人教版高数必修三第14讲概率的应用教师版.docx

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人教版高数必修三第14讲概率的应用教师版

概率的应用

1.学会古典概型、几何概型在实际问题中的应用。

2.能在具体问题中分析出问题是那种类型的概率。

1.概率的应用

概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇．任何事件的概率是________之间的一个数，它度量该事件发生的可能性．小概率事件（__________）很少发生，而大概率事件（__________）则经常发生.

0~1概率接近0概率接近1

2.极大似然法

如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法．极大似然法是统计中重要的思想方法之一.

类型一概率的应用

例1：

在一场乒乓球比赛前，要决定由谁先发球，裁判员拿出一个象大硬币似的均匀塑料圆板抽签器，一面是红圈，一面是绿圈，然后随意指定一名运动员，要他猜抛出的抽签器落到球台上时，是红圈朝上还是绿圈朝上，如果他猜对了就由他发球，否则由对方发球，请就裁判员的这一做法作出解释．

[解析]　这样做体现了公平性，它使得两名运动员先发球的机会是等可能的，用概率的语言描述就是两个运动员取得发球权的概率都是0.5，∴这个规则是公平的．

练习：

下面给出的游戏规则，哪些是公平的？

（1）抛掷一枚均匀硬币，正面朝上甲胜，反面朝上乙胜；

（2）抛掷两枚均匀硬币，朝上一面相同甲胜，朝上一面一正一反乙胜；

（3）抛掷一枚均匀骰子，出现奇数点甲胜，出现偶数点乙胜；

（4）抛掷一枚均匀骰子，出现小点（1,2,3点）甲胜，出现大点（4,5,6点）乙胜；

（5）抛掷两枚均匀骰子，点数相邻（如4,5点）或相同（如1,1点）甲胜，点数不相邻（如1,3点）乙胜；

（6）口袋中有一红一白两个球，从中摸出一球得红球甲胜，得白球乙胜；

（7）口袋中有两红、两白共4个球取出两球，这两球同色甲胜，不同色乙胜；

（8）口袋中有3个红球，1个白球，摸取两球这两球同色甲胜，不同色乙胜．

[答案]　

（1）是公平的，因为“正面朝上”和“反面朝上”的概率都是.

（2）是公平的，两枚硬币按先后抛掷可能出现的所有情形：

（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）是等可能的．∴事件A＝“朝上一面相同”的概率为P（A）＝＝.本题容易出现的错误是：

基本事件空间中有两个正面、两个反面、一正一反，从而得出P（A）＝，事实上，上面三种情况不是等可能的．

（3）是公平的，事件A＝“出现奇数点”的概率P（A）＝＝；同理（4）也是公平的．

（5）是不公平的，两枚骰子先后抛掷点数构成基本事件空间Ω＝{（x，y）|1≤x≤6,1≤y≤6，x∈N，y∈N}，共36个基本事件，其中事件A＝“点数相同”共6个基本事件（1,1），（2,2），（3,3），（4,4），（5,5），（6,6），事件B＝“点数相邻”中含10个基本事件：

（1,2），（2,1），（2,3），（3,2），（3,4），（4,3），（4,5），（5,4），（5,6），（6,5），∴事件C＝“点数相邻或相同”＝A∪B，∴P（C）＝＝，此时甲胜的概率小，乙胜的概率大．

（6）是公平的，甲获胜的概率P＝.

（7）是不公平的，给球编号为红1、红2、白1、白2.取出两球基本事件空间Ω＝{（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2），（红2，白1），（红2，白2），（白1，白2）}共6种等可能情形，事件A＝“两球同色”的概率为P（A）＝＝，∴甲获胜的概率为，不公平．

（8）是公平的，给球编号为红1、红2、红3、白取两球基本事件空间Ω＝{（红1，红2），（红1，红2），（红1，白），（红2，红3），（红3，白），（红2，白）}共6种其中两球同色的有3种其概率为P＝＝，故公平．

类型二古典概型及其应用

例2：

连续抛掷两颗骰子，设第一颗点数为m，第二颗点数为n，则求

（1）m＋n＝7的概率；

（2）m＝n的概率；

（3）m·n为偶数的概率．

[解析]　（m，n）的总个数为36.

