数值分析参考答案doc.docx

1、数值分析参考答案doc1.例1 -9 试设计一种算法计算多项式8 . 16 32X +。 X + Q X的函数值，使得运算次数尽可能少解 记*= 多项式可变为+ ay4,用秦九韶算法计算该多 项式值a . + ai y + ct2y = (oi y2 + ) y + a)y对于*的计算可用变形、= XXX2 /进行计算.2.给出/(X)= ln(x)数值表，如表2-9所示.表 2一9X0 .40 50 .60 .70 BInx-0 .916 291 -0 .693 147 0 510 826 0 356 675 0 .223 144用线性插值及二次插值计算InO 54的近似值.解 依据插值误差

2、估计式选距离0.54较近的点为插值节点，并建立差 商表：写出、cwton插值多项式N ( x) = - 0 693 147 + 1 .823 210( x - 0 5)M ( x) = V (x) + ( 0 204 1 15) ( x 0 5) (x 0 .6) 计算近似值N (0 54) = - 0 693 147 + 1 B23 210(0 54 . 0 .5)= 0 .620 218 6M(0 .54) = N (0 .54). 0 204 115(0 54 - 0 5) (0 54 - 0 6)= -0 .616 8393.例213 当用等距节点的分段二次插值函数在区间1, 1上近似

3、函数 寸，使用多少个插值节点能够保证插值误差不超过+x i(r6.解 记在Xu , xf上的二次插值函数为( X),其中点记为MU， 为X,. I ,利用插值余项公式有：” X g x,.|, X, -1,1ex - R (x) = 7 (.V - x-. I) C x - x/. 4. J ( x - x 0,证明用梯形公式计算积分I = ff(x)dx所得结果比准 J a确值大，并说明几何意义证明 由梯形公式的余项R(f)=j/)3r( n), ne 顷，b)知，若/Xn) o,则R(f)vo,从而f f(x)dx = r + R(f) V T即用梯形公式计算积分所得结果比准确值大.其几何

4、意义为，/(X) 0,故/(x)为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积课本原题14. /( x) = P + b + 3x + 1,求./p。，2，X7 及 /2 , 2，,2* .解利用/!岛，由，X,=厂L尸)(&),知 ( + 1) !./12, 2*,，2=出/乃代)=1.42, 2*,，2勺=亡= 010.例5 一7用LD分解法解方程组3x+3x+5a3 = 103 刀 + 5股 + 9x3 = 16、5刀 + 9的 + 17 用=30335 1di1h/3i-359b1di1/32-5917-hihi1-ch-1 -由矩阵乘法得dl=3,L2i=l ,Ls i =5/3,d2=2,L

5、32=2,d3=2/3n.19.证明：若A是正交阵，则Cond( A)2 = 1.证明 因，4正交，故A1 A = A A7 = /,妒=彳，从而有A I. 2 = vp( At A) = Vp(/) = 1A I 2 = AT II 2 = Jp(AAt ) = Jp(/) = 1Cond(4)2 = 4 W 2 I 4 II 2 = 121.设Ax = Z),其中A e 为非奇异阵，证明 (1)才A为对称正定矩阵；证明 (1) (At A)t = At ( At )t = AT A 故而为对称矩阵.又刀非奇异，故对任意向量X。0,有如。0,从而有 xT At Ax = ( Jx)T ( A

6、x) 0 即彳刀为对称正定矩阵.12.例9-1 用欧拉法和改进的欧拉法求解初值问题 y = j . *2, 0 w x w 0 .5、MO) = 1取步长h = 0 .1,小数点后至少保留7位数字. 解 欧拉法公式为jwi = *“ + hf( Xn, yn) = yn + . J)=hx* + (1 hyn)ynn = 0, 1 , , 4改进的欧拉方法为=力站 + ( 1 - hyn)ynyn = # + +/* -兄 + 企I 5L1 , n = 0, 1 , , 4代力=0.1, *。= 1入上两方法，计算结果见表9-1.表 9- 1HXn欧拉法片nXn改进的欧拉法yn10 .10 .

