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数值分析参考答案doc

例1-9试设计一种算法计算多项式

8.1632

X+。

］X+QX

的函数值，使得运算次数尽可能少・

解记*=多项式可变为++ay4,用秦九韶算法计算该多项式值

a.+aiy+ct2y=［（oiy2+®）y+a）］y

对于*的计算可用变形、==XXX2/进行计算.

2.给出/'（X）=ln（x）数值表，如表2-9所示.

表2一9

0.4

0.6

0.7

Inx

-0.916291-

0.693147・

0510826・

0356675

・0.223144

用线性插值及二次插值计算InO54的近似值.

解依据插值误差估计式选距离0.54较近的点为插值节点，并建立差商表：

写出、cwton插值多项式

N\（x）=-0693147+1.823210（x-05）

M（x）=V（x）+（•0204115）（x•05）（x・0.6）计算近似值

N\（054）=-0693147+1B23210（054.0.5）=・0.6202186

M（0.54）=N\（0.54）.0204115（054-05）（054-06）=-0.616839

例2・13当用等距节点的分段二次插值函数在区间［・1,1］上近似函数寸，使用多少个插值节点能够保证插值误差不超过+xi（r6.

解记在[Xu,xf]上的二次插值函数为（X）,其中点记为M・U，为・X,.I,利用插值余项公式有：

”Xg[x,.|,X,][-1,1]

ex-R"（x）="^7^（.V-x-.I）Cx-x/.4.J（x-x<）W

—max（x・Xm）（x-&・*）（x•x{）

O"产点七-

x-Xi^+s—pK

-max（s+l）s（s・1）+

e£2J3

489

上式的误差估计右端与，•无关.

令咚书W+X10飞得hW0.028413.4o92

于是分段二次插值的区间个数N

1~（.1）Q704N=7】0.0284139

进而插值点的个数为2N+1=143.

35.求M，使侣［sinx-（.+如］冰为最小，并与26题结果作比较。

解：

/（-V）=sinxfp（x）=a+bx,0）（x）=l，（p{（x）=x

七.兀三]

（0o,Go）=J7Fdx=；,（0），饥）=金xdx=-^2,

』o

£7勿3w

（01,代）=侣"女=M（00，/）=sinxdx=-cosx

J-■

££££

（G[,/）=J（j2xsinxdx=xd（-cosx）=-xcosx+j（2cosxJx=sinx（5=1

正规方程组为

'n12

—_勿~「"I「1

28a_1

¥/人=1

824

a=—（^-3）=0.11477,

p（x）=0.11477+0.66444x

（）

试用二次多项式）•=6

（/•g）■£/（为）g（%）

i•0

法方程组系数矩阵

法方程组右端顶

求解法方程组GC=尸得到

这样求得拟合多项式为

（2）

/（x）=cosnx,x[0,1].

（2）对/（x）=cosnx,xE[0,1]做线性变换x=土+即

3+1〕def

/（V）=COSHX=COS—^―兀~*京。

，IU[•1,1]

利用勒让德正交多项式川U）=1,pi（t）=，为基建立g（t）的一次最佳平方逼近多项式

*（0=—Po（0+zP1（0=

（仞，所）（〃，pi）

0—•8/H2..]2•

尹内u）+^-pi（‘）=・/‘

/（X）的最佳平方逼近为

（K2x•1）=•?

（2x•1）e•2.431708x+1215854

例4-11用下列方法计算积分「四并比较结果.

J1V

（1）龙贝格方法；

解

（1）计算见表4-4.

表4一4

7\k}

l\k）

71幻

13333333

1.1666667

1.1111111

1.1166667

1.10（）0000

1.0992593

1J032107

1.0987253

1.0986403

10986305

10997677

1.0986200

1.0986130

1.0986126

1.0986125

取1=1.0986125

8.（第三问结果跟试题一样）

例4一16已知Xo=~,Xi=+，X2=

424

（1）推导以这3个点作为求积节点在［0,1］上的插值型求积公式;

（2）指明求积公式所具有的代数精确度；

（3）用所求公式计可丁危

（1）过这3个点的插值多项式

其中

3•x。

）（x•Xi）〃（x2-Xo）（X2•K）八"）

f1f（x）dxxf1P2（x）dx=

j0・Jo

故所求的插值型求积公式为

（2）

上述求积公式是由二次插值函数枳分而来，故至少具有2次代数精确度・再将/（x）={,x4代入上述求积公式，有

故上述求积公式具有3次代数精确度.

