱BD所成角的大小，在Rt△PDB中，即tanDBA史2.故填2.DB
，点评：
本题是将三棱柱补成正方体DBCAD'B'C'P，从而将问
题简化.
［例4］在棱长为a的正方体ABCD—A'B'C'D'中，E、F分别是BC、A'D'的中点.
⑵解：
如图所示，在平面ABCD内，过C作CP//DE,交直线AD于P,
则/A'CP（或补角）为异面直线A'C与DE所成的角.
故A'C与DE所成角为arccos」5.
15
侧棱AA1
［例5:
如下图，已知平行六面体ABCD—AiBiCiDi中，底面ABCD是边长为a的正方形,长为b,且AAi与AB、AD的夹角都是120°.
求:
（1）ACi的长；
⑵直线BDi与AC所成的角的余弦值.
技巧与方法：
数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用
解：
（1）|AC1|2AC1AC1（AA,AC）（AAiAC）
（AA1ABAD）（AA'ABAD）
|AA|2|AB|2|AD|22AA（AB2AA（AD2ABAD
由已知得:
|AA1|2b2,|AB|2|AD|2a2
Aa1,ABAA1,AD120,AB,AD90
11
AA|ABbacos120ab,AA-iADbacos120ab,ABAD0,
22
|AC^|22a2b22ab,|AC1|.2a2b22ab.
（2）依题意得,|AC|.2a,ACABAD
BD1
AC
b
IBD1
l|AC|
4a22b2
bd1AdBAAA1AdAb
ACBD1（ABAD）（AA1ADAB）
AbAA1AdAA1Ab
AD
AD2AB2
AB
AD
ab
—2
|BD1|2BD1BD1（AA1
AD
AB）（AA1
AD
AB）
一222
IAA1||AD||AB|
2AA1
AD2AB
AD
2AA
22
AB2a2b2
|BD1|2a2b2cosBD1,AC
-BD1与AC所成角的余弦值为
b
•4a22b2
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