人教版高数必修三第11讲古典概型教师版.docx
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人教版高数必修三第11讲古典概型教师版
古典概型
1.根据本节课的内容和学生的实际水平,通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：
试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性,观察类比各个试验,正确理解古典概型的两大特点；树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点,培养学生用随机的观点来理性地理解世界,使得学生在体会概率意义
2.鼓励学生通过观察、类比,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力,归纳总结出古典概型的概率计算公式,掌握古典概型的概率计算公式；注意公式：
P（A）=
的使用条件——古典概型,体现了化归的重要思想.掌握列举法,学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题,增强学生数学思维情趣.
1．古典概型的概念
同时具有以下两个特征的试验称为古典概型：
（1）________：
在一次试验中，可能出现的结果只有________，即只有________不同的基本事件；
（2）等可能性：
每个基本事件发生的可能性是________．
有限性有限个有限个均等的
2．概率的古典定义
在基本事件总数为n的古典概型中，
（1）每个基本事件发生的概率为______；
（2）如果随机事件A包含的基本事件数为m，由互斥事件的概率加法公式可得P（A）＝_______，所以在古典概型中P（A）＝________________________，这一定义称为概率的古典定义．
3.基本事件的概率
一般地，对于古典概型，如果试验的n个基本事件为A1，A2，…，An，由于基本事件是两两__________的，则由________________________公式得P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）＝P（A1∪A2∪…∪An）＝P（Ω）＝1.又因为每个基本事件发生的可能性相等，即P（A1）＝P（A2）＝…＝P（An），代入上式得n·P（A1）＝1，即P（A1）＝______.
互斥互斥事件的概率加法
类型一等可能事件的概率
例1：
一个口袋内装有大小相同的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求：
（1）基本事件总数；
（2）事件“摸出2个黑球”包含多少个基本事件？
（3）摸出2个黑球的概率是多少？
[解析] 由于4个球的大小相同，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型．
（1）从装有4个球的口袋内摸出2个球，基本事件总数为6.
（2）事件“从3个黑球中摸出2个球”＝{（黑1，黑2），（黑2，黑3），（黑1，黑3）}，共3个基本事件．
（3）基本事件总数n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数n＝3，故P＝.
练习1：
掷一颗骰子，观察掷出的点数．
（1）求掷得奇数点的概率；
（2）求掷得点数不大于4的概率．
[答案] 基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，基本事件总数为6.
（1）事件A＝“掷得奇数点”＝{1,3,5}，含基本事件数为3，∴P（A）＝＝.
（2）事件B＝“掷得点数不大于4”＝{1,2,3,4}，含基本事件数为4，∴P（B）＝＝.
练习2：
（2013·江西文，4）集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A、B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是（ ）
A． B．C． D．
[答案] C
类型二古典概型的概率
例2：
袋中装有6个小球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
（1）A：
取出的两球都是白球；
（2）B：
取出的两球一个是白球，另一个是红球．
[解析] 首先应求出任取两球的基本事件的总数，然后需分别求出事件A：
取出的两球都是白球的总数；事件B：
取出的两球一个是白球，而另一个是红球的总数，便可套用公式解决之．
设4个白球的编号为1、2、3、4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取两个的方法为（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,4），（3,5），（3,6），（4,5），（4,6），（5,6），共15个．
（1）从袋中的6个小球中任取两个，所取的两球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个，即为（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4）．
∴取出的两个小球全是白球的概率为P（A）＝＝.
（2）从袋中的6个小球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括（1,5），（1,6），（2,5），（2,6），（3,5），（3,6），（4,5），（4,6），共8种．
∴取出的两个小球一个是白球，另一个是红球的概率为P（B）＝.
[答案]
（1）
（2）
练习1：
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.
（1）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
（2）向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
[答案]
（1）标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：
（A，D），（A，E），（B，D），共3种．
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.
（2）记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：
（A，D），（A，E），（B，D），（A，F），（B，F），（C，F），（D，F），（E，F），共8种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.