⑶Zx2dx=-（t］*由于该求积公式具有3次代数精确度，从而+为「fdx的精确值.

3Jo

7.如果,f（x）>0,证明用梯形公式计算积分I=ff（x）dx所得结果比准Ja

确值大，并说明几何意义・

证明由梯形公式的余项

R（f）=・j/）3r（n）,ne顷，b）

知，若/Xn）>o,则R（f）vo,从而

ff（x）dx=r+R（f）VT

即用梯形公式计算积分所得结果比准确值大.

其几何意义为，/"（X）>0,故/（x）为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形

面积・

课本原题

14./（x）=P+b+3x+1,求./p。

，2'，…，X7]及/[2°,2’，…,2*].

解利用/!

岛，由，…，X,]=厂L尸）（&）,知（〃+1）!

./12°,2*,・・・，2"=出/乃代）=1

.42°,2*,…，2勺=亡=0

10.

例5一7~用LD〃分解法解方程组

3x+3x>+5a3=10

3刀+5股+9x3=16

、5刀+9的+17用=30

・1

■

・di

/3i-

/32

-5

17-

-hi

—

ch-

由矩阵乘法得

dl=3,L2i=l,Lsi=5/3,d2=2,L32=2,d3=2/3

19.证明：

若A是正交阵，则Cond（A）2=1.

证明因，4正交，故A1A=AA7=/,妒=彳，从而有

AI.2=vp（AtA）=Vp（/）=1

AI2=ATII2=Jp（AAt）=Jp（/）=1

Cond（4）2=4W2I‘4II2=1

21.设Ax=Z）,其中Ae为非奇异阵，证明

（1）才A为对称正定矩阵；

证明

（1）（AtA）t=At（At）t=ATA故而为对称矩阵.

又刀非奇异，故对任意向量X。

0,有如。

0,从而有xTAtAx=（Jx）T（Ax）>0即彳刀为对称正定矩阵.

12.

例9-1用欧拉法和改进的欧拉法求解初值问题

•y=j.*2,0wxw0.5

、MO）=1

取步长h=0.1,小数点后至少保留7位数字.

解欧拉法公式为

jwi=*“+hf（Xn,yn）=yn+.J《）=hx*+（1•hyn）yn

n=0,1,•••,4

改进的欧拉方法为

=力站+（1-hyn）yn

yn^\=#++/〔*-兄+企I・5L1],n=0,1,•••,4

代力=0.1,*。

=1入上两方法，计算结果见表9-1.

表9-1

欧拉法片

改进的欧拉法yn

0.1

0.9

0.1

0.91

0.2

0B2

0B36800066

0.3

0.75676

0.778583518

0.4

0.70849143

0.734350049

0.5

0674295419

0.703636296

例9-9试讨论用二阶龙格-库塔方法

252数值分析导教•导学•导考

=yn+li[af（Xn.yn）+qf（xn+Chh,yn+fti/?

/（xn,必））]求解初值问题y'=-10j,y（Ab）=*时的绝对稳定性条件.

解设模型方程为"=板，Rc（x）V0,代入二阶龙格-库塔方法公式，有y^\=乒一y[q\yn+c>3（片+隹i/八）山）]=

[1+（。

+Q）M-q&}（-V?

）2]yn

由于是二阶方法，故G+Q=1,Q&i=+，因此

■■

=1-（M）+y„

设计算贝时有扰动&,导致有扰动,即

>,n+l+&♦I=1+（泌）+!

（V）'（*”+&）

12J■OKB/S

故有&.]=1+（泌）+*（W6>

因此，当1-泌-V]时，二阶龙格-库塔方法绝对稳定.

本题x=-10,故应有1・10/7++X100〃V1,解得

例9-12试分别用数值积分法和泰勒展开法推导求解初值问题y=

/（X,y）,X）=尹的如下中点公式

y^2=yn+2/?

/（,*尸1）

及其局部截断误差E（^）.

解数值积分法.将y=/（x,y）的两边在[x,,X12]上积分，得

顶（工”2）=MXn）+J]f（x.Xx））dX

对上式右端积分使用中矩形公式

f\（x）dx=寸M・。

）+±巾”（9（人・0）3,aWWWb

则有

y（AJ.+2）=y（xn）+2hf（x^\,XXn*i））+^[/（X,y（x））]x-^（2/O3

略去土[/（x,y（x））]>（2仃，就有中点公式

y.2=贝+2hf（x>*i,y-i）

易知，其局部截断误差为Tn+?

