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自主招生辅导电磁感应含答案

专题九

强化训练

电磁感应

先解决磁场的两个问题

【例1】（北大2006）如图所示，水平面上放有质量为

m，带电+q的滑块，滑块和水平面间的动摩擦系数为

μ，水

平面所在位置有场强大小为

E、方向水平向右的匀强电场和

垂直纸面向里的磁感应强度为

B的匀强磁场。

若

，物

块由静止释放后经过时间t离开水平面，求这期间滑块经过的路程s.

解析：

开始滑块向右加速，获得向右速度后另外受到竖直向上的洛仑兹力作用，导致滑

块所受到的滑动摩擦力变小，做加速运动的加速度相应变大。

对滑块考察一微小时间Δt，利用动量定理

qEt（mgBqv）tmv

对上式累计求和，可得

qEt

mgt

Bqs

mvm

而物体离开水平面时满足

Bqvm

联立解得：

m2g

mgtBq

q2BEt

B2q2

【例2】（同济2008）回旋加速器中匀强磁场的磁感应强度

B=1T，高频加速电压的频率

I=1mA，最后粒子束

f=7.5×10Hz，带电粒子在回旋加速器中运动形成的粒子束的平均电流

从半径R=1m的轨道飞出，如果粒子束进入冷却“圈套”的水中并停止运动，问可使“圈套”中

的水温升高多少度

设“圈套”中水的消耗量

m=1kg/s，水的比热容

c=4200J/（kg·K）

解析：

粒子在盒内运动有

Bqv

，f

得：

设单位时间内飞出回旋加速器的粒子数为N，则

INq

粒子束功率P

1mv2

IBR2f

由热平衡条件得

cmt

IBR

5.6K

升温t

电磁感应部分的内容主要包括楞次定律、法拉第电磁感应定律、交流电和变压器等方面的规律，这里主要分析一下电磁感应中感生电动势和动生电动势两种情况的规律。

三．感生电动势与动生电动势

电磁感应现象包括两类情况：

感生电动势和动生电动势。

1.感生电动势

感生电动势是闭合回路中因磁通量变化产生了感生电场，感生电场产生“非静电力”推

动自由电荷定向移动，从而形成了电动势。

其值为

2.动生电动势

导体棒切割磁感线产生动生电动势，其值为：

E＝Blv

式中B、v和导体棒所在的方向

l要两两垂直，否则要进行分解或投影。

动生电动势来源于金属内运动着的自由电子所受的洛仑兹力做功，可是洛仑兹力不做

功，这个矛盾如何解释？

如图所示，

金属杆ab在匀强磁场中以恒定的速度向右做匀速运动，

在导体棒ad上就出现了动生电动势。

由右手定则可知，在导体棒上电流的方向是由

d流向

a的。

设导体棒上有一个自由正电荷

q（实际上则是自由电子导

电），v

是q沿导线移动方向的速度，

v与v

⊥

的矢量和是v。

⊥

∥

所受的洛仑兹力为f，可将f分解为沿着导体棒的分力

f∥和垂直

于棒的分力f⊥，其中f∥属于与电动势相对应的非静电力，而

f⊥

则属于安培力。

当这个感应电动势出现并做正功时，

安培力也随

之出现并做负功，该装置将机械能转化为电能，而且能量守恒。

3.如果一个问题中感生电动势和动生电动势同时存在，则回路中

总的感应电动势是二者合成的结果。

计算时要注意电动势的方向

（电动势的方向定义为从负

极经电源内部指向正极，电动势是标量）

。

【例3】（清华2008）如图所示，半径为R的圆形区域内有随时间变化的匀强磁场，磁

感应强度B随时间t均匀增加的变化率为

k（k为常数），t=0时的磁感应强度为

B。

，B的方

向与圆形区域垂直如图，在图中垂直纸面向内。

一长为

2R的金

属直杆ac也处在圆形区域所在平面，

并以速度v扫过磁场区域。

设在t时刻杆位于图示位置，此时杆的

ab段正好在磁场内，bc

段位于磁场之外，且ab＝bc＝R，求此时杆中的感应电动势。

解析：

感生电动势由Eba、Ecb两部分组成，则

所以

动生电动势为

所以总电动势为

注：

本题中在计算bc两端的感应电动势时，也要连圆心O和b、c两点，同样在Ob、