7、910 .10 .9120 .20 B220 20 B36 800 06630 .30 .756 7630 30 .778 583 51840 .40 .708 491 4340 A0 .734 350 04950 .50 674 295 41950 50 .703 636 296例9-9 试讨论用二阶龙格-库塔方法252 数值分析导教导学导考= yn + lia f( Xn . yn) + q f(xn + Ch h, yn + fti /?/(xn,必) 求解初值问题y = - 10j, y( Ab) = *时的绝对稳定性条件.解 设模型方程为=板，Rc(x)V 0,代入二阶龙格-库塔方法

8、公式，有 y =乒 一 y q yn + c 3(片 + 隹i /八)山)=1 + (。+ Q ) M - q & (-V?)2 yn由于是二阶方法，故G + Q = 1, Q&i = +，因此 = 1 - (M) + y设计算贝时有扰动&,导致有扰动,即,n+l + & I = 1 + (泌)+ ! ( V) ( *” + & ) 12 J OKB/S故有 &. = 1 + (泌)+ *(W 6因此，当1 -泌- V时，二阶龙格-库塔方法绝对稳定.本题x= - 10,故应有110/7+ + X 100 V 1,解得例9-12 试分别用数值积分法和泰勒展开法推导求解初值问题y =/( X, y

9、), X )=尹的如下中点公式y2 = yn + 2/?/( , *尸1)及其局部截断误差 E ().解 数值积分法.将y = /( x, y)的两边在x, , X12 上积分，得顶(工”2)= M Xn) + J f(x. X x) )d Xn对上式右端积分使用中矩形公式f(x)dx=寸 M 。)+ 巾”(9(人 0)3, aWWWb则有y( AJ.+2) = y(xn) + 2hf(x , X Xn*i ) + /( X, y( x) x-(2/O3略去土 /( x, y( x) (2仃，就有中点公式24y.2 =贝 + 2hf( x*i , y-i )易知，其局部截断误差为Tn+?=十(

10、&)也可用定义匚T = y( X + 2 h)-y( x) - 2y( Xi )求得局部截断误差. 泰勒展开法.设显式的二步方法为y2 = Go yn 4- Q1 丽1 + /?( ft + ft /!) 则T2 = y( xn+2) - Ooy(x) - a, y( Xn+ J) - 11(Q) y ( x,) + & /( x”】)= y(xn) +2 砂(x.) + 土 (2方)2 + 土(2人)。(x.) + 0( It)-Q)y( xn) - ai (火 x) + hyf ( x.) + + 乃 y x”)+土J； y (&) + 。()-8)hy Xn) - 力(，(Xn) + h

11、y xn) + + 疗 y (e) + 0( If )=(1 - Go - di ) y( Xn) + (2 - cu .& - Pi) hy x”) +- 、 r *2 - +% fi IryXxn) + -y *a】 y fi 1/y(x) + 以片) 所以，当= 1 - Oo - Qi = 0,o =2-0 - 6) - ft = 0时，方法有二阶精度.特别地，取ao = l,ai= 0,则&)= 0,展=2,方法即为y2 = yn + 2/?/( , y)此时7i*2 = + = !i y (I)16.例 7-8曲线 * =广 o .51 x+ 1 与 y = 2 .4( - 1 .8

12、9 在点(1 6, 1)附近相切，试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值 心，使| xzq W IO%解 两曲线的导数分别为/ = 3r - 0 51和，=4 %,两曲线相切，导 数相等，故有3x2 - 4 ,8x - 0 51 = 0令/(x) = 3r - 4 .8x - 0 51,则 /(I) 0,故区间1, 2是/(x)= 0的有根区间.又当xE 1 , 2时，/( x) = 6x - 4 S 0,因此/(x) = 0在1, 2上有惟一实根x对/( x)应用牛顿迭代法，得计算公式3系4 .8总 0 51 ； 八 1 cE = * . 6xk - 4 .8 S 0, 1,2,.由于f(x)

13、=6 0,故取xo = 2迭代计算一定收敛,计算结果如表7-6所示.表 7一6kXkkXk02 .03 .706 815 28712 293 055 55641 .700 025 61121 .817 783 59251 .7继续计算仍得冬=1 .7，故F = 1 .7.注 本题也可令P - 0 51 x + 1 = 2 Ax2 - 1 .89,解得切点横坐标满足方 程/( x) = x3 - 2 .4x2 -51X + 2 S9 = 0,用有重根时的牛顿迭代法(7. 15)式计 算，此时m = 2.仍取Xc = 2,经四步可得x = 1 .7.17.例7-4 对于迭代函数!)( x) = x