练习2：
将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．
[答案]
练习3：
甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，基中选择题3道，填空题2道，甲、乙两人依次各抽取一道题，求甲抽到选择题，乙抽到填空题的概率．
[答案] 设3道选择题分别为A，B，C,2道填空题分别为D，E，甲、乙两人依次各抽取一道题的情况有（A，B，），（B，A），（A，C），（C，A），（A，D），（D，A），（A，E），（E，A），（B，C），（C，B），（B，D），（D，B），（B，E），（E，B），（C，D），（D，C），（C，E），（E，C），（D，E），（E，D）20种，甲抽到选择题，乙抽到填空题的情况有（A，D），（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E）共6种故所求概率为＝.
类型三有放回取样与无放回取样的联系与区别
例3：
口袋内有红、白、黄颜色大小完全相同的三个小球，求：
（1）从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率；
（2）从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率；
（3）从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，第一次摸得红球，第二次摸得白球的概率；
（4）从袋中依次无放回的摸出两球，第一次摸得红球，第二次摸到白球的概率．
[解析]
（1）任意摸出两个小球的基本事件空间为{（红，白），（红，黄），（白，黄）}，所以，摸得红球和白球的概率为.
（2）有放回地取球．基本事件空间为：
{（红，红），（红，白），（红，黄），（白，白），（白，红），（白，黄），（黄，红），（黄，黄），（黄，白）}．而摸出一红一白包括（红，白），（白，红）两个基本事件，所以概率为.
（3）基本事件空间同
（2），第一次摸得红球，第二次摸得白球，只包含（红，白）一个基本事件，所以概率为.
（4）基本事件空间为{（红，白），（红，黄），（白，红），（白，黄），（黄，红），（黄，白）}，所以先摸出红球，再摸出白球的概率是.
练习1：
（1）从含有两件正品a、b和一件次品c的3件产品中每次任取一件，取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
（2）将
（1）中条件“取出后不放回”改为“每次取出后放回”其余不变，再求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
[答案]
（1）基本事件空间Ω＝{（a，b），（a，c），（b，c），（b，a），（c，a），（c，b）}，其中（a，b）中的a表示第一次取出的产品，b表示第2次取出的产品，Ω中有6个基本事件，它们的出现都是等可能的，事件A＝“取出的两件产品中，恰好有一件次品”包含4个基本事件，∴P（A）＝＝.
（2）有放回的连续取两件，基本事件空间Ω＝{（a，a），（a，b），（a，c），（b，b），（b，a），（b，c），（c，c），（c，a），（c，b）}中共9个等可能的基本事件，事件B＝“恰有一件次品”包含4个基本事件，∴P（B）＝.
练习2：
一个袋中已知有3个黑球，2个白球，第一次摸出球，然后再放进去，再摸第二次，则两次都是摸到白球的概率为（ ）
A．B．C.D．
[答案] D
类型四古典概型与解析几何的结合
例4：
设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a，b）落在直线x＋y＝n上”为事件Cn（2≤n≤5，n∈N），求使事件Cn的概率最大的n的所有可能取值．
[解析] 点P的所有可能值为（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3）．若点P（a，b）落在直线x＋y＝n上（2≤n≤5），则
当n＝2时，点P只能是（1,1）；
当n＝3时，点P可能是（1,2），（2,1）；
当n＝4时，点P可能是（1,3），（2,2）；
当n＝5时，点P只能是（2,3）．
故事件C3、C4的概率最大，所以n可取3或4.
[答案] n可取3或4
练习1：
连掷骰子两次（骰子六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6）得到的点数分别记为a和b，则使直线3x－4y＝0与圆（x－a）2＋（y－b2）＝4相切的概率为________．
[答案]
练习2：
设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．
[答案] 设事件A为“方程x2＋bx＋c＝0有实根”，则
A＝{（b，c）|b2－4c≥0，b，c＝1,2，…，6}．而（b，c）有：
（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），
（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），
（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（3,5），（3,6），
（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），（4,5），（4,6），
（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,5），（5,6），
（6,1），（6,2），（6,3），（6,4），（6,5），（6,6），
共36组．
其中，可使事件A成立的有：
（2,1），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,5），（5,6），（6,1），（6,2），（6,3），（6,4），（6,5），（6,6），共19组．
故事件A的概率P（A）＝.
类型五古典概型与统计的结合
例5：
海关对同时从A、B、C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：
件）如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
（1）求这6件样品中来自A、B、C各地区商品的数量；
（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
[解析]
（1）A、B、C各地区商品的数量之比为50：
150：
100＝1：
3：
2.