（1）事件A＝{m＋n＝7}＝{（1,6），（2,5），（3,4），（4,3），（5,2），（6,1）}共6个，则P（A）＝＝.

（2）事件B＝{m，n}＝{（1,1），（2,2），（3,3），（4,4），（5,5），（6,6）}共6个，则P（B）＝＝.

（3）事件C＝{m·n为偶数}分为奇数×偶数，偶数×奇数，偶数×偶数3类，∴共有基本事件3×3＋3×3＋3×3＝27个．

∴P（C）＝＝.

练习1：

有2个人在一座11层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，求2个人在不同层离开的概率．

[解析]　解法一：

2人中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，即每人都可以从第二层到第十一层的任何一层离开，因此每人有10种离开的方法，所以共有不同的离开方法，即基本事件总数为n＝10×10＝100.

记“两个人在不同层离开”为事件A，下面求A包含的基本事件数．第一个离开时有10种方法，第二人离开时有9种方法，故共有不同离开方法是m＝10×9＝90.

∴由古典概型概率公式得P（A）＝＝＝0.9.

解法二：

2个人在不同层离开和在同一层离开是对立事件．而2个人同楼层离开即从第二层到第十一层一共10种离开方法．∴P（A）＝1－＝1－0.1＝0.9.

类型三几何概型及其应用

例3：

在间隔时间T（T>2）内的任何瞬间，两个信号等可能地进入收音机．若这两个信号的间隔时间小于2，则收音机将受到干扰，试求收音机受到干扰的概率（单位：

秒）．

[解析]　设两个信号进入收音机的瞬间分别为x与y，x与y的变化范围为0≤x≤T,0≤y≤T，则样本空间W是边长为T的正方形，且当|x－y|≤2时，收音机受到干扰，即当样本点（x，y）落在两条直线y＝x＋2，y＝x－2之间，且在正方形W之内的区域A（如右图中阴影部分）中时，收音机才受到干扰，于是所求概率为P＝＝.

练习1：

设有一个等边三角形网格，如图所示，等边三角形的边长是4cm，现有直径等于2cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．

[答案]　硬币落下后与格线没有公共点的充要条件是硬币中心与格线的距离都大于半径1，在等边三角形内作三条与正三角形三边距离为1的直线，构成小等边三角形，当硬币中心在小等边三角形内时，硬币与三边都没有公共点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题．

记A＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则等边三角形的边长为

4－2＝2.由几何概率公式得

P（A）＝＝.

练习2：

在0～1之间随机选择两个数，这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三条，试求这三条线段能构成三角形的概率．

[答案]　设三条线段的长度分别为x，y,1－x－y，

由，即.在平面上建立如

图所示的直线坐标系．直线x＝0，x＝1，y＝－x＋1围成如图所示的三角形区域G，每一对（x，y）对应着G内的点（x，y），由题意知，每一个试验结果出现的可能性相等，因此，试验属于几何概型．

三条线段能构成三角形当且仅当，即

因此图中的阴影区域g就表示“三条线段能构成三角形”，容易求得g的面积为.所以三条线段能构成三角形的概率为P＝＝.

类型四极大似然数

例4：

抛掷10枚硬币，全部正面朝上．试就这一现象，分析这些硬币的质地是否均匀.

[解析]　对于质地均匀的硬币，抛掷一次出现正面朝上的概率是.而对于抛掷一次来说，其结果是随机的.连续抛掷10枚硬币，全部正面朝上的概率是≈0.000977.

