完整版人教版高数必修五第2讲正弦定理和余弦定理的应用教师版.docx
《完整版人教版高数必修五第2讲正弦定理和余弦定理的应用教师版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《完整版人教版高数必修五第2讲正弦定理和余弦定理的应用教师版.docx(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![完整版人教版高数必修五第2讲正弦定理和余弦定理的应用教师版.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2022-10/9/f74a76d0-fd5c-4696-8da4-3bffe5ca9c0a/f74a76d0-fd5c-4696-8da4-3bffe5ca9c0a1.gif)
完整版人教版高数必修五第2讲正弦定理和余弦定理的应用教师版
正弦定理和余弦定理的应用
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
教学重点:
掌握正弦定理和余弦定理的应用,高度,距离,角度的准确判断
教学难点:
构造三角形,利用正、余弦定理进行解相关的边长、角度。
1、与实际应用问题有关的名词、术语
铅直平面:
与水平面垂直的平面
坡角:
坡面与水平面的夹角
坡比:
坡面的垂直高度与水平长度之比
仰角:
在同一铅直平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角
俯角:
在同一铅直平面内,视线在水平线下方时与水平线的夹角
视角:
从某点看物体的最高点与最低点的两条视线的夹角
方向角:
从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南方向,方向角小于
方位角:
从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角
2、解三角形应用问题步骤
(1)准确理解题意,分清已知和所求,尤其是要理解应用题中的相关名词和术语;
(2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出,即将实际问题抽象成数学问题;
(3)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形,通过运用正弦定理或余弦定理正确求解;
(4)检验求得的解是否具有实际意义,并对所求的解进行取舍。
类型一:
测量距离、高度问题
例1.(2015山东潍坊月考)为了测量某湖泊的两侧
间的距离,给出下列数据,其中不能唯一确定
两点间的距离的是()
A.角
和边
B.角
和边
C.边
和角
D.边
和角
解析:
根据正弦定理和余弦定理可知,当知道两边和其中一边的对角解三角形时,得出的答案是不唯一的,所以选D
答案:
D
练习1.在200m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( )
A.
m B.
mC.200
m D.200m
解析:
如图,设AB为山高,CD为塔高,则AB=200,
∠ADM=30°,∠ACB=60°∴BC=
=
,AM=DMtan30°=BCtan30°=
.
∴CD=AB-AM=
.
答案:
A
练习2:
要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,则电视塔的高度为( )
A.10
m B.20mC.20
m D.40m
解析:
设AB=xm,则BC=xm,BD=
xm,在△BCD中,由余弦定理,得
BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos120°,
∴x2-20x-800=0,∴x=40(m).
答案:
D
例2:
一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2km/h,则经过
h,该船实际航程为________.
解析:
如图,水流速和船速的合速度为v,
在△OAB中:
OB2=OA2+AB2-2OA·AB·cos60°,
∴OB=v=2
km/h.
即船的实际速度为2
km/h,则经过
h,其路程为2
×
=6km.
答案:
6km
练习3:
在灯塔上面相距50m的两点A、B,测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°,试计算该渔船离灯塔的距离________.
解析:
由题意,作出图形如图所示,
设出事渔船在C处,根据在A处和B处测得的俯角分别为45°和60°,
可知∠CBD=30°,∠BAC=45°+90°=135°,
∴∠ACB=180°-135°-30°=15°,
又AB=50,在△ABC中,由正弦定理,得
=
,
∴AC=
=
=25(
+
)(m).
∴出事渔船离灯塔的距离CD=
AC
=
=25(
+1)(m).
练习4:
两船同时从A港出发,甲船以每小时20nmile的速度向北偏东80°的方向航行,乙船以每小时12nmile的速度向北偏西40°方向航行,一小时后,两船相距________nmile.
解析:
如图,△ABC中,AB=20,AC=12,
∠CAB=40°+80°=120°,
由余弦定理,得BC2=202+122-2×20×12·cos120°=784,∴BC=28(nmile).
答案:
28
规律总结:
求距离、高度时,牢牢抓住各已知边及角,理解名词、术语的应用。
类型二:
测量角度问题、三角形综合题
例3:
在某测量中,A在B的北偏东55°,则B在A的( )
A.北偏西35° B.北偏东55°C.北偏东35° D.南偏西55°
解析:
根据题意和方向角的概念画出草图,如图所示.
