完整版人教版高数必修五第2讲正弦定理和余弦定理的应用教师版.docx

1、完整版人教版高数必修五第2讲正弦定理和余弦定理的应用教师版正弦定理和余弦定理的应用_教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的应用，高度，距离，角度的准确判断教学难点：构造三角形，利用正、余弦定理进行解相关的边长、角度。 1、 与实际应用问题有关的名词、术语铅直平面：与水平面垂直的平面坡角：坡面与水平面的夹角坡比：坡面的垂直高度与水平长度之比仰角：在同一铅直平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角俯角：在同一铅直平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角视角：从某点看物体的最高点与最低点的两条视线的夹角方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南方向，方向角小于 方位角：从正北方向

2、顺时针转到目标方向线的水平角2、 解三角形应用问题步骤（1） 准确理解题意，分清已知和所求，尤其是要理解应用题中的相关名词和术语；（2） 根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，即将实际问题抽象成数学问题；（3） 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过运用正弦定理或余弦定理正确求解；（4） 检验求得的解是否具有实际意义，并对所求的解进行取舍。类型一：测量距离、高度问题例1.（2015山东潍坊月考）为了测量某湖泊的两侧间的距离，给出下列数据，其中不能唯一确定两点间的距离的是（）A.角和边 B.角和边 C.边 和角 D.边和角 解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的

3、对角解三角形时，得出的答案是不唯一的，所以选D答案：D练习1. 在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、60，则塔高为()Am Bm C200m D200m解析：如图，设AB为山高，CD为塔高，则AB200，ADM30，ACB60BC，AMDMtan30BCtan30.CDABAM.答案：A练习2：要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40m，则电视塔的高度为()A10m B20m C20m D40m解析：设ABxm，则BCxm，BDxm，在BCD中，由余弦定理，得BD2BC2CD

4、22BCCDcos120，x220x8000，x40(m)答案：D例2：一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过h，该船实际航程为_解析：如图，水流速和船速的合速度为v，在OAB中：OB2OA2AB22OAABcos60，OBv2km/h.即船的实际速度为2km/h，则经过h，其路程为26 km.答案：6 km练习3：在灯塔上面相距50m的两点A、B，测得海内一出事渔船的俯角分别为45和60，试计算该渔船离灯塔的距离_解析：由题意，作出图形如图所示，设出事渔船在C处，根据在A处和B处测得的俯角分别为45和60，可知CBD30，BAC4590

5、135，ACB1801353015，又AB50，在ABC中，由正弦定理，得，AC25()(m)出事渔船离灯塔的距离CDAC25(1)(m)练习4：两船同时从A港出发，甲船以每小时20n mile的速度向北偏东80的方向航行，乙船以每小时12n mile的速度向北偏西40方向航行，一小时后，两船相距_n mile.解析：如图，ABC中，AB20，AC12，CAB4080120，由余弦定理，得BC220212222012cos120784，BC28(n mile)答案：28规律总结：求距离、高度时，牢牢抓住各已知边及角，理解名词、术语的应用。类型二：测量角度问题、三角形综合题例3：在某测量中，A在

6、B的北偏东55，则B在A的()A北偏西35 B北偏东55 C北偏东35 D南偏西55解析：根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示55，则55.所以B在A的南偏西55.答案：D练习5：已知两座灯塔和与海洋观察站的距离相等，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔在灯塔的（）A.北偏东 B.北偏西 C.南偏东 D.南偏西 答案：B练习6：某观察站与两灯塔的距离分别为300米和500米，测得灯塔在观察站北偏东 处，灯塔在观察站南偏东处，则两灯塔间距离为（）A.400米 B.500米 C.800米 D.700米答案：D例4：在中，三个内角的对边分别为若的面积为，且，则 （）A. B. C.

7、 D.解析： 由 即 又，所以 又 答案：C练习7：在中，三个内角的对边分别为若的面积为，且，则 （）A.2 B.3 C.-2 D.-3答案：A练习8：在中，三个内角的对边分别为若的面积为，且，则 （）A.3 B.4 C.5 D.6答案：B1. 在某测量中，A在B的北偏东45，则B在A的()A北偏西35 B北偏东55 C北偏东35 D南偏西45答案：D2. 在某测量中，A在B的南偏西45，则B在A的()A北偏西35 B北偏东45 C北偏东35 D南偏西45答案：B3.在100m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、60，则塔高为()A.m B. 200m C. m D.400m答案

8、：A4. 要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD60m，则电视塔的高度为()A10m B20m C20m D60m答案：D5. 如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为，设为坡角，那么等于()A B C D 答案：D6. 已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C的南偏东70，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东20 B北偏西20 C南偏东20 D南偏西20答案：B_基础巩固1. 某人向正东走 Km，向右转，然后朝旋转后的方向走3km后，他离最开始的出发点的距离恰好为

9、 km，那么的值为_答案： 2. 两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa km Ba km Ca km D2a km答案：B3. 有一长为10 m的斜坡，它的倾斜角是75，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30，则坡底要延伸()A5 m B10 m C10 m D10m答案：C4. 江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距()A10m B100m C20m D30m答案：D5. 如图所

10、示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，ACB45，CAB105后，就可以计算A、B两点的距离为()A50m B50m C25m Dm答案：A6.一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是_ km.(精确到0.1 km)答案：5.27. 如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔S相距20n mile，随后货轮按北偏西30的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A20()n m

11、ile/h B20()n mile/h C20()n mile/h D20()n mile/h答案：B能力提升8. 某海岛周围38n mile有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60方向，航行30n mile后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船_触礁的危险(填“有”或“无”)答案：如图所示，由题意在ABC中，AB30，BAC30，ABC135，ACB15，由正弦定理，得BC15()在RtBDC中，CDBC15(1)38.此船无触礁的危险9. 甲船在A处发现乙船在北偏东60的B处，乙船正以a n mile/h的速度向北行驶已知甲船的速度是a n mile/h，问甲船应沿着_方向前进

12、，才能最快与乙船相遇？答案：如图，设经过t h两船在C点相遇，则在ABC中，BCat，ACat，B18060120， 由，得sinCAB.0CAB90，CAB30，DAC603030. 即甲船应沿北偏东30的方向前进，才能最快与乙船相遇10. 在某海滨城市附近海面有一台风据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南(cos)方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45方向移动台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？答案：如图所示，设在时刻t(h)台风中心为Q，此时台风侵袭的圆形区域半径为(10t60)km.若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则OQ10