=十（&）•也可用定义匚T=y（X+2h）-

y（x）-2"y'（Xi）求得局部截断误差.泰勒展开法.设显式的二步方法为

y^2=Goyn4-Q1丽1+/?

（ft+ft/^!

）则

T^2=y（xn+2）-Ooy（x„）-a,y（Xn+J）-11（Q）y（x,）+&/（x”】））=y（xn）+2砂（x.）+土（2方）2+土（2人）。

（x.）+0（It）-

Q）y（xn）-ai（火x„）+hyf（x.）++乃y\x”）+土J；y（&）+。

（"））-8）hy\Xn）-§力（，（Xn）+hy\xn）++疗y（e）+0（If））=

（1-Go-di）y（Xn）+（2-cu.&-Pi）hy\x”）+

-、r*

2-+%・fiIryXxn）+-y・*a】・yfi1/y（x>）+以片）所以，当

=1-Oo-Qi=0

o=2-0]-6）-ft=0

时，方法有二阶精度.特别地，取ao=l,ai=0,则&）=0,展=2,方法即为

y^2=yn+2/?

/（,y^\）

此时

7^i*2=+=~~!

iy（I）

16.

例7-8~曲线*=广・o.51x+1与y=2.4（-1.89在点（16,1）附

近相切，试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值心，使|xz・qWIO%

解两曲线的导数分别为/=3r-051和，=4%,两曲线相切，导数相等，故有

3x2-4,8x-051=0

令/（x）=3r-4.8x-051,则/（I）<0,/

（2）>0,故区间［1,2］是/（x）=0的有根区间.又当xE［1,2］时，/'（x）=6x-4S>0,因此/（x）=0在［1,2］上有惟一实根x\对/（x）应用牛顿迭代法，得计算公式

3系・4.8总•051；八1c

E=*.6xk-4.8'S0,1,2,.・.

由于f（x）=6>0,故取xo=2迭代计算一定收敛,计算结果如表7-6所示.

表7一6

2.0

\.706815287

2293055556

1.700025611

1.817783592

1.7

继续计算仍得冬=1.7，故F=1.7.

注本题也可令P-051x+1=2Ax2-1.89,解得切点横坐标满足方程/（x）=x3-2.4x2-51X+2S9=0,用有重根时的牛顿迭代法（7.15）式计算，此时m=2.仍取Xc=2,经四步可得x"=1.7.

17.

例7-4对于迭代函数

）（x）=x+QY-2）,试讨论：

（1）当C为何值时=<1X必）性=0,1,2,…）产生的序列｛以｝收敛于

（2）C取何值时收敛最快？

（3）分别取C=.+，-旦己计算O（x）的不动点要求

22V2

|Xi.必|v10"

解

（1）<]）（x）=x+C（jc・2）,巾’（x）=1+2Cr,根据定理7.3,当

W（£）=1+2底v1,亦即・卡

（2）由定理7.4知，当寸（M）=1+272C=0,EPC=-六：

时迭代至少是二阶收敛的，收敛最快.

（3）分别取C=・+，・旦己并取知=1.2,迭代计算结果如表7-4

22V2

所示・

18.

例7-12~考虑卜列修正的牛顿公式（单点斯蒂芬森方法）

J（X”/（X*/（X*））-/（X*）

设/（X）-阶连续导数，/（『）=0,，（./）H0,试证明该方法是二阶收敛的.

证明将/（Xk+7（x0）在Xk处作台劳展开，得

/（^+f（Xk））=f（Xk）+/（Xk）/（Xk）++f（g）/（Xk）

其中&介于以与，“+/（X*）之间.厂是

+/（X*））・/（X*）=f（Xk）f（Xk）++，（&）/（慕）

.•f（Xk）

Xk^l-X=X*-X-j

/（X*）+十广（&）/3）

由于是xx）=0的单根，故

/（X）=（x-x）A（x）,万（/）H0

'所以/（x*）=A（x*）+（xi-x°）力'（Xk）

.■（皿•x•）h（力）

Xi■x=x*•x■~=

/[（q）+（X*-xa）//（X4）+"7f\I）f（Xk）

1川女）

.1•

'）h（xk）+（.u-『）"3）++/«）/（.0）

•■

（X*-x-）:

hf（Xk）++f（&）//（Xk）

L4_.」

•■

/»（“）+（x*-x"）h（,“）++/：

（.“）/'（&）,u■

故

・//（X*）+-7/2（/）r（x"）

«.Xk^1・X2

11m;—$=—~:

I-（段.x）-h（x）

即迭代法是二阶收敛的.