α=55°,则β=α=55°.
所以B在A的南偏西55°.
答案:
D
练习5:
已知两座灯塔
和
与海洋观察站
的距离相等,灯塔
在观察站
的北偏东
,灯塔
在观察站
的南偏东
,则灯塔
在灯塔
的()
A.北偏东
B.北偏西
C.南偏东
D.南偏西
答案:
B
练习6:
某观察站
与两灯塔
的距离分别为300米和500米,测得灯塔
在观察站
北偏东
处,灯塔
在观察站
南偏东
处,则两灯塔
间距离为()
A.400米B.500米C.800米D.700米
答案:
D
例4:
在
中,三个内角
的对边分别为
若
的面积为
,且
,则
()
A.
B.
C.
D.
解析:
由
即
又
,所以
又
答案:
C
练习7:
在
中,三个内角
的对边分别为
若
的面积为
,且
,则
()
A.2B.3C.-2D.-3
答案:
A
练习8:
在
中,三个内角
的对边分别为
若
的面积为
,且
,则
()
A.3B.4C.5D.6
答案:
B
1.在某测量中,A在B的北偏东45°,则B在A的( )
A.北偏西35° B.北偏东55°C.北偏东35° D.南偏西45°
答案:
D
2.在某测量中,A在B的南偏西45°,则B在A的( )
A.北偏西35° B.北偏东45°C.北偏东35° D.南偏西45°
答案:
B
3.在100m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( )
A.
mB.200
mC.
mD.400m
答案:
A
4.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=60m,则电视塔的高度为( )
A.10
m B.20mC.20
m D.60m
答案:
D
5.如果在测量中,某渠道斜坡的坡度为
,设α为坡角,那么
等于( )
A.
B.
C.
D.
答案:
D
6.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东30°,灯塔B在观察站C的南偏东70°,则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东20° B.北偏西20°C.南偏东20° D.南偏西20°
答案:
B
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
基础巩固
1.某人向正东走
Km,向右转
,然后朝旋转后的方向走3km后,他离最开始的出发点的距离恰好为
km,那么
的值为__________
答案:
2.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A.akm B.
akmC.
akm D.2akm
答案:
B
3.有一长为10m的斜坡,它的倾斜角是75°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延伸( )
A.5m B.10mC.10
m D.10
m
答案:
C
4.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距( )
A.10
m B.100
mC.20
m D.30m
答案:
D
5.如图所示,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算A、B两点的距离为( )
A.50
m B.50
mC.25
m D.
m
答案:
A
6.一船以24km/h的速度向正北方向航行,在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上,15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上,则船在点B时与灯塔S的距离是______km.(精确到0.1km)
答案:
5.2
7.如图,一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与灯塔S相距20nmile,随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为( )
A.20(
+
)nmile/hB.20(
-
)nmile/hC.20(
+
)nmile/hD.20(
-
)nmile/h
答案:
B
能力提升
8.某海岛周围38nmile有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东60°方向,航行30nmile后测得此岛在东北方向,若不改变航向,则此船________触礁的危险(填“有”或“无”).
答案:
如图所示,由题意在△ABC中,AB=30,
∠BAC=30°,
∠ABC=135°,∴∠ACB=15°,
由正弦定理,得BC=
=
=
=15(
+
).
在Rt△BDC中,CD=
BC=15(
+1)>38.
∴此船无触礁的危险.
9.甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处,乙船正以anmile/h的速度向北行驶.已知甲船的速度是
anmile/h,问甲船应沿着________方向前进,才能最快与乙船相遇?
答案:
如图,设经过th两船在C点相遇,
则在△ABC中,
BC=at,AC=
at,B=180°-60°=120°,
由
=
,
得sin∠CAB=
=
=
.
∵0°<∠CAB<90°,
∴∠CAB=30°,
∴∠DAC=60°-30°=30°.
即甲船应沿北偏东30°的方向前进,才能最快与乙船相遇.
10.在某海滨城市附近海面有一台风.据监测,当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θ(cosθ=
)方向300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?
答案:
如图所示,设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为(10t+60)km.若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则OQ≤10