故从A地区抽取样本6×＝1件，
故从B地区抽取样本6×＝3件，
故从C地区抽取样本6×＝2件．
（2）将这6件样品分别编号a1，b1，b2，b3，c1，c2，随机选取2件，不同的取法共有{（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c1），（a1，c2），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c1），（b1，c2），（b2，b3），（b2，c1），（b2，c2），（b3，c1），（b3，c2），（c1，c2）}共15种．
设“2件商品来自相同地区”为事件A，则A含有{（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），（c1，c2）}共4种，故所求概率P（A）＝.
练习1：
20名学生某次数学考试成绩（单位：
分）的频率分布直方图如下：
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）分别求出成绩落在[50,60）与[60,70）中的学生人数；
（3）从成绩在[50,70）的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60,70）中的概率．
[解析]
（1）∵组距为10，∴（2a＋3a＋6a＋7a＋2a）×10＝200a＝1，
∴a＝＝0.005.
（2）落在[50,60）中的频率为2a×10＝20a＝0.1，
∴落在[50,60）中的人数为2.
落在[60,70）中的学生人数为3a×10×20＝3×0.005×10×20＝3.
（3）设落在[50,60）中的2人成绩为A1、A2，落在[60,70）中的3人为B1、B2、B3.
则从[50,70）中选2人共有10种选法，Ω＝{（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）}
其中2人都在[60,70）中的基本事件有3个：
（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），故所求概率p＝.
练习2：
有1号、2号、3号3个信箱和A、B、C、D4封信，若4封信可以任意投入信箱，投完为止，其中A信恰好投入1号或2号信箱的概率是多少？
[答案] 由于每封信可以任意投入信箱，对于A信，投入各个信箱的可能性是相等的，一共有3种不同的结果．投入1号信箱或2号信箱有2种结果，故A信恰好投入1号或2号信箱的概率为.
1．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则（ ）
A．p1[答案] C
2．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ）
A．B．C.D．
[答案] B
3．先后抛掷两枚均匀的硬币，出现“一枚正面，一枚反面”的概率为（ ）
A． B．C． D．1
[答案] C
4．有一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出两个小球则取出的小球上标注的数字之和为5或7的概率是（ ）
A．B．C.D．
[答案] B
5．从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________．
[答案]
6．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．
[答案] 0.2
7．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．
[答案]
8．一枚硬币连掷3次，求出现正面的概率．
[答案] 解法一：
设A表示“掷3次硬币出现正面”，Ω表示“连续掷3次硬币”，则Ω＝{（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，正，正），（反，反，反）}．
Ω由8个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的，且A＝{（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，正，正）}．
解法二：
记A1表示“掷3次硬币有一次出现正面”，A2表示“掷3次硬币有两次出现正面”，A3表示“掷3次硬币有三次出现正面”，A表示“掷3次硬币至少出现一次正面”．显然A＝A1∪A2∪A3，同解法一容易得出P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝.
又因为A1、A2、A3彼此是互斥的，所以，
P（A）＝P（A1∪A2∪A3）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＝＋＋＝.
解法三：
在本例中，显然表示“掷3次硬币，三次均出现反面”的事件，且P（）＝，根据P（A）＋P（）＝1.
∴P（A）＝1－P（）＝1－＝.
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
基础巩固
一、选择题
1．关于随机数的说法正确的是（ ）
A．随机数就是随便取的一些数字
B．随机数是用计算机或计算器随便按键产生的数
C．用计算器或计算机产生的随机数为伪随机数
D．不能用伪随机数估计概率
[答案] C
2．用计算机随机模拟掷骰子的试验，估计出现2点的概率，下列步骤中不正确的是（ ）
A．用计算器的随机函数RANDI（1,6）或计算机的随机函数RANDBETWEEN（1,6）产生6个不同的1到6之间的取整数值的随机数x，如果x＝2，我们认为出现2点
B．我们通常用计数器n记录做了多少次掷骰子试验，用计数器m记录其中有多少次出现2点，置n＝0，m＝0
C．出现2点，则m的值加1，即m＝m＋1；否则m的值保持不变
D．程序结束．出现2点的频率作为概率的近似值
[答案] A
3．袋中有2个黑球，3个白球，除颜色外小球完全相同，从中有放回地取出一球，连取三次，观察球的颜色．用计算机产生0到9的数字进行模拟试验，用0,1,2,3代表黑球.4,5,6,7,8,9代表白球．在下列随机数中表示结果为二白一黑的组数为（ ）
160 288 905 467 589 239 079 146 351
A．3 B．4
C．5D．6
[答案] B
4．某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是（ ）
A．一定不会淋雨B．淋雨机会为
C．淋雨机会为D．淋雨机会为
[答案] D
[解析] 用A、B分别表示下雨和不下雨，用a、b表示帐篷运到和运不到，则所有可能情形为（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），则当（A，b）发生时就会被雨淋到，∴淋雨的概率为P＝.
