三角函数的图像与性质题型归纳总结.docx
《三角函数的图像与性质题型归纳总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数的图像与性质题型归纳总结.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
三角函数的图像与性质题型归纳总结
三角函数的图像与性质题型归纳总结
题型归纳及思路提示
题型1已知函数解析式确定函数性质
【思路提示】一般所给函数为y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ），A>0,ω>0,要根据
y＝sinx，y＝cosx的整体性质求解。
一、函数的奇偶性
例
1f（x）
＝
sin
（x
）（≤
）是
R
上的偶函数，则
等于（
）
0<
A.0B．C．D．
42
【评注】由ysinx是奇函数，ycosx是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要
结论：
（1）
若y
Asin（x
）是奇函数，则
k
（k
Z）;
（2）若y
Asin（x
）是偶函数，则
k
+
（k
Z）;
2
（3）若y
Acos（x
）是奇函数，则
k
2
（k
Z）;
（4）若y
Acos（x
）是偶函数，则
k
（k
Z）;
（5）
若y
Atan（x
）是奇函数，则
k
（k
Z）.
2
变式1.已知a
R，函数f（x）
sinx
|a|为奇函数，则a等于（）
A.0
B．1
C．1
D．1
变式2.设
R，则“
0”是“f（x）cos（x
）（xR）为偶函数”的（
）
A充分不必要条件
B．必要不充分条
C．充要条件
D．无关条件
变式3.设f（x）
sin（x
），其中
0，则f（x）是偶函数的充要条件是（
）
A.f（0）
1
B．f（0）0
C．f'（0）
1
D．f'（0）0
例2.设f（x）sin（2x
）（x
R），则f（x）是（
）
2
A.最小正周期为
的奇函数
B．最小正周期为
的偶函数
C．最小正周期为
的奇函数
D．最小正周期为
的偶函数
2
2
变式1.若f（x）
sin2x
1（x
R），则f（x）是（
）
A.最小正周期为
的奇函数
B．最小正周期为
的偶函数
C．最小正周期为
2的奇函数
D．最小正周期为
2的偶函数
1
变式2.下列函数中，既在（0,）递增，又是以为周期的偶函数的是（）
2
A.ycos2xB．y|sin2x|C．y|cos2x|D．y|sinx|
二、函数的周期性
例3.函数ysin（2x
）cos（2x
）的最小正周期为（）
6
6
A.
2
B．
4
C．2
D．
【评注】关于三角函数周期的几个重要结论：
（1）
函数y
Asin（
x
）
b,y
Acos（
x
）
b,y
Atan（
x）
b
的周期分别为
2
2
.
|
||
||
|
（2）
函数y
|Asin（
x
）|,y|Acos（
x
）|,y
|Atan（
x
）|的周期均为.
|
|
（3）
函数y
|Asin（
x
）
b|（b
0）,y
|Acos（
x
）b|（b
2
.
0）的周期均为
|
|
变式1.函数y
sin（2x
）
cos（2x
）的最小正周期和最大值分别为
（）
6
3
A.
1
B
．
2
．2
1
D
．
2
2
C
变式2.若f（x）
sinx（sinx
cosx）,则f（x）的最小正周期是________.
变式3.若f（x）
sin3x
|sin3x|则f（x）是（
）
A.最小正周期为
的周期函数
B．最小正周期为
2
的周期函数
3
3
C．最小正周期为
2的周期函数
D．非周期函数
三、函数的单调性
例4.函数ysin（2x）（x[0,]）的递增区间是（）
6
A.[0,
]
B．[
12
7
]
C．[
5
]
D．[5,
]
3
12
3
6
6
【评注】求三角函数的单调区间：
若函数y
Asin（
x
）（A
0,
0）则
（1）
函数的递增区间由
2k
2
x
2k
（k
Z）决定；
2
（2）
函数的递减区间由
2k
x
2k
3
Z）决定；
2
（k
2
（3）
若函数y
Asin（
x
）中A
0,
0
，可将函数变为
y
Asin（x）
则
y
Asin（
x
的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间；
）
（4）
对于函数
yAcos（
x
）和y
Atan（
x
）单调性的讨论同上。
2
变式1.函数ysinx
f（x）在[
3]内单调递增，则f（x）可以是（）
4
4
A.1
B．cosx
C．sinx
D．
cosx
变式2.若f（x）sin（
x
）（
0）在（
）上单调递增，则
的取值范围是（
）
4
2
A.[1,5]
B．[1,3]
C．（0,1]
D．（0,2]
2
4
2
4
2
变式3.已知函数f（x）
3sinx
cos（
x
）
cos（
x）（
0）
3
3
（1）求f（x）的值域；
（2）若f（x）的最小正周期为
x
[0,
]，f（x）的单调递减区间.
2
2
四、函数的对称性（对称轴、对称中心）
例5.函数y
sin（2x
）图象的对称轴方程可能是
（）
3
A.x
B．x
12
C．x
D．x
6
6
12
【评注】关于三角函数对称性的几个重要结论：
3
（1）
函数
y
sin
的对称轴为
x
k
（k
Z）,
对称中心
（k
0）（k
Z）;
x
2
（2）
函数y
cos
x的对称轴为
x
k
（k
Z）,对称中心
（k
0）（k
Z）;
2
（3）
函数y
tan
x无对称轴，对称中心
（k
0）（k
Z）;
2
k
（4）
函数
y
Asin（
x
）
的对称轴的求法：
令
x
k
（k
Z）,
得
x=
2
（kZ）;
b
2
对称中心的求法
:
令
x
k
（k
Z）得x=
k
（k
Z）,对称中心为
（k
b）（k
Z）；
（5）
函数y
Acos（
x
）
b的对称轴的求法：
令
x
k（k
Z）,得x=k
（k
Z）;
k
k
2
对称中心的求法
:
令
x
k
（k
Z）得x=
2
（k
Z）,对称中心为
（
b）（kZ）
2
变式1.已知函数y
sin（x
）（
0）的最小正周期为
，则f（x）的图象（）
3
A.关于点（
0）对称
B．关于直线x
对称
3
4
C．关于点（
0）对称
D．关于直线x
对称
4
3
变式2.函数y
sin（x
）的图象的一个对称中心是
（）
4
A.