可见，对均匀硬币而言，10枚全部正面朝上的概率很小，几乎是不可能发生的，但它又确实发生了.根据极大似然思想，我们更倾向于认为，这些硬币质地是不均匀的，即硬币的反面可能更重一些．

1．从4名选手甲、乙、丙、丁中选取2人组队参加奥林匹克竞赛，其中甲被选中的概率为（　　）

A．　　　B．C．　　　D．

[答案]　B

2．在120个零件中，有一级品24个，二级品36个，三级品60个，从中抽取容量为20的一个样本，则每个个体被抽到的概率为（　　）

A．B．C．D．

[答案]　D

3．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（　　）

A．B．1－C．D．1－

[答案]　B

4．口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一球，摸出白球的概率为0.23，那么摸出黑球的概率为________，摸出红球或黑球的概率为________．

[答案]　0.32　0.77

5．某公共汽车站每隔10min就有一趟车经过，小王随机赶到车站，则小王等车时间不超过4min的概率是_______．

[答案]　

6．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．

（1）若以A表示和为6的事件，求P（A）；

（2）现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？

为什么？

（3）这种游戏规则公平吗？

试说明理由．

[解析]　

（1）基本事件空间与点集S＝{（x，y）|x∈N，y∈N,1≤x≤5,1≤y≤5}中的元素一一对应．

因为S中点的总数为5×5＝25（个），所以基本事件总数为n＝25.

事件A包含的基本事件数共5个：

（1,5）、（2,4）、（3,3）、（4,2）、（5,1），所以P（A）＝＝.

（2）B与C不是互斥事件．因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．

（3）这种游戏规则不公平．由

（1）知和为偶数的基本事件数为13个

（1,1）、（1,3）、（1,5）、（2,2）、（2,4）、（3,1）、（3,3）、（3,5）、（4,2）、（4,4）、（5,1）、（5,3）、（5,5）．

所以甲赢的概率为，乙赢的概率为.

所以这种游戏规则不公平．

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基础巩固

一、选择题

1．从一篮鸡蛋中取1个，如果其重量小于30克的概率是0.30，重量在[30,40]克的概率是0.50，则重量不小于30克的概率是（　　）

A．0.30　　B．0.50　　

C．0.80　　D．0.70

[答案]　D

[解析]　由题意得1个鸡蛋其重量不小于30克的概率是1－0.30＝0.70.

2．调查运动员服用兴奋剂的时候，应用Warner随机化方法调查300名运动员，得到80个“是”的回答，由此，我们估计服用过兴奋剂的人占这群人的（　　）

A．3.33%B．53%

C．5%D．26%

[答案]　A

[解析]　应用Warner随机化方法调查300名运动员，我们期望有150人回答了第一个问题，而在这150人中又有大约一半的人即75人回答了“是”．其余5个回答“是”的人服用过兴奋剂，由此估计这群人中服用兴奋剂的大约占≈3.33%，故选A.

3．袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事件中概率是的是（　　）

A．颜色全相同B．颜色不全相同

C．颜色全不相同D．颜色无红色

[答案]　B

[解析]　每次任取一个，有放回的抽取3次，所得基本事件总数为27个，颜色全相同的有3个，颜色不全相同的有24个，故颜色不全相同的概率为＝，故选B.

4．4名学生与班主任站成一排照相，班主任站在正中间的概率是（　　）

A．B．

C．D．

[答案]　A

[解析]　5人站一排有5个位置，班主任站在任一位置等可能，∴P＝.

5．甲、乙乒乓球队各有运动员三男两女，其中甲队一男与乙队一女是种子选手，现在两队进行混合双打比赛，则两个种子选手都上场的概率是（　　）

A．B．

C．D．

[答案]　A

[解析]　每队选一男一女上场，不同的上场结果（即基本事件总数）有3×2×2×3×2＝36种，而两个种子选手都上场的情况有2×3＝6种．∴概率为P＝＝.