5．袋子中有四个小球，分别写有“神”、“十”、“飞”、“天”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“飞”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：
先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1、2、3、4表示取出小球上分别写有“神”、“十”、“飞”、“天”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计，直到第二次就停止概率为（ ）
A.B.
C.D.
[答案] B
[解析] 由随机模拟产生的随机数可知，直到第二次停止的有13、43、23、13、13共5个基本事件，故所求的概率为P＝＝.
6．袋中有4个小球，除颜色外完全相同，其中有2个黄球，2个绿球．从中任取两球．取出的球为一黄一绿的概率为（ ）
A.B.
C.D.
[答案] B
[解析] 取球结果共有：
黄黄，黄绿，绿黄，绿绿四种，所以一黄一绿有两种，故所求概率为.
二、填空题
7．利用骰子等随机装置产生的随机数________伪随机数，利用计算机产生的随机数________伪随机数（填“是”或“不是”）．
[答案] 不是 是
8．现有5根竹竿，它们的长度（单位：
m）分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为________．
[答案] 0.2
[解析] 由5根竹竿一次随机抽取2根竹竿的种数为4＋3＋2＋1＝10，它们的长度恰好相差0.3m的是2.5和2.8、2.6和2.9两种，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为P＝＝0.2.
三、解答题
9．掷三枚骰子，利用Excel软件进行随机模拟，试验20次，计算出现点数之和是9的概率．
[解析] 操作步骤：
（1）打开Excel软件，在表格中选择一格比如A1，在菜单下的“＝”后键入“＝RANDBETWEEN（1,6）”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的1～6中的数．
（2）选定A1这个格，按Ctrl＋C快捷键，然后选定要随机产生1～6的格，如A1至T3，按Ctrl＋V快捷键，则在A1至T3的数均为随机产生的1～6的数．
（3）对产生随机数的各列求和，填入A4至T4中．
（4）统计和为9的个数S；最后，计算频率S/20.
10．同时抛掷两枚均匀的正方体骰子，用随机模拟方法计算上面都是1点的概率．
[分析] 抛掷两枚均匀的正方体骰子相当于产生两个1到6的随机数，因而我们可以产生整数随机数．然后以两个一组分组，每组第1个数表示第一枚骰子的点数，第2个数表示第二枚骰子的点数.
[解析] 步骤：
（1）利用计算器或计算机产生1到6的整数随机数，然后以两个一组分组，每组第1个数表示第一枚骰子向上的点数．第2个数表示另一枚骰子向上的点数．两个随机数作为一组共组成n组数；
（2）统计这n组数中两个整数随机数字都是1的组数m；
（3）则抛掷两枚骰子上面都是1点的概率估计为.
能力提升
一、选择题
1．下列说法错误的是（ ）
A．用计算机或掷硬币的方法都可以产生随机数
B．用计算机产生的随机数有规律可循，不具有随机性
C．用计算机产生随机数，可起到降低成本，缩短时间的作用
D．可以用随机模拟的方法估计概率
[答案] B
2．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为（ ）
A.B.
C.D.
[答案] B
[解析] 可看作分成两次抽取，第一次任取一张有5种方法，第二次从剩下的4张中再任取一张有4种方法，因为（B，C）与（C，B）是一样的，故试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是按字母顺序相邻的有（A，B），（B，C），（C，D），（D，E）4种，故两字母恰好是按字母顺序相邻的概率P＝＝.
3．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中，再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结
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