（
0）
B
．
3
0）
C
．
（
3
D
．
（
0）
（
4
0）
4
2
变式3.函数f（x）
sin2x
cos2x的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是
__________.
5
5
变式4.若函数y
sinx
3cosx的图象向右平移a个单位（a0）后的图象关于y轴对称，则
的最小值是（
）
a
A.
7
B．
C．
D．
6
2
6
3
五、三角函数性质的综合
【思路提示】三角函数的性质（奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，对称性尤为重要；
（）对称性
奇偶性：
若函数
的图象关于
y
轴对称，则
f（x）
是偶函数；
1
f（x）
若函数
的图象关于原点对称，则
f（x）
是奇函数；
f（x）
（2）
对称性
周期性：
相邻两条对称轴之间的距离为
T；相邻两个对称中心的距离为
T；
T；
2
2
相邻的对称中心与对称轴之间的距离为
4
（3）
对称性
单调性：
在相邻的对称轴之间，函数
f（x）单调；
特殊的，若
f（x）
Asin（
x）,A
，
函数
在
[1,
2]
上单调，且
0[1,2
]
0
0f（x）
设
max{|
1|,
2}，则T
。
4
4
例
6.
设
f（x）
asin2xbcos2x,ab
0,
若
f（x）
f（）
对任
x
成立
则
R,
6
（1）f（11）
0;
（2）f（7）
f（）;（3）f（x）不具奇偶性；
12
10
5
（4）
的单调递增区间是
[k
k
2
；
f（x）
]（k
Z）
6
3
（5）
存在经过点
的直线与函数
的图象不相交.
（a,b）
f（x）
以上结论中正确的是
.
例7.已知函数f（x）4cos（x）sin
x
cos（2x）（
0）
6
3
]为增函数，求
的最大值.
（1）求f（x）的值域；
（2）若f（x）在区间[
2
2
变式1.已知函数f（x）2sinx（0）,若f（x）在[,2]上递增，求的取值范围.
43
5
例8.若f（x）sin（x）（
0）,f（
）f（）且在（,
）上有最小值无最大值，则=______.
3
6
3
6
3
题型2根据条件确定解析式
方向一：
“知图求式”，即已知三角函数的部分图象，求函数解析式。
【思路提示】
由图象求得y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的解析式一般不唯一，只有限定
φ的取值范围，才
能得到唯一解。
依据五点法原理，点的序号与式子的关系是：
第一点（即图象上升时与横轴
的交点）为x
0，第二点（即图象最高点）为
x
，第三点（即图象下降时
2
3
与横轴的交点）为
x
，第四点（即图象最低点）为
x
，第五点（即图
2
象上升时与横轴的交点）为
x
2
.。
例9.函数f（x）
Asin（2x
）（A,
R）部分图象如下图所示，则f（0）
（）
A.
1
C．
3
3
B．1
D．
2
2
变式1.函数f（x）
Asin（x
）（A0,0）部分图象如下图所示，则f（0）________.
6
变式2.f（x）Acos（x）部分图象如下图所示，f（）2,则f（0）________.
23
例10.已知函数f（x）Asin（x）（A0,0,||）部分图象如下图所示，求f（x）的解析式。
变式1.已知f（x）cos2（x
）（
，为常数），如果存在正整数
和实数
使得函数
f（x）的图象如图所示（图象经过点（
1,0）），求
的值.
y
1
2
O
1x
7
方向二：
知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值）求函数解析式。
3
例11.已知函数f（x）sin（x）（0,0）为R上的偶函数，点（,0）是其一对称中心，4
且函数在[0,]上单调，求函数f（x）的解析式。
2
变式1.已知函数f（x）4sin（x）（0,0）图象的相邻两条对称轴的距离为，
23
且经过点（0,2），求函数f（x）的解析式。
8
题型3：
函数的值域（最值）
【思路提示】求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理：
（1）y
asinx
bat
b,sinx
t[
1,1];
（2）y
asinx
bcosx
c
a2
b2
sin（x
）c,tan
b;
asin2x
at2
a
（3）y
bsinx
c
bt
c,sinx
t
[
1,1];
y
acos2x
bsinx
c
at2
bt
（a
c）,sinx
t
[1,1];
y
acos2x
bsinx
c
2at2
bt
（a
c）,sinx
t
[
1,1];
（4）y
acosxsinx
b（sinx
cosx）
c
at2
1
bt
（a
c）,sinx
cosx
t[
2,2];
2
y
acosxsinxb（sinxcosx）c
1
t2
bt
（a
c）,sinxcosxt
[
2,2];
a
2
（5）y
asinx
b与y
asinx
b根据正、余弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可
csinx
d
ccosx
d
用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值，但都必须要注意
sinx、cosx的范围。
例12.函数f（x）
sinxcosx的最小值是（
）
升级会员 