Oc上不会有感应电动势。

同时在求总的感应电动势时，要注意正、负。

【例4】（上海交大2009）如图所示，阻值为R，质量为m，边长为l的正方形金属框位于光滑水平面上。

金属框的ab边与磁场边缘平行，并以一

定的初速度进入矩形磁场区域，运动方向与磁场边缘垂直。

磁场方向垂直水平面向下，在金属框运动方向上的长度为L

（L>l）。

已知金属框的ab边进入磁场后，框在进、出磁场阶

段中的运动速度与ab边在磁场中的位置坐标之间关系为v=

v0－cx（x

若金属框完全通过磁场后恰好静止，求：

（1）磁场的磁感应强度；

（2）从线框进入磁场区域到线框ab边刚出磁场区域的运动过程中安培力所做的功解析：

（1）设x＝l时线框速度为v1，

在线框进入磁场中，由动量定理，得

即BlQ＝mv0－mv1，

其中Q为通过线框的电量，

而Q＝

①

线框在磁场中匀速运动，

出磁场过程中，由动量定理，得

即

由①，得

（2）按照对称性，线框进出磁场过程中速度的减小是相同的，即ab边刚出磁场时的速度

为v0/2。

故所求安培力的功为

【例

5】（北约

2011）不计电阻的光滑平行轨道

EFG、PMN

构成相互垂直的

L形，磁感

应强度为

B的匀强磁场方向与水平的

EFMP

平面夹θ角

（45

）斜向上，金属棒

ab、cd

的质量均为

m、长

均为

l、电阻均为

R，ab、cd

由细导线通过角顶处的光滑定滑轮连接，细线质量不计，

ab、

cd与轨道正交，已知重力加速度为

g。

（1）金属棒的最大速度；

（2）当金属棒速度为

v时，

求机械能损失的功率

P1和电阻的发热功率

P2。

【例6】如图所示，一磁感应强度大小为B的均匀磁场，分布在半径为R的无限长的圆柱体内，设B=B0t（B0>0）。

现有一半径也为R，电阻均匀分布且总电阻为r的金属圆环，

放在垂直于磁场的平面内，金属圆环中心在均匀磁场的对称

轴上。

长为R、电阻为r’的直导体的两个端点ab与金属圆

环良好连接，求此直导体中的感应电流。

（设感应电流所产

生的磁场可以忽略）

16.

【真题选练】

1．（清华2011样题）如图所示，空间存在一有理想边界的条形匀强

磁场区域，磁场方向与竖直平面（纸面）垂直。

一个质量为m、边长为

l的刚性正方形导线框，在此平面内沿竖直方向运动。

t=0时刻导线框

的上半部分恰好进入磁场，速度为v0。

经历一段时间后，当导线框上边

离开磁场距磁场边界距离为l/2时，速度刚好为零。

此后，导线框下落，经过一段时间到达

初始位置。

则（）

A．在上升过程中安培力做的功比下落过程中的少

B．在上升过程中重力冲量的大小比下落过程中的大

C．在上升过程中安培力冲量的大小与下落过程中的相等

D．在上升过程中导线框电阻消耗的电能比下落过程中的大

2.（同济大学09）如图所示，金属架平面与水平面平行，质

量为m、长度为L的硬金属线ab的两端用绝缘线吊着并与框接触，处在匀强磁场中。

当闭合开关s时，ab通电随即摆起的高度

为h，则在通电的瞬间，通过导体截面的电荷量Q=________.

3.（清华2011）如图，空间某区域内存在着匀强磁场，磁场的上下边界水平，方向与竖

直平面（纸面）垂直。

两个由完全相同的导线制成的刚性线框

a和

b,其形状分别是周长为

4l的正方形和周长为6l的矩形。

线框a

和b在竖直面内从图示位置自由下落。

若从开始下落到线框完全

离开磁场的过程中安培力对两线框的冲量分别为

Ia、Ib，则Ia：

Ib为（）

A.3:

8B.1:

C.1:

D.3:

4.（东南大学08）如图所示的空间，匀强电场的方向竖直向下，场强为

E，匀强磁场的

方向水平向外，磁感应强度为B。

有两个带电小球

A和B都能在垂直于磁场方向的同一竖

直平面内做匀速圆周运动（两小球间的库仑力可忽略）

，运动轨迹如图。

已知两个带电小球

A和B的质量关系为mA

3mB，轨道半径为

RA3RB9cm.

（1）试说明小球A和B带什么性质的电荷，它们所带的电荷量之比qA:

qB等于多少？

（2）指出小球A和B的绕行方向和速度大小之比

（3）设带电小球A和B在图示位置P处相碰撞，且

碰撞后原先在小圆轨道上运动的带电小球B恰好能沿大圆轨道运动，求带电小球A碰撞后所做圆周运动的轨道半径（设碰撞时两个带电小球间电荷量不转移）

5.（交大外地2009）如图所示，一磁感应强度为B的均匀磁场，分布在半径为

柱形区域内，设B=B0t（B0＞0）。

现有一半径也为R，电阻均匀分布且总

电阻为r的金属圆环，放在垂直于磁场的平面内，金属圆环中心在均匀磁

场的对称轴上。

a和b为金属圆环上相距为R的两点，则两点间的电势差

－φ＝_______。

（设感应电流所产生的磁场可以忽略）

φab

R的长圆

6.（东南2009）如图所示，阻值为R的电阻串于光滑的等边三角形水平导轨OPQ上，

导轨在O点断开。

磁感应强度为B、方向竖直向下、宽度为d的条形磁场区域与PQ平行，

质量为m的导体棒连接在劲度系数为k的弹簧的一端，弹簧的另一端固定。

导体棒始终与

停于

平行，且与导轨保持良好接触。

弹簧无伸长时，导体棒

M处。

现将导体棒拉至N处后自由释放，若M至顶点

O，以及

M、N

到磁场边沿的距离均为

d，导轨和导体棒的

阻值忽略不计，求：

（1）计算导体棒释放后，第一次穿越条形磁场区域过程中，电阻R中通过的电荷量q。

（2）整个过程中，电阻R中最多能产生的焦耳热Q。

7．（北约2013）如图所示，每边长为

a的等边三角形区域内有匀强磁场，磁感应强度

B的方向垂直图平面朝外。

每边长为a的等边三角形导体框架

ABC，在t=0

时恰好与磁场

区的边界重合，而后以周期

T绕其中心沿顺时针方向匀速旋转，于是在框架

ABC中有感

应电流。

规定电流按A-B-C-A方向流动时电流强度取为正，

反向流动时取为负。

设框架ABC

的总电阻为R，则从t=0

到t

=T/6时间内平均电流强度

I=___________;从t=0到

t2=T/2时间内平均电流强度

I2=___________。

8．（14分）（2013年卓越大学联盟）如图所示，两根电阻不计的光滑金属导轨竖直放置，相距为L，导轨上端接有阻值为R的电阻，水平条形区域I和II内有磁感应强度为B、方向垂直导轨平面向里的匀强磁场，其宽度均为d，I和II之间相距为h且无磁场。

一长度为L、质量为m、电阻不计的导体棒，两端套在导轨上，并与两导轨始终保持良好接触。

现将导体棒由区域I上边界H处静止释放，在穿过两段磁场区域的过程中，流过电阻R上的电流及其变化情况相同。

重力加速度为g，求：

（1）导体棒进入区域I的瞬间，通过电阻R的电流大小与方向；

（2）导体棒穿过区域I的过程中，电阻R上产生的热量Q；

（3）下面四个图象定性地描述了导体棒速度大小与时间的关系，请选择正确的图

象并简述理由。

9．（2012华约自主招生真题）如图所示，两个光滑的水平导轨间距为

L，左侧连接有

阻值为R的电阻，磁感应强度为

B的匀强磁场垂直穿过导轨

平面，有一质量为

m的导体棒以初速度v0向右运动，设除左

边的电阻R外，其它电阻不计。

棒向右移动最远的距离为

s，

问当棒运动到λs时0<λ

P=B2L21-v02

10.（2009上海交通大学）如图所示为磁流体发电机结构示意图。

利用燃烧室加热气体使之离解成为等离子体，等离子体以高速进入两侧有磁极的发电通

道，通道上下两侧面为电极。

等离子体中的正负电荷受磁场力的作用，分别向上下两侧偏转，则上下两个电极间就会产生电动势，这就是磁流体发电机工作的基本原理。

假设等离子体沿通道方向进入时的速率为v，其电导率为σ，发电通道中的磁场为匀强磁场，磁感应强度为B，发电通道上下电极面积均为A，上下电极的距离为L。

求：

磁流体发电机的最大输出功率。

（已知等离子体中的电流密度j与等离子体中电场强度的关系为j=σE，其中电场强度E包括电动势所对应的非静电场Ei和由于上下电极的电荷积累所产生的

静电场Ee，即E=Ei+Ee；上下电极之间的电流I=jA。

）

【参考答案】

1.CD

2.金属棒通电后由于安培力的冲量作用获得动量，根据动量定理

BIl

tBLItBLQmv00

金属棒脱离金属架平面后摆起，根据机械能守恒

mgh

1mv02

故：

mv0

2gh

3.A

（1）因为两带电小球都在复合场中做匀速圆周运动，故必有qE=mg，由电场方向可知，两小球都带负电荷，则

mAgqAE，mBgqBE

所以：

（2）两小球都带负电荷，轨道在垂直磁场的同一平面内，用左手定则可以判断两带电小球的绕行方向都相同。

由：

mv2

qvB

BqR

得：

由题意，vA

（3）由于两带电小球在

P处相碰，切向合外力为零，故两电小球在

P处的切向动量守

恒，则

mAvA

mBvBmAvA'

mBvB'

由于两带电小球在

P处相碰后B球沿大圆轨道运动，而

vB'

3vB

解得：

vA'

7vB

3vB

所以RA'

7RA

7cm

5.0

（1）导体棒从N处静正释放后在弹力作用下做变加速运动，过磁场区域时会产生感

应电动势．且与电阻R构成回路，相应有电流流过电阻R，棒第一次穿越条形磁场区域过程中，电阻R中通过的电荷量为

，

式中

故

（2）最终棒会在无磁场的区域做简谐运动，且在磁场区域的右边界处速度为阻R中最多能产生的焦耳热Q为

0，故电

即瞬间导体棒动量变化量正比于导体棒位移。

在整个过程中，有：

ΣB2L2△x=Σm△v。

即：

BLΣ△x=mΣ△v。

得到：

BLx=m（v0-v）。

其中x为导体棒位移，v为导体棒瞬时速度。

当x=s时，v=0，有B2L2s=mv0；

10.

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