6．x是[－4,4]上的一个随机数，则使x满足x2＋x－2<0的概率为（　　）

A．B．

C．D．0

[答案]　B

[解析]　x2＋x－2<0的解集为（－2,1），区间的长度为3，区间[－4，4]的长度为8，∴所求概率P＝.

二、填空题

7．在3名女生和2名男生中安排2人参加一项交流活动，其中至少有一名男生参加的概率为________．

[答案]　0.7

[解析]　从5名学生中抽取2人的方法共有10种，“至少有一名男生参加”包括“两名都是男生”和“一名女生一名男生”两种情况，共7个基本事件，故所求概率为＝0.7.

8．口袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一个，摸出红球或白球的概率为0.75，摸出白球或黑球的概率为0.60，那么口袋中共有白球、红球、黑球各________个．

[答案]　35,40,25

[解析]　黑球个数为100×（1－0.75）＝25个；红球个数100×（1－0.60）＝40个，白球个数100－25－40＝35个．

三、解答题

9．今有长度不等的电阻丝放在一起，已知长度在84～85mm间的有三条，长度在85～86mm间的有四条，长度在86～87mm间的有五条，从中任取一条，求：

（1）长度在84～86mm间的概率；

（2）长度在85～87mm间的概率．

[解析]　取到长度在84～85mm的电阻丝的概率为，取到长度在85～86mm的电阻丝的概率为，取到长度在86～87mm的电阻丝的概率为.

（1）P1＝＋＝.

（2）P2＝＋＝.

能力提升

一、选择题

1．甲、乙、丙、丁四人做相互传递球练习，第一次甲传给其他三人中的一人（假设每个人得到球的概率相同），第二次由拿球者再传给其他三人中的一人，这样共传了三次，则第三次球仍传回到甲手中的概率为（　　）

A．B．

C．D．

[答案]　B

[解析]　本题可用树形图进行解决，如图所示，共有27种结果，第三次球传回到甲手中的结果有6种．故所求概率为P＝＝.

2．一只蚂蚁在一直角边长为1cm的等腰直角三角形ABC（∠B＝90°）的边上爬行，则蚂蚁距A点不超过1cm的概率为（　　）

A．B．

C．2－D．2－

[答案]　D

[解析]　如图，E为斜边AC上的点，且AE＝1cm，则蚂蚁应在线段AE及边AB上爬行，所求概率P＝＝2－，故选D.

二、填空题

3．从甲、乙、丙、丁四人中选两名代表，甲被选中的概率是____________．

[答案]　

[解析]　从甲、乙、丙、丁四人中选两名代表，所有可能的结果如图所示．

如图知，所有可能的结果有6种，记“甲被选中”为事件A，则A含有3种可能结果．

∴P（A）＝＝.

4．取一个边长为2a的正方形及其内切圆如图，随机向正方形内丢一粒豆子，豆子落入圆内的概率为______________________．

[答案]　

[解析]　记“豆子落入圆内”为事件A，则P（A）＝

＝＝＝.

三、解答题

5．已知直线Ax＋By＋1＝0，若A、B从－3，－1,0,2,7这5个数中选取不同的两个数，求斜率小于0的直线的概率．

[解析]　直线方程变形为y＝－x－（B≠0），记“斜率小于0”为事件M，其中包含：

①A、B同取正值记为事件M1；②A、B同取负值记为事件M2，且M1、M2为互斥事件．事件总个数为5×4＝20.

∴P（M1）＝＝，

P（M2）＝＝.∴由互斥事件概率的加法公式，得P（M）＝＋＝.

6．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否则测评为合格．假设此人对A和B饮料没有鉴别能力．

（1）求此人被评为优秀的概率；

（2）求此人被评为良好及以上的概率．

[解析]　将5杯饮料编号为：

1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：

（123），（124），（125），（134），（135），（145），（234），（235），（245），（345），

共有10种．

令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则

（1）P（D）＝.

（2）P（E）＝，P（F）＝P（D）＋P（E）＝.