19.（类似）

例1-4要使717的相对误差不超过o.1%,应取几位有效数字？

解717的首位数字a\=4,设/有〃位有效数字，由定理1.1知相对误差限

笑1章绪论

s.（x-）^^Xl（y-=fX10-

令十Xl（）fW0.1%,解得3097,即需取四位有效数字.

20.

例1-10试给山一种计算积分A=c"丫（fdx近似值的稳定递推J0

算法.

■■

解In=c'1fexdx=c'x'1cx-fc'dx"=

JoLoJoJ

1-ne'Jxn'1erdx=1-nln.）

从上式可推得

/n-l=（12）

由此可以看到，当/”的近似值有误差&时，/z的近似值有误差如I=&（忽略n

除法运算引入的舍入误差）.依次类推得到“近似值的误差为

随着递推过程的进行，初始误差对计算结果的影响越来越小，因而是一种稳定性很好的算法・

现在还需给出A的初始近似值，利用积分表达式知

io数值分析导教•导学•导考

e・1I

=er

〃一1Jo

x4dx

1fxnedx=1[

Jo〃+1

（1

.4）

取

f1c-'4

（1

5）

2〃十

误差限

■■

_―e”

（1

6）

■

.〃+1〃+1.

—2（〃+1）

综合起来，初值由式（1.5）确定，递推过程依式（1.2）进行，误差控制由式

（12、乃〒fWIQ确企

23.

6.设虬i）=x・p（x）./*（x）・q（x）f（x）,试确定函数p（x）和q（x）,使求衅/（x）=。

且以Wx）为迭代函数的迭代法至少三阶收敛.

解要求*1=三阶收敛到./•（》）=0的根/,根据定理7.4,应有

/=x"-p（x"）f（x）•q（x）/（x"）=x"

）=1.p（b）/（/）=0

*7x"）=・2p'（x”）f\x）-p（x）/（x"）-2q（x）[/（/）]2=0

P（—）

1z-X1f，f（X）

77T7心）=TTrF7TF

故取

即迭代至少三阶收敛.

24.（类似）

|例4-3~取9个点的函数值，分别用复化梯形公式、复化辛普森公式计算

枳分项吁dx,并估计误差

解夏化梯形公式中小区间数为8,步长h=+，而复化辛普森公式中小

区间数为4,步长为h=十.

计算各分点Xk（k=0,1,…，9）的函数值/（x*）=:

AT•

■■

/（0）=1.0000000,/土=0.9973979,j-7=09896158

IOJ14.

/十.0.9767267,/《=0.9588511,./十=0.9361556

bOxJIC.

/+=0.9088517,/号=0.8771926,/（I）=0B414710

I4Jo.

故有

K=—X-L[1DOO0000+2x（0.9973979+09896158♦

09767267+09588511+0.9361556*09088517+0X771926）+0.8414710]=09456909

&=-J"X4[1.0000000+4X（0.9973979+0.9767267+64

0.9361556+0B771926）+2X（0.9896158+0.9588511+

0.9088517）+0B414710]=0.9460833

为了估甘误差，要求/（x）=林的高阶导数，由于

/（x）==fcos（xt）dt

XJo

Iir如、

故（x）=f7~7cos（xr）dr=f/cosxtdr

JodxJoI2J

从而有

|处（x）|w"|co|.”+?

]|dfWj"dL左故复化梯形公式的误差为

=.古W吉X叶「=00004340,作（0,1）对复化辛普森公式，误差为

JpI

I&SZI-出[，土项（n）|w

=。

2712674X10\ne（0,1）

25确定求积公式

]>-由伺女&（罚缶）+"（/）]+&（/）土“痂

-中的系数

Ag。

使代数精确度尽量高，并给出的表达式。

公式中X,-"。

解这是一个带权的且带导数值的求积公式。

为了积分方便，设该求积公式对

/3）=l立，

=疔（』+，）

=*J（0+ak）+*,（（7+D）

=Aa（0+»kJ）+A1（0+2W））

=A3（0+ak,）+*3（0+3fe3O）

化简得

』十，=[

8+20=4

8+30=1

37I1

'=三/=三9=上0=-上

解得20203020

又因为

匚（句）（*-/

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