14、 + Q Y - 2),试讨论：(1)当C为何值时= 1X必)性=0, 1, 2,)产生的序列以收敛 于(2)C取何值时收敛最快？(3)分别取C = . +，-旦己计算O(x)的不动点要求2 2 V2| Xi .必 | v 10解 (1) )( x) = x + C( jc 2),巾(x) = 1 + 2 Cr,根据定理 7. 3 ,当W() = 1+2底v 1,亦即卡 C 0时迭代收敛.(2)由定理7.4知，当寸(M) = 1+2 72 C = 0,EP C =- 六：时迭代至少 是二阶收敛的，收敛最快.(3)分别取C =+，旦己并取知=1 .2,迭代计算结果如表7-42 2 V2所示18.

15、例7-12考虑卜列修正的牛顿公式(单点斯蒂芬森方法)J(X” /( X* /( X* ) ) - /( X* )设/( X)-阶连续导数，/()=0,，(./ ) H 0,试证明该方法是二阶收 敛的.证明 将/( Xk + 7(x0)在Xk处作台劳展开，得/( + f(Xk) = f(Xk) + /( Xk) /( Xk) + + f( g) / ( Xk )其中&介于以与，“+ /( X* )之间.厂是+ /( X* ) /( X*) = f(Xk)f( Xk) + +，(&)/(慕). f( Xk )Xkl - X = X* - X - j /(X*) + 十广(&)/3)由于是x x)

16、= 0的单根，故/(X)= ( x - x ) A(x),万(/ ) H 0所以 /( x*) = A( x*) + ( xi - x )力(Xk). (皿 x ) h(力) Xi x = x* x =/(q) + ( X* - xa ) /( X4) + 7 fI) f( Xk )1 川女) . 1 ) h(xk) + (.u -)3)+/)/(.0) (X* - x- ): hf( Xk) + + f( &) /( Xk) L 4_ . /(“)+( x* - x)h(,“)+ + /：( .“)/( &) , u 故 / (X*)+ -7/2(/)r(x). Xk 1 X 211 m ;

17、$ = : I-(段.x )- h( x )即迭代法是二阶收敛的.19.(类似)例1 -4 要使717的相对误差不超过o. 1%,应取几位有效数字？解 717的首位数字a = 4,设/有位有效数字，由定理1.1知相对 误差限笑1章绪论s.(x-)Xl(y- = f X10-令十X l()f W 0.1%,解得3 097,即需取四位有效数字.O20.例1 - 10 试给山一种计算积分A = c 丫 (fdx近似值的稳定递推 J 0算法. 解 In = c1 f exdx = c x1 cx - f c dx =Jo L o J o J1 - ne J xn1 erdx = 1 - nln.)从上

18、式可推得/n-l = (1 2)n由此可以看到，当/”的近似值有误差&时，/z的近似值有误差如I =&(忽略 n除法运算引入的舍入误差).依次类推得到“近似值的误差为随着递推过程的进行，初始误差对计算结果的影响越来越小，因而是一种稳定 性很好的算法现在还需给出A的初始近似值，利用积分表达式知io 数值分析导教导学导考e1 I,=e r一 1 Jox4dx A e*1 f xnedx = 1 Jo + 1(1.4)取f 1 c- 4(15), 2 十1误差限 1_ e”(16). + 1 + 1 .2(+ 1)综合起来，初值由式(1.5)确定，递推过程依式(1.2)进行，误差控制由式(1 2、乃

19、fWI Q确企23.6.设 虬i) = xp(x)./*( x)q( x) f (x),试确定函数p( x)和q( x),使求 衅/(x)=。且以Wx)为迭代函数的迭代法至少三阶收敛.解 要求*1 = 三阶收敛到./()=0的根/ ,根据定理7.4,应有-由伺女&(罚缶)+(/)+&(/) 土“痂- 中的系数Ag。,使代数精确度尽量高，并给出的表达式。公式中X,-。 解 这是一个带权的且带导数值的求积公式。为了积分方便，设该求积公式对/3)=l 立，=疔(+，)=*J(0+ak)+*,(7+D)=Aa(0+kJ)+A1(0+2W)= A3(0+ak,)+*3(0+3fe3O)化简得十，=238+20=448 + 30 = 153 7 I 1=三/=三9=上0 =-上解得 20 20 30 20又因为匚